《2022年高中数学人教版必修《用牛顿迭代法求方程的近似解》青教师参赛教学设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学人教版必修《用牛顿迭代法求方程的近似解》青教师参赛教学设计.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案用牛顿迭代法求方程的近似解一内容与内容解析本节课内容是人教版选修2-2 第一章其次节探究与发觉的内容,教学内容是用牛顿迭代 法求方程的近似解.在本节课中, 在同学会用二分法求方程近似解的基础上,通过探究和发觉,使同学能借助导数争论函数,利用切线靠近函数,进而懂得迭代法的含义和作法,培育同学靠近的思想,以直代曲的思想,同时强化算法思想.本节课通过Leonardo 方程的求近似解问题, 复习和巩固二分法求方程近似解的思想,步骤和算法, 并借助导数和切线懂得牛顿迭代法的 “以直代曲” 思想和靠近
2、思想,并分析整理牛顿迭代法的步骤和算法, 并用牛顿迭代法解决实际问题.在教学中,通过借助图形运算器的探究,以及问题引导的方式, 培育同学分析问题,探究问题和合作解决问题的才能,借助二分法的复习培育同学类比的思想,同时体会学问的联系和应用.本节课中给出的Leonardo 方程有丰富的历史背景,练习中的开普勒方程又有实际背景,通过本节课的例子可以培育同学对数学的喜爱以及剧烈的求知欲 望,对古代数学家坚忍不拔的毅力的学习以及对数学在实际生活中的庞大作用的熟识都能使同学更加肯于钻研,并产生对数学的庞大爱好.教学重点：牛顿迭代法的迭代思想和过程.二、目标和目标解析1复习和巩固用二分法求方程的近似解二分法
3、求方程的近似解是高中数学必修教材中的内容,和方程与函数的零点的关系一起,作为函数的性质的应用部分,是同学联系实际的重要内容,本节课以求Leonardo 方程作为引入和争论对象, 联系和复习二分法是顺理成章的,也能够将学习过的内容再现和升华.2探究并总结牛顿迭代法求方程的近似解牛顿迭代法是中同学能够接受的一种较简洁的迭代方法,而且特别有效,但假如脱离图形运算器, 也是特别困难的.本节课的核心就是通过探究和实践,使同学能够完全懂得牛顿迭代法的迭代原理,并能够通过图形运算器进行实际应用,提高了同学解决实际问题的才能.3培育同学利用图形运算器进行复杂运算和图形功能探究解决问题的才能.培育探究精神始终以
4、来都是数学课堂上的重要任务,但探究才能的培育,不是一朝一夕的功夫, 需要同学能够有所依靠,图形运算器的配备和使用,使同学能够有充分的工具去施展, 不再恐惧图形的不行知性和运算的繁琐复杂.有了直观的感知,才是探究的源泉,对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案于中同学而言, 这是最为适合的学习模式,值得通过大量的问题和实践使同学充分
5、把握图形运算器的使用.4在数学学习的过程中需要许多学问的迁移,类比,本节课就是在充分利用二分法的思想和步骤进行类比的基础上,结合导数和切线的学问进行迁移,完成对牛顿迭代法的充分懂得的, 利用问题链进行导引,借助小组合作争论的模式,发挥图形运算器的直观作用和运算才能, 将本节课内容中的精华部分和难点部分逐一消化,使同学体会多样化学习模式的带来的学习乐趣.5让同学明白更多数学史事及数学应用更能增进同学对数学的爱好以及科学争论的价值观.同学在学习学问和方法的同时需要更多的人文关怀,学习数学不仅是学习如何运算和证明,更应当在对应的学问水平中明白数学进展中曾经显现过的闻名例子和典故.这对于同学的榜样成效
6、和勉励作用是特别显著的.同时,数学又应用于实践,应用于其他学科中,在 课堂上给同学以更多的实际例子,也会更强化同学数学有用的信念,提升其对数学学科的爱好和学习动力.三、教学问题诊断分析本节课的教学对象是耀华中学试验班的同学,耀华中学是天津市的市直属重点中学,同学具备较强的学习才能和动手实践才能,较适于本课题的争论和学习,同学也对于这样的探究学习模式较为习惯和适应.同学在学习本节课之前已经学习过函数与方程中的二分法求方程近似解, 而且学习过导数的概念和求解,能够运用导数争论函数的性质和求切线.同学有充分的探究意识和团队合作才能,图形运算器操作娴熟,能够利用图形运算器画图和运算. 在本节课的教学中
7、,同学可能会在迭代法的探究过程中显现困难,主要表达在对靠近方式的 熟识, 这点可以通过图形运算器的函数切线的动态演示帮忙同学懂得“以直代曲”思想,另一点困难可能是对迭代的懂得上,这点可以通过类比二分法的算法特点加以懂得.而且可以充分利用图形运算器的递推运算功能加以运算,从而促进同学对牛顿迭代法的懂得.教学难点：懂得牛顿迭代法的靠近和迭代原理. 教学关键：理论推导和图形运算器验证有机结合.四、教法分析1. 利用有历史背景的数学方程激发同学积极探究新知的欲望,勉励同学积极动手实践,不断优化学问结构,在“实践、 理论、再实践”的过程中完成对新知的探究和应用,培育学生的思维才能和应用意识.可编辑资料
