第二章应力状态分析.docx

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1、第二章应力状态分析一.内容介绍弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任 务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界 条件。应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位 均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规 律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义， 及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量确实定一转 轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析说明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符 号描述物

2、理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查 阅参考资料。本章的另一个任务是讨论弹性体内一点一微分单元体的平衡。弹性体内 部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件 为面力边界条件。二.重点1 .应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；2 .平衡微分方程与切应力互等定理；3 .面力边界条件；4 .应力分量的转轴公式；5 .应力状态特征方程和应力不变量三.知识点体力、应力矢量、应力分量、平衡微分方程、面力边界条件、主平面与主应 力、主应力性质、截面正应力与切应力、三向应力圆、八面体单元、偏应力 张量不变量、面力、正应力与切应力、应力矢量与

3、应力分量、切应力互等定 理、应力分量转轴公式、平面问题的转轴公式、应力状态特征方程、应力不 变量、最大切应力、球应力张量和偏应力张量物体在外力作用下产生变形，最后到达平衡位置。平衡不仅是指整个物 体，而且弹性体的任何局部也是平衡的。本节通过微分平行六面体单元讨论弹性体内部任意一点的平衡。应该注意：在讨论微分单元体平衡时，考虑到坐标的微小变化将导致应 力分量的相应改变。即坐标有增量时，应力分量也有对应的增量。这个增量作为 高阶小量，如果不涉及微分单元体平衡时是可以不考虑的。微分平衡方程描述了弹性体内部任意一点的平衡，确定了应力分量与体 力之间的关系。又称为纳维（Navier）方程。平衡微分方程描

4、述弹性体内部应力分量与体力之间的微分关系，是弹性力学 的第一个基本方程。切应力互等定理是弹性体力矩平衡的结果。学习要点：1 .微分单元体及平衡关系；2 .平衡微分方程与切应力互等定理。平衡方程物体在外力作用下产生变形，最后到达平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且 弹性体的任何局部也都是平衡的。为了考察弹性体内部的平衡，通过微分平行六面体单元讨论任意一点M的 平衡。在物体内，通过任意点用三组与坐标轴平行的平面截取一正六面体单 元，单元的棱边分别与X, y, z轴平行，棱边分别长dx, dy, dzo讨论微分平行六面体单元的平衡。在X面上有应力分量g. , Txy和Txz ；在x+dx面上，应力分

5、量相对X截 面有一个增量，取一阶增量，那么, 3b% 1, a汇a汇b，+1一dx,r +-dx3xdxdx o对y, z方向的应力分量作同样处理。根据微分单元体X方向平衡，X凡=0,那么8 58 工(% +-dx)dydz- cr;tdydz + (r + dy)dxdz-r dxdzdxdy+dz)dxdy - rdxdy + dxdydz = 0oz简化并且略去高阶小量，可得同理考虑y, z方向，有上述公式给出了应力和体力之间的平衡关系，称为平衡微分方程，又叫 纳维(Navier)方程。用张量形式表示，可以写作如果考虑微分单元体的力矩平衡，那么可以得到T xyT yx，Tyz Tzy，T

6、zx Txz由此可见，切应力是成对出现的，9个应力分量中仅有6个是独立的。上述关系式又称作切应力互等定理。用张量形式表示，那么Oij= 512.1体力和面力学习思路：本节介绍弹性力学的基本概念一一体力和面力，体力凡和面力己的概 念均不难理解。应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它 们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。体力矢量用瓦表示，其沿三个坐标轴的分量用Fbi(i=l，2, 3)或者小、 凡丫和尸bz表示，称为体力分量。面力矢量用R表示，其分量用Fs/ (i=l, 2, 3)或者羯x、F”，和Fsz表示。体力和面力分量的方向均规定与

7、坐标轴方向一致为正，反之为负。学习要点：1.体力；2.面力。体力：作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。 例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。面力是分布在物体外表上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。 为了说明物体在xyz坐标系内任意一点P所受体力的大小和方向，在点的邻域取一微小体积元素/匕设/的体力合力为尸，那么，点的体力定义为令微小体积元素/V趋近于0,那么可以定义一点P的体力为一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。物体内任一点的体力用Pb表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合 力方向确定。体力沿三个坐

8、标轴的分量用Fb/( i = 1, 2, 3)或者Fbx, Fby,凡z表示，称为体 力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。面力：类似于体力，可以给出面力的定义。对于物体外表上的任一点P,在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素 S。设/S上作用的面力合力为AF,那么P点的面力定义为面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体外表坐标的函数。一般 条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。面力矢量用网表示，其分量用Fsi (z=l, 2, 3)或者心、心,和Fsz表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。弹性

9、力学中的面力均定义为单位面积的面力。2.2 应力和应力状态学习思路：物体在外界因素作用下，物体内部各个局部之间将产生相互作用，物体 内部相互作用力称为内力。为讨论弹性体的强度，将单位面积的内力，就是内力 集度定义为应力。Pn为过任意点M，法线方向为h的微分面上的应力矢量。应力矢量不仅 随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面的法线方向的方向改 变而变化。一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。讨论一点各个截 面的应力变化趋势称为应力状态分析。但凡应力均必须说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应 力。应力状态对于研究物体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确

10、定点的各个截面的应力矢量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必 要写出一点所有截面的应力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用 合理的应力参数。为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通 常将应力矢量分解。学习要点：1 .应力矢量； 2.应力矢量的分解；3.应力分量。应力矢量: 物体在外界因素作用下，例如外力，温度变化等，物体内部各个局部之间将产生 相互作用，这种物体一局部与相邻局部之间的作用力称为内力。内力的计算可以采用截面法，即利用假想平面将物体截为两局部，将希 望计算内力的截面暴露出来，通过平衡关系计算截面内力尸。内力的分布一般是不均匀的。为了描述任意

