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1、第三章分式全章学案(北师大版八年级数学下册)八年级数学下册第三章平移和旋转学问点归纳（北师大版） 八年级数学下册第三章平移和旋转学问点归纳（北师大版） 第三章平移和旋转 一.图形的平移 1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动肯定的距离，这样的图形运动叫做平移。 2.性质：（1）平移不变更图形的形态和大小，平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同始终线上且相等。（3）对应线段相等，对应角相等。 二.图形的旋转 1.概念：在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转。这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。2.性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；
2、（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后的图形全等对应线段相等，对应角相等。 三.中心对称 1.概念：把一个图形围着某一点旋转180，假如它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2.基本性质：（1）成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。（2）成中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 3.中心对称图形概念：把一个图形绕某个点旋转180，假如旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。 中心对称与中心对称图形的区分与联系假如将成中心
3、对称的两个图形看成一个图形，那么这个整体就是中心对称图形；反过来，假如把一个中心对称图形沿着过对称中心的一条直线分成两个图形，那么这两个图形成中心对称。 北师大版八年级数学下第三章图形的平移与旋转全章复习与巩固（提高）学问讲解 图形的平移与旋转全章复习与巩固（提高）学问讲解【学习目标】1.了解平移、旋转、中心对称，探究它们的基本性质；2.能够按要求作出简洁平面图形经过平移、旋转后的图形，能作出简洁平面图形经过一次或两次图形变换后的图形；3.利用平移、旋转、中心对称、轴对称及其组合进行图案设计；4.相识和观赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【学问网络】【要点梳理】要点一、平移变换1.平移的
4、概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动肯定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不变更图形的形态和大小要点诠释：（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只变更了位置，而不变更图形的形态和大小2平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等要点诠释：（1）要留意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；
5、（2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据3.平移与坐标变换：(1)点的平移点的平移引起坐标的改变规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y)；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b)要点诠释：上述结论反之亦成立，即点的坐标的改变引起的点相应的平移变换(2)图形的平移平移是图形的整体运动在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移改变，则它上面的全部点的坐标都发生了同样的改变，其改变规律遵循：“右加左减，纵
6、不变；上加下减，横不变”要点诠释：（1）上述结论反之亦成立，即假如把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；假如把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度（2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的要点二、旋转变换1旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.要点诠释：（1）旋转后的图形与原图形的形态、大小都相同，但形态、大小都相同的两个图形
7、不肯定能通过旋转得到.（2）旋转的角度一般小于360.（3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） 旋转变换的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，随意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等.旋转作图步骤：分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.分析所作图形，找出构成图形的关键点.沿肯定的方向，按肯定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.按原图形连结方式顺次连结各对应点. 要点三、中心对称与图案设计1中心对称：把一个图形围着某一点旋转180，它能够与另一个图形重合，那么
8、就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的要点诠释：中心对称的性质：成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分2.中心对称图形：把一个图形围着某点旋转180，假如旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心.要点诠释：中心对称作图步骤：连结确定已知图形的形态、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.3.图形变换与图案设计的基本步骤确定图案的设计主题及要求；分析设计图案所给定的基本图案；利用平移、旋转、轴对称对基