8、- - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案2. 以同学为中心,老师适当引导,积极创设合作学习的氛围,使同学获得供应“实践、 探究、沟通”的机会,引导同学独立摸索,更留意合作沟通,有效的调动同学思维,使同学 在开放的活动中猎取直接体会.使同学经受观看、分析、操作、归纳、概括的认知过程,培育综合运用已有学问解决新问题的才能.五、教学支持条件分析本节课
9、通过PPT演示的方式给同学介绍背景,引导问题, 在复习巩固和小组争论之后采 用实物投影的方式将同学的争论结果展现出来,同时结合演示图形运算器的运算功能和图形成效, 帮忙同学懂得课题和进行运算.在课堂教学中,同学每人配备一个图形运算器,图形运算器的存在 , 能够帮忙同学从图形角度摸索问题, 同时能够进行快速的运算和迭代, 而且求出的正是近似解. 这一切都是本课题所特殊要求的. 同学通过函数的零点与方程的根的关系, 体会利用函数争论方程的便利性, 同时利用图形运算器, 能够便利的将函数图象表示出来; 同学在求近似解的过程中, 需要大量繁琐的运算, 人工运算费时费劲, 而利用图形运算器, 同学能够便
10、利的快速求得高精度的解,是同学探究的有力工具.而数学争论在有了感性熟识的基 础上,能够逐层递进,有效归纳,达到易于争论和深化的目的.从这个角度来说,本课题是图形运算器的特定匹配课程,或者更准确的说,正由于有了图形运算器的存在,才有了本课题实践的可能性, 也才有了同学动手钻研和懂得课题的可能性.课题要求同学把握图形运算器的画图功能, 求零点功能,求函数的交点坐标的功能,直接解方程的功能,以及进行快速 迭代运算的功能和数列递推的功能等,对同学的图形运算器使用的要求较高,综合性较强.六、教学过程（一）激发爱好,引出问题师生活动从一个三次方程求解问题引入,给出一个数学故事,激发同学爱好,同时对同学渗透
11、德育训练.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【问题 1】对于方程x3 +2 x2 +10 x-20 =0 的求近似解问题, 大家明白它的典故吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图这个方程是同学所熟识的,利用它来抛出问题,引发同学摸索.【背景介绍】 斐波那契数列, 也被称为 “兔子数列” .它最早显现在一本叫做算盘书的书中,这本书的作者就是比萨的列奥纳多,又称斐波那契（1175 年-1250 年）,是一名意大利数学家.他是西方第一个争论斐波那契数,并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选
12、- - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案人,影响了欧洲数学界一个时代.斐波那契其他数学著作仍有平方数书、花朵等,前者专论二次丢番图方程,后者内容多为菲德里克二世宫廷数学竞赛问题,其中包含一个三次可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 x3 +2 x2 +10 x -20 =0 的求解,斐波那契论证了其根不能用尺规作出（即不行能是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_欧几里得的
13、无理量） ,他仍未加说明的给出了该方程的近似解.这在当时是特别重要的结果,但是无人知道他是怎么运算得到的.尽管一元三次方程存在根式解,但生活实践当中,一个精度很高的近似解的价值要超过精确的根式解.所以这个 Leonardo 方程, 值得我们今日连续去争论和发觉.设计意图通过这个背景介绍,能够完全调动同学的学习爱好和热忱,课堂老师引导的目的第一就是激发同学的学习热忱和动力,通过这个环节,既引出问题,又产生爱好,一举两得.（二）复习巩固,启示引导【问题 2】求 Leonardo 方程的近似解,我们学习过什么方法？请大家把课前完成的复习巩固环节进行沟通.师生活动提问同学复习回忆二分法求方程近似解的步
14、骤及二分法的靠近思想,便利在课程教学时进行类比分析.【问题 3 】摸索并总结：用二分法求方程的近似解时,需要留意一些什么问题？师生活动同学回答疑题,总结复习成果,为今日的课题争论打好基础和伏笔.设计意图同学在课前完成了学案相应复习部分的内容,复习了高一时所学习过的二分法的内容, 为本节课的课程争论打下坚实的基础,包括对算法思想,靠近思想的体会都能有所加深,为争论牛顿迭代法进行类比供应了很好的基础.（三）问题引导,分析方法【问题 4】今日我们延究一种新的运算方程近似解的方法,请大家依据学案上的问题设置,结合近期新学习的内容,回答疑题同时引发对新方法的摸索,小组争论一下,并进行沟通.问题链设计：（
15、1）在争论方程的根的问题时,我们常可以将其等价转化为什么问题进行争论？（2）在争论函数的性质时, 我们新学习了什么工具可以用来很便利的刻画函数的什么性质？（3）我们新学习的工具中,在刻画函数性质方面,表达出了什么样的思想？（4）在争论方程的近似解的时候,二分法表达出了什么样的思想？（5）类比二分法的思想,结合我们新学到的工具,我们能产生什么新的想法求方程的近似可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结
16、归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案解？师生活动问答形式,以提问的方式使同学将摸索后的想法共享出来,并逐步引出后面的问题.设计意图通过问题链引导同学进行复习,使同学逐步将导数和切线与方程的近似解相结合起来.【问题 5】借助图形运算器,验证新的想法,并摸索如何将其转化为算法.师生活动同学们利用手中的图形运算器画出曲线的切线,并通过平移体会“以直代曲”思想.老师在电脑上进行演示.设计意图结合图形运算器的演示,同时让同学实际动手操作,能够直观懂得“以直代曲”思想,为后面的借助切线与x 轴的交点横坐标代替原函数零点的思想进行切实的铺垫.可编辑资料 - - - 欢迎下载精
17、品_精品资料_（四）探究切线,体验迭代3【问题 5】利用图形运算器, 求方程 x2x210x109200 的近似解 （精确度为）,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记录下探究和运算的过程.设计意图通过问题引导的方式,让同学试着利用切线代替曲线来求近似解,并逐步体会迭代的方式方法,写出 Leonardo 方程的迭代公式并利用图形运算器求解,完成探究环节,给出问题解答.师生活动老师问题引导：（1）从哪一个点开头“以直代曲”？求出详细的切线及近似解.预设：同学先求出切线方程,并利用手中的图形运算器画出函数图象和切线的图象在一起,可以进行比较.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
18、料_切线方程：y = 30 x -2+16 .图象如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）与我们刚才求出的零点比较,再结合函数图象与切线,用什么方法进行下一步的操作,进而逐步靠近方程的解了？预设：同学可能会再挑选不同的x 值求切线方程,并连续画图探究,此时可以引导学可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案生摸索查
19、找规律, 取不同的x 值无非是期望切线再能够靠近图象,那么假如就取刚才求出的切线零点为x 值,既能更加贴近图象,又可以有一个合理的步骤,不妨可以试试再求出22x =时的切线方程,运算较复杂,可以利用图形运算器帮助完成,并画出图象.可以观15察出, 经过放大肯定倍数之后,才能加以区分, 并且新得到的切线零点比之前第一条切线的零点更加靠近函数的零点.设计意图这一部分探究是本节课的核心内容,也是需要花费较大精力和时间的一部分. 必需通过问题链的形式引导和启示同学,联系到切线和图象的近似替代,并进行的确的动手尝试才能使同学信服,所以这里必需要借助于图形运算器的力气,否就无法完成, 同学假如不能自己动手
20、观看,对懂得牛顿迭代法也会特别不利.（ 3）迭代运算的方法是什么？如何完成运算？设计意图同学会考虑查找一个通式进行运算,通过小组争论得出Leonardo 方程的牛顿迭代法的迭代公式,并用图形运算器的递推或变量运算功能求出结果.预设：利用数列递推功能（ 4）在给定精确度的前提下,什么时候终止迭代？设计意图同学在完成运算之后会很兴奋得到和之前运算出的一样的结果,所以可能就会忽视终止迭代的条件,这个问题能引发同学摸索,并将整个迭代过程予以完善和规范.（五）建立方法,完善理论【问题 7】参照刚才的运算方法,能否像二分法一样,总结出牛顿迭代法求近似解的迭代公式？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
21、资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案师生活动同学分组争论争论,将牛顿迭代法的步骤和迭代公式从刚才的详细问题中提炼出来,并进行沟通总结.设计意图总结牛顿迭代法的迭代公式,虽然步骤不多,但涉及迭代这个对同学较为生疏的方式, 所以这部分理论推导具有肯定难度. 所以老师在此起到引领作用, 类比递推数列, 帮忙各组分析切线方程求零点, 帮忙同学完成这个由实践到理论的升华, 这个对
22、同学也是一个受益的体验过程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_预设：给定函数为y =f x ,迭代初始值为x0 ,其切线方程可以写为：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y-f x =f x x -x ,求其零点,令0y =0 , 得 x = x -f x0 .将其表示为迭可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0000f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代公式,即xn= x -f xn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n+ 1