11、一点M的内力，在截面上选取 一个包含M比微面积单元/S,那么可认为微面积上的内力主矢AF的分布是均匀 的。设/S的法线方向为m那么定义:上式中Pn为微面积/S上的平均应力。如果令/S逐渐减小，并且趋近 于零，取极限可得上述分析可见：Pn是通过任意点法线方向为的微分面上的应力矢量。应力Pn是矢量，方向由内力主矢/方确定，又受/S方位变化的影响。应力矢量不仅随点的位置改变而变化，而且即使在同一点，也由于截面 的法线方向H的方向改变而变化。这种性质称为应力状态。因此但凡应力均必须 说明是物体内哪一点，并且通过该点哪一个微分面的应力。一点所有截面的应力矢量的集合称为一点的应力状态。应力状态对于研究物

12、体的强度是十分重要的。显然，作为弹性体内部一个确定点的各个截面的应力矢 量，就是应力状态必然存在一定的关系。不可能也不必要写出一点所有截面的应 力。为了准确、明了地描述一点的应力状态，必须使用合理的应力参数。正应力与切应力：讨论一点各个截面的应力变化趋势称为应力状态分析。为了探讨各个截面应 力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。应力矢量的一种分解方法是将应力矢量”在给定的坐标系下沿三个坐标轴方 向分解，如用Pn, Py, Pz表示其分量，那么Pn=Pxi+ Pyj+ Pzk这种形式的分解并没有工程实际应用的价值。它的主要用途在于作为工具用 于推导弹性力学基本方程。另一种

13、分解方法,是将应力矢量Pn沿微分面/S的法线和切线方向分解。 与微分面法线方向的投影称为正应力，用6表示；平行于微分面/s的 投影称为切应力或剪应力，切应力作用于截面内，用7n表示。弹性体的强度与正应力和切应力息息相关，因此这是工程结构分析中经 常使用的应力分解形式。由于微分面法线的方向只有一个，因此说明截面方位就确定了正应力 bn的方向。但是平行于微分面的方向有无穷多，因此切应力0不仅需要确定截 面方位，还必须指明方向。应力分量：为了表达弹性体内部任意一点M的应力状态，利用三个与坐标轴方向一致的微 分面，通过M点截取一个平行六面体单元。将六面体单元各个截面上的应力矢量分别向3个坐标轴投影，可

14、以得到应力 分量3/。应力分量的第一脚标i表示该应力所在微分面的方向，即微分面外法线 的方向；第二脚标j表示应力的方向。如果应力分量与j坐标轴方向一致为正, 反之为负。如果两个脚标相同，i=j,那么应力分量方向与作用平面法线方向一致, 这是正应力，可以并写为一个脚标，例如。工。如果两脚标不同乃，那么应力分量方向与作用平面法线方向不同，这是 切应力，例如为。六面体单元的3对截面共有九个应力分量为。应该注意：应力分量是应力矢量在坐标轴上的投影，因此是标量，而不 是矢量。在的坐标系中应力状态通常用应力张量表示。使用应力张量可以完整地描述一点的应力状态。2.3 应力矢量与应力分量学习思路：应力矢量不仅

15、随点的位置改变而变化，而且也由于截面的法线方向的 方向改变而变化，研究这一变化规律称为应力状态分析。如果应力分量能够描述 一点的应力状态，那么应力分量与其它应力参数必然有内在联系。本节分析应力矢量与应力分量之间的关系，为深入讨论应力状态作准备。利用三个坐标平面和一个任意斜截面构造微分四面体单元，通过四面体 单元探讨坐标平面的应力分量和斜截面上的应力矢量的关系。根据平衡关系，推导任意斜截面的应力矢量、法线方向余弦和各个应力 分量之间的关系。分析说明：一点的应力分量确定后，任意斜截面的应力矢量是确定的。学习要点：1 .微分四面体单元；2 .应力矢量与应力分量。一点的九个应力分量如果能够完全确定一点

16、的应力状态，那么其必须能够表达通过 该点的任意斜截面上的应力矢量。为了说明这一问题，在。点用三个坐标面和一任意斜截面截取一个微分四 面体单元。月 n斜截面的法线方向矢量为小 它的三个方向余弦分别为/,相和。设斜截面上的应力为Pn，i, j和A分别为三个坐标轴方向的单位矢量，”在坐标轴上 的投影分别为P,P），,Pz。那么应力矢量可以表示为Pn = Pxi+ Pyj+ Pzk同样，把单位体积的质量所受的体积力尺沿坐标轴分解，有Fb= Fbxi+ Fbvj+ Fbzk设S为AABC的面积，那么AOBC=IS, kOCA=mS, NOAB=nSAABC的法线方向的单位矢量可表示为n- li+ Ij + m k微分四面体在应力矢量和体积力作用下应满足平衡条件，设丸为0点至斜面ABC 的高，由工方向的平衡，可得阳二0 pxS- axAOBC - tAOAC- tAOAB +=03将公式4。纪二电4。以二/S,4CL4B二冏S代入上式，那么对于微分四面体单元，丸与单元体棱边相关，因此与1相比为小量，趋 近于零，因此同理如果采用张量记号，那么上述公式可以表示为上式给出了物体内一点的9个应力分量和通过同一点的各个微分面上的应力 之间的关系。这一关系式说明，只要有了应力分量，就能够确定一点任意截面 的应力矢量，或者正应力和切应力。因此应力分量可以确定一点的应力状态。2.4平衡微分方程学习思路: