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1、专题05,数学思想问题（精讲）-中考数学高频考点突破（解析版） 初中数学新课程标准中指出:老师应激发学生的学习主动性，向学生供应充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作沟通的过程中真正理解和驾驭基本的数学学问与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动阅历。学生是数学学习的主子，老师是数学学习的组织者、引导者与合作者。 新课程把数学思想和方法作为基础学问的重要组成部分，在新课程标准中明确提出来，这不仅是课标体现义务教化性质的重要表现，也是对学生实施创新教化、培训创新思维的重要保证。驾驭数学思想，就是驾驭数学的精髓。 初中数字中蕴含的数学思想许多，其中最主要的数学思想方法包括转化思想、数形
2、结合思想、分类探讨思想、函数与方程思想等 考点一 整体思想 整体思想是指把探讨对象的某一部分(或全部)看成一个整体，通过视察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。整体是与局部对应的，按常规不简单求某一个(或多个)未知量时，特征，把一组数或一个代数式看作一 个整体， 从而使问题得到解决。 （2018岳阳）已知a2+2a=1，则3（a2+2a）+2的值为 利用整体思想代入计算即可； 解：a2+2a=1， 3（a2+2a）+2=31+2=5， 故答案为5 考点二 转化思想问题 转化思想转化思想就是人们将须要解决的问题，通过演绎、归纳等转化手段，归结为另一种相对简单解决或已经
3、有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决.转化思想体现在数学解题过程中就是将未知的、生疏的、困难的问题通过演绎和归纳转化为已知的、熟识的、简洁的问题. （2018连云港）解方程：=0 依据等式的性质，可得整式方程，依据解整式方程，可得答案 考点三 数形结合思想 数形结合思想，数学是探讨现实世界空间形式和数量关系的科学，因而，在某种程度上可以说数学探讨是围围着数与形绽开的，初中数学中的“数”就是代数式、方程、函数、不等式等符号表达式，初中数学中的“形”就是图形、图象、曲线等形象表达式，数形结合思想的实质是将抽象的数学语言“数”)与直观的图象(“形“)结合起来，数形结合思想的关键就是抓住“数”与
4、“形”之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地探讨“形”，实现代数与几何之间的相互转化，数形结合思想包括“以形助数”和“以数辅形”两个方面，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化，“数无形时不直观，形多数时难入微.” （2018威海）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来 依据解一元一次不等式组的步骤，大小小大中间找，可得答案 解：解不等式，得x4， 解不等式，得x2， 把不等式的解集在数轴上表示如图 ， 原不等式组的解集为4x2 考点四 分类探讨思想 分类探讨思想就是依据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象区分为不同的种类.分类是以比较为基础的，它有助于揭示数学对象之
5、间的内在联系与规律，有助于学生总结归纳数学学问、解诀数学问题. 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种状况，须要对各种状况加以分类，并逐类求解，然后综合得 解，这就是分类探讨法。分类探讨是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。分类的原则: (1) 分类中的每一部分是相互独立的; (2) 一饮分类按-一个标准; (3) 分类探讨应逐级进行.正确的分类必需是周全的，既不重复、也不遗漏. （2018绍兴）数学课上，张老师举了下面的例题： 例1 等腰三角形ABC中，A=110，求B的度数（答案：35） 例2 等腰三角形ABC中，
6、A=40，求B的度数，（答案：40或70或100） 张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题： 变式 等腰三角形ABC中，A=80，求B的度数 （1）请你解答以上的变式题 （2）解（1）后，小敏发觉，A的度数不同，得到B的度数的个数也可能不同，假如在等腰三角形ABC中，设A=x，当B有三个不同的度数时，请你探究x的取值范围 （1）由于等腰三角形的顶角和底角没有明确，因此要分类探讨； （2）分两种状况：90x180；0x90，结合三角形内角和定理求解即可 （2）分两种状况： 当90x180时，A只能为顶角， B的度数只有一个； 当0x90时， 若A为顶角，则B=（）； 若A为底角，B为顶角，则
7、B=（1802x）； 若A为底角，B为底角，则B=x 当1802x且1802xx且x， 即x60时，B有三个不同的度数 综上所述，可知当0x90且x60时，B有三个不同的度数学科网 考点五 函数与方程思想 函数与方程思想，函数与方程思想就是用函数的观点和方法分析问题、解诀问题.函数思想是客观世界中事物运动改变、相互联系、相互制约的普遍规律在数学中的详细反映.函数与方程思想的本质是变量之间的对应，即用改变的观点和函数的形式将所探讨的数量关系表示出来，然后用函数的性质进行探讨，从而使问题获得解诀.假如函数的形式用解析式的方式表示，那么就可以将函数解析式看作方程，并通过解方程和对方程的探讨使问题得到
8、解诀，这就是方程思想. 2018天门）绿色生态农场生产并销售某种有机产品，假设生产出的产品能全部售出如图，线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系 （1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式； （2）干脆写诞生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式； （3）当产量为多少时，这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？ 解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b， 经过点（0，168）与（180，60）， ，解得：， 产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=x+168
9、（0x180）； （3）设产量为xkg时，获得的利润为W元， 当0x50时，W=x（x+16870）=（x）2+， 当x=50时，W的值最大，最大值为3400； 当50x130时，W=x（x+168）（x+80）=（x110）2+4840， 当x=110时，W的值最大，最大值为4840； 当130x180时，W=x（x+16854）=（x95）2+5415， 当x=130时，W的值最大，最大值为4680 因此当该产品产量为110kg时，获得的利润最大，最大值为4840元 考点六 类比思想 类比思想是数学创建型思维中很重要的一种思想方法，它可以帮助学习者建立新旧学问联系的桥梁，实现学问的正迁移，
10、将已学过的学问或已驾驭的解题方法迁移到生疏的问题中，进而使问题得到解决.详细的策略是分析问题有深度借助新旧学问的关联合理进行学问迁移运用类比的思想轻松解决疑难问题 （2017山东滨州）依据要求，解答下列问题： 方程x22x+1=0的解为 ； 方程x23x+2=0的解为 ； 方程x24x+3=0的解为 ； （2）依据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程x29x+8=0的解为 ；来 关于x的方程 的解为x1=1，x2=n （3）请用配方法解方程x29x+8=0，以验证猜想结论的正确性 （1）利用因式分解法解各方程即可； （2）依据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x29x+8=0的解为1和8
11、；关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积 （3）利用配方法解方程x29x+8=0可推断猜想结论的正确 （2）依据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程x29x+8=0的解为x1=1，x2=8； 关于x的方程x2（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n （3）x29x=8， x29x+=8+ （x）2= x=， 所以x1=1，x2=8； 所以猜想正确 故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2（1+n）x+n=0； 变式1：（2018玉林）已知ab=a+b+1，则（a1）（b1）
12、= 将ab=a+b+1代入原式=abab+1合并即可得 解：当ab=a+b+1时， 原式=abab+1 =a+b+1ab+1 =2， 故答案为：2学科网 变式2：（2018随州）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=5 依据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题； 解：是关于x，y的二元一次方程组的一组解， ，解得， a+b=5， 故答案为5 变式3：（2018常德）分式方程=0的解为x= 变式4：（2018枣庄）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n0）的图象在其次
13、象限交于点CCDx轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12 （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）记两函数图象的另一个交点为E，求CDE的面积； （3）干脆写出不等式kx+b的解集 （1）依据三角形相像，可求出点C坐标，可得一次函数和反比例函数解析式； （2）联立解析式，可求交点坐标； （3）依据数形结合，将不等式转化为一次函数和反比例函数图象关系 把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得： 解得： 一次函数解析式为：y=2x+12 （2）当=2x+12时，解得 x1=10，x2=4 当x=10时，y=8 点E坐标为（10，8） SCDE=SCDA+SEDA= （3）不等式
14、kx+b，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象 由图象得，x10，或4x0 变式5：（2017绥化）在等腰ABC中，ADBC交直线BC于点D，若AD=BC，则ABC的顶角的度数为 w 分两种状况；BC为腰，BC为底，依据直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半推断出ACD=30，然后分AD在ABC内部和外部两种状况求解即可 变式6：（2017贵州安顺）如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等
15、腰三角形？若存在，请干脆写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究） 解： （1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C， B（3，0），C（0，3）， 把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得， 抛物线解析式为y=x24x+3； （2）y=x24x+3=（x2）21， 抛物线对称轴为x=2，P（2，1）， 设M（2，t），且C（0，3）， MC=，MP=|t+1|，PC=2， CPM为等腰三角形， 有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种状况， 当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2
16、，）； 当MC=PC时，则有=2，解得t=1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）； 当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=1+2或t=12，此时M（2，1+2）或（2，12）； 综上可知存在满意条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）； （3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D， 变式7：（2017内蒙古赤峰）OPA和OQB分别是以OP、OQ为直角边的等腰直角三角形，点C、D、E分别是OA、OB、AB的中点 （1）当AOB=90时如图1，连接PE、QE，干脆写出EP与EQ的大小关系； （2）将OQB绕点O逆时针方向旋转，当AOB是锐角
17、时如图2，（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请加以说明 （3）仍将OQB绕点O旋转，当AOB为钝角时，延长PC、QD交于点G，使ABG为等边三角形如图3，求AOB的度数 （1）先推断出点P，O，Q在同一条直线上，再推断出APEBFE，最终用直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半即可得出结论； （2）先推断出CE=DQ，PC=DE，进而推断出EPCQED即可得出结论； （3）先推断出CQ，GP分别是OB，OA的垂直平分线，进而得出GBO=GOB，GOA=GAO，即可得出结论21教化名师原创作品。学科网 AEP=BEF， APEBFE， PE=EF， 点E是RtPQF的斜边PF的中点， EP=EQ； （2）成立， 证明：点C，E分别是OA，AB的中点， CEOB，CE=OB， DOC=ECA， 点D是RtOQB斜边中点， DQ=OB， CE=DQ， 同理：PC=DE，DOC=BDE， ECA=BDE， PCE=EDQ， EPCQED， EP=EQ；