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1、相似三角形的性质(1)导学案相像三角形的性质 其次十一讲相像三角形的性质两个相像三角形的对应角相等，对应边成比例，对应边之比称为它们的相像比，可以想到这两个相像三角形中其他一些对应元素也与相像比有肯定的关系1相像三角形对应高的比、对应中线的比，对应角平分线的比都等于相像比；2相像三角形周长之比等于相像比；3相像三角形面积之比等于相像比的平方以上诸多相像三角形的性质，丰富了与角、面积等相关的学问方法，开阔了探讨