9、本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；对图案进行修饰，完成图案.4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置变更了，但大小和形态没有变更，即两个图形是全等的 【典型例题】类型一、平移变换1.阅读理解题（1）两条直线a，b相交于一点O，如图，有两对不同的对顶角；（2）三条直线a，b，c相交于点O，如图，则把直线平移成如图所示的图形，可数出6对不同的对顶角；（3）四条直线a，b，c，d相交于一点O，如图，用（2）的方法把直线c平移，可数出对不同的对顶角；（4）n条直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角；（5）2022条
10、直线相交于一点O，用同样的方法把直线平移后，有对不同的对顶角【思路点拨】（3）画出图形，依据图形得出即可；（4）依据以上能得出规律，有n（n-1）对不同的对顶角；（5）把n=2022代入求出即可【答案与解析】解：（3）如图有12对不同的对顶角，故答案为：12（4）有n（n-1）对不同的对顶角，故答案为：n（n-1）；（5）把n=2022代入得：2022（2022-1）=4050156，故答案为：4050156【总结升华】本题考查了平移与对顶角的应用，关键是能依据题意得出规律举一反三：【变式】（2022莒县模拟）如图，ABC的面积为2，将ABC沿AC方向平移至DFE，且AC=CD，则四边形AEF
11、B的面积为（）A6B8C10D12【答案】C2（2022春召陵区期中）如图，将线段A1A2向右平移1个单位到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图中，将折线A1A2A3向右平移1个单位到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）（1）在图中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示；（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积（设长方形水平方向长均为a，竖直方向长均为b）：S1=，S2=，S3=；（3）如图，在一块长方形草地上，有一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2个单位），请你
12、求出空白部分表示的草地面积是多少？（4）如图，若在（3）中的草地又有一条横向的弯曲小路（小路任何地方的度都是1个单位），请你求出空白部分表示的草地的面积是多少？【思路点拨】（1）依据题意，干脆画图即可，留意答案不唯一，只要画一条有两个折点的折线，得到一个封闭图形即可（2）结合图形，依据平移的性质可知，中阴影部分的面积都可看作是以a1为长，b为宽的长方形的面积（3）结合图形，通过平移，阴影部分可平移为以a2米为长，b米为宽的长方形，依据长方形的面积可得小路部分所占的面积（4）结合图形可知，小路部分所占的面积=a米为长，b米为宽的长方形的面积a米为长，1米为宽的长方形的面积2米为长，b米为宽的长方
13、形的面积+2米为长，1米为宽的长方形的面积【答案与解析】解：（1）画图如下：（2）S1=abb，S=abb，S2=abb，S3=abb猜想：依据前面的有关计算，可以猜想草地的面积仍旧是abb方案：1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”；2、将左侧的草地向右平移一个单位；3、得到一个新的矩形理由：在新得到的矩形中，其纵向宽仍旧是b其水平方向的长变成了a1，所以草地的面积就是：b（a1）=abb（3）小路任何地方的水平宽度都是2个单位，空白部分表示的草地面积是（a2）b；（4）小路任何地方的宽度都是1个单位，空白部分表示的草地面积是aba2b+2【总结升华】本题主要考查了利用平移设计图案，用到的学
14、问点是矩形的性质和平移的性质，能利用平移的性质把不规则的图形拆分或拼凑为简洁图形来计算草地的面积是解题的关键举一反三：【变式】如图，面积为12cm2的ABC沿BC方向平移至DEF的位置，平移距离是边BC长的两倍，则图中四边形ACED的面积为（）A24cm2B36cm2C48cm2D无法确定【答案】B.四边形ABED是平行四边形且S四边形ABED=S四边形ACFD，而S四边形ACED=S四边形ABED-SABC类型二、旋转变换3正方形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，F是OB上一点，且OE=OF，回答下列问题：（1）在图中1，可以通过平移、旋转、翻折中的哪一种方法，使OAF变
15、到OBE的位置请说出其改变过程（2）指出图（1）中AF和BE之间的关系，并证明你的结论（3）若点E、F分别运动到OB、OC的延长线上，且OE=OF（如图2），则（2）中的结论仍旧成立吗？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明你的理由【思路点拨】（1）依据图形特点即可得到答案；（2）延长AF交BE于M，依据正方形性质求出AB=BC，AOB=BOC，证AOFBOE，推出AF=BE，FAO=EBO，依据三角形内角和定理证出即可；（3）延长EB交AF于N，依据正方形性质推出ABD=ACB=45，AB=BC，得到ABF=BCE，同法可证ABFBCE，推出AF=BE，F=E，FAB=EBC，得到E+FA
16、B+BAO=90即可【答案与解析】解：（1）旋转，以点O为旋转中心，逆时针旋转90度（2）图（1）中AF和BE之间的关系：AF=BE；AFBE证明：延长AF交BE于M，正方形ABCD，ACBD，OA=OB，AOB=BOC=90，在AOF和BOE中AOFBOE（SAS），AF=BE，FAO=EBO，EBO+OEB=90，FAO+OEB=90，AME=90，AFBE，即AF=BE，AFBE（3）成立；证明：延长EB交AF于N，正方形ABCD，ABD=ACB=45，AB=BC，ABF+ABD=180，BCE+ACB=180，ABF=BCE，AB=BC，BF=CE，ABFBCE，AF=BE，F=E，F
17、AB=EBC，F+FAB=ABD=45，E+FAB=45，E+FAB+BAO=45+45=90，ANE=180-90=90，AFBE，即AF=BE，AFBE【总结升华】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，旋转的性质等学问点的连接和驾驭，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键4.如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF2OA，OE2OD，连接EF将EOF绕点O逆时针旋转角得到E1OF1(如图2)(1)探究AE1与BF1的数量关系，并赐予证明；(2)当30时，求证：AOE1为直角三角形【思路点拨】(1)要证AE1BF1，就要首先考虑
18、它们是全等三角形的对应边；(2)要证AOE1为直角三角形，就要考虑证E1AO90.【答案与解析】解：(1)AE1BF1，证明如下：O为正方形ABCD的中心，OAOBOD.OEOF.E1OF1是EOF绕点O逆时针旋转角得到，OE1OF1.AOBEOF900，E1OA900F1OAF1OB.在E1OA和F1OB中，E1OAF1OB（SAS）.AE1BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.AOD900，30，E1OA90060.OE12OA，OAOG，E1OAAGOOAG60.AGGE1，GAE1GE1A30.E1AO90.AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定
19、和性质，直角三角形的判定.举一反三：【变式】在等边三角形ABC中有一点P，已知PC2,PA4，PB，则APB.【答案】90 类型三、中心对称与图形设计5.如图，方格纸中四边形ABCD的四个顶点均在格点上，将四边形ABCD向右平移5格得到四边形A1B1C1D1再将四边形A1B1C1D1，绕点A逆时针旋转180，得到四边形A1B2C2D2（1）在方格纸中画出四边形A1B1C1D1和四边形A1B2C2D2（2）四边形ABCD与四边形A1B2C2D2是否成中心对称？若成中心对称，请画出对称中心；若不成中心对称，请说明理由【思路点拨】（1）首先把各个顶点平移，以及作出对称点，然后顺次连接各个对称点即可作
20、出对称图形；（2）视察所作图形，对称点连线的交点就是对称中心【答案与解析】解：（1）（2）两个图形关于点O对称中心【总结升华】本题考查旋转变换作图，在找旋转中心时，要抓住“动”与“不动”，看图是关键举一反三：【变式】（罗平县校级期末）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，ABC的顶点均在格点上，写出A、B、C的坐标以原点O为对称中心，画出ABC关于原点O对称的A1B1C1，并写出A1、B1、C1【答案】解：A（1，4），B（5，4），C（4，1）；A1（1，4），B1（5，4），C1（4，1），如图所示：6.如图，这两幅图是怎样利用旋转、平移或轴对称进行设计的？你能
21、依照其中的图案自己设计一个图案吗？【答案与解析】解：（1）答案不惟一，可以看作是一个小正方形图案连续平移48次，平移前后全部的图形共同组成的图案（2）答案不唯一，可以看作是一组竖条线组成的等腰直角三角形，以直角顶点为中心、按同一个方向分别旋转，旋转前后的四个图形共同组成的图案 【总结升华】本题考查利用旋转设计图案的学问，基本图案的找寻较为敏捷，对于不同的基本图形须要作的几何变换也不同举一反三：【变式】下列图形中，能通过某个基本图形平移得到的是（）A.B.C.D.【答案】D. 北师大九年级数学上册第三章证明3教案 课题3.1平行四边形（一）课型新授课 教学目标1经验探究、猜想、证明的过程，进一步
22、发展推理论证的实力。 2能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论， 3体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。 教学重点驾驭平行四边形的性质定理。 教学难点探究证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。 教学方法讲练结合法探究发觉猜想证明引导学生探究证明的不同思路和方法 教学内容及过程备注 一、回顾沟通 问题提出：1.平行四边形有哪些性质？ 2.平行四边形有哪些判定条件？ 3.如何运用公理和已有的定理证明它们？ 平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质： 定理1:平行四边形的对边平行.(由定义得) 定理2:平行四边形的对边相等. 定理
23、3:平行四边形的对角相等. 定理4:平行四边形的对角线相互平分. 二、范例讲解 1.例证明：等腰梯形在同一底上的 两个角相等。 拓展：这个命题的逆命题成立吗？假如成立，请你证明它。 学生证明。 定理同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。 展示证明思路，明白等腰梯形与所学学问之间的联系，渗透数学思想方法（把等腰梯形转化为平行四边形和三角形来处理） 2.证明:夹在两条平行线间的平行线段相等. 已知:如图,ABCD,EFGH. 求证:EF=GH 三、随堂练习 课本随堂练习1、2 补充练习（1）已知：如图，ABCD的对角线AC，BD相交于点O,过点O的直线与AD,BC分别相交于点E,F. 求证:OE=
24、OF. （2）已知:如图,AC,BD是ABCD的两条对角线,且AEBD,CFBD,垂足分别为E,F, 求证:AE=CF. （3）已知:在ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AF=CE.线段BE与DF之间有什么关系?请证明你的结论.若去掉题设中的AF=CE,请添加一个条件使BE与DF有以上同样的性质. 四、课堂总结 平行四边形的主要性质有：对边相等、对角相等，对边平行，对角线相互平分。 五、布置作业 课本习题3.11、2 第14页 共14页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页第 14 页 共 14 页