23、nf x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（六）归纳整理,算法思想【问题 8】牛顿迭代法的核心思想是什么？依据总结出的牛顿迭代法的原理和步骤,画出迭代求解的算法框图.师生活动各组同学进行争论,将步骤转化为框图,然后进行实物展现,全班分析,完成到从自然语言到算法语言的提升和总结.设计意图算法思想同样是本节课的核心思想之一,要求同学将解题方法以算法形式整理完善,是对本节课思想方法上的完善.（七）总结提高,学以致用【问题 9】课堂练习：在天文学中,有一类闻名的方程开普勒方程,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x = q sin x +a 0 q 1,a是常数 是用来确定
24、行星在其运动轨道上的位置的.开普勒方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程是一个超越方程,很难得出严格的分析解,但是,已经证明这个方程存在唯独解.在实际问题中, 我们更期望得到一个近似程度很高的近似解就可以.请同学们利用今日所探究和归可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_纳的方法,运算取q = 0.5,a = -0.5 ,对应的开普勒方程的近似解,精确到10- 9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设计意图作为最终一个环节,要锤炼同学如何整理和归纳,将探究和实践之后的体会用规范的形式整理出来并表述清晰.然后学以致用,同学新学到了牛顿迭代法的思想,有亲身实践
25、过用图形运算器经过少量迭代即可解决Leonardo 方程的近似解问题,本身就会有跃跃欲试之感,期望能用牛顿迭代法解决更多的问题,此时给出的练习,既有实际背景,天文学中的开普勒方程,又不同于Leonardo 方程,为三角超越方程,对同学会有很强的吸可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师精编优秀教案引力,让他们能够较好的达成实践锤炼的目的.（八）
26、科学争论,精神培育师生活动老师介绍斐波那契的争论结果,与图形运算器所得近似解相同,斐波那契当时没有运算器,却能够依靠算法和坚忍不拔的毅力,将一个三次方程的近似解算到精确到小数点后十位,值得同学学习和传承这种精神.设计意图这个环节所占时间很短,但是特别必要的,对于数学精神的传承,是数学课堂和数学教学工作者的责任和义务.本节课的课题争论本身就是一个数学史上特别闻名的方程, Leonardo方程,更应借此对同学进行探究精神和学习毅力方面的训练,也能引发 同学进一步的摸索,对今后的学习产生长远的积极影响.七、目标和目标达成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_布置本节课的作业和进展性问题1、
27、借助图形运算器,练习用牛顿迭代法求方程的近似解.（精确度10- 6 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） x +1x -2x -3 = 1;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 0.8x -1 = ln x ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） x3 + 5 =6 x2 +3x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、实习作业：从下面的表达中,挑选一个你比较感爱好的方向,再连续进行
28、新的探究和发觉.（1）在实际生活及其他学科争论中,哪些问题可以转化成高次代数方程或超越方程求近似解的问题？搜集一下此类问题,并写出你的感受.（2）除了二分法和牛顿迭代法,我们仍可以找到其他方法来求方程的近似解吗？循着今日课堂的思路,参阅相关资料,利用图形运算器,再查找一个求方程近似解的方法.（3）我们在用二分法求方程近似解的过程中,需要强调有根区间的判定,请大家摸索一下,假如不判定有根区间,而是直接采纳牛顿迭代法进行求解,任取一个初始值,会对求近似解产生什么影响？可以参阅相关资料,用图形运算器进行帮助运算,印证你的判定并摸索缘由.设计意图进展性问题是本课题的点睛之笔,同学的学习,更多的和更有价值的应当在课外,课堂的作用是引导和启示,而课外才是同学自由驰骋的舞台.在课程终止之际,给同学留下更多的摸索,是延长课堂成效的最好方式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载