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1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -北大附中河南分校2022-20XX 年校本课程数学培优第三讲三角形的“五心”问题邱常远三角形的五个“心”1. 重心：三角形三条中线交点.2. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.这一点为三角形外接圆的圆心,称外心.3. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点.是三角形的内切圆的圆心,称内心.4. 垂心：三角形三边上的高相交于一点.5. 旁心：三角形一内角的平分线与另两条内角的外角平分线相交一点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_重心的性质 :1.在ABC 中,中线 AD 交 BC 于 D,
2、G 是重心,就 AG=2GDx2. 在ABC 中, Ax 1 ,y 1 Bx2,y 2 Cx 3,y 3 的重心 G坐标公式yx1x2x33y1y2y33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如 O 是ABC 的重心,就S= S= S= 1 S可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BOCAOCAOB3ABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.内角平分线定理： :在ABC 中, AD 是交 A 的平分线 BC 于 D,就 BDABCDAC三角形五“心”向量形式的充要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 O 为ABC 所在平面上一点,角A
3、, B, C 所对边长分别为a, b,c ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ） O 为ABC 的外心22OAOB2OC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ） O 为ABC 的重心（3） ） O 为ABC 的垂心（4） ） O 为ABC 的内心OAOB OA OBOC0 . OB OCOC OA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OAaOAAB| AB |bOBAC| AC | cOC =OB0 .BA| BA |BC| BC =OC| CA| CA |CB| CB | = 0可编辑资
4、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、与三角形“四心”相关的向量问题1：已知 O 是平面上肯定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 OPOAAB| AB |AC| AC ,0, . 就 P 点的轨迹肯定通过 ABC 的|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 外心B. 内心C.重心D.垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wor
5、d 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2：已知 O 是平面上肯定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 OPOA ABAC ,0, . 就 P 点的轨迹肯定通过 ABC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.外心B. 内心C.重心D.垂心3：已知 O 是平面上的肯定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P满意 OPOAABAC ,0, , 就动点P 的轨迹肯定通| AB | sin B| AC | sin C过 ABC 的A.重心B.垂心C.外心D.内心4：已知 O 是平面上的肯定点
6、, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 OPOAABAC,0, , 就动点 P 的轨迹肯定通可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| AB | cos B过 ABC 的| AC | cosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.重心B.垂心C.外心D.内心5：已知 O 是平面上的肯定点, A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_满意 OPOBOCABAC ,0, , 就动点 P 的轨迹可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2| AB | cos B|
7、AC | cosC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_肯定通过 ABC 的A.重心B.垂心C.外心D.内心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6：三个不共线的向量OA, OB, OC 满意 OAAB| AB |CA| CA | = OB BA| BA |CB | CB |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= OC BC| BC |CA| CA | = 0,就 O 点是 ABC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.垂心B.重心C.内心D.外心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习
8、资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7：已知 O 是 ABC 所在平面上的一点,如 OAABC 的OBOC0 , 就 O 点是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.外心B. 内心C.重心D.垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8：已知 O 是 ABC 所在平面上的一点,如PO为平面上任意一点 ,就 O 点是 ABC 的
9、1 PA3PBPC 其中 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 外心B. 内心C.重心D.垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9：已知 O 是 ABC 所在平面上的一点, 如 OA OBO 点是 ABC 的OB OCOC OA ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.外心B. 内心C.重心D.垂心10：已知O为ABC所在平面内一点,满足可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_| OA |2| BC |2| OB |2| CA |2| OC |2| AB |2 ,就 O 点是 ABC 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.
10、垂心B. 重心C.内心D.外心11：已知 O 是 ABC 所在平面上的一点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 OAOBABOBOCBCOCOACA0 就 O点是 ABC的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 外心B. 内心C.重心D.垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12：已知 O 是 ABC 所在平面上的一点, 如 aOA是 ABC 的bOBcOC0 ,就 O 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 外心B. 内心C.重心D.垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - -
11、- - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13：已知 O 是 ABC 所在平面上的一点, 如 POaPAb PBabcPCc其中 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是 ABC 所在平面内任意一点 ,就 O 点是 ABC 的A. 外心B. 内心C.重心D.垂心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、与三角形外形相关的向量问题14：已知非零向量AB 和 AC 满意就 ABC
12、 为AB| AB |ACBC| AC |0 且 AB| AB |AC1 ,| AC |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15：已知 O 为 ABC 所在平面内一点,满意就 ABC 肯定是 |OBOC | OBOC2OA | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形16：已知 a, b, c 分别为 ABC 中 A,B, C 的对边, G 为 ABC 的重可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_心,且aGAbGBcGC0 , 就 ABC 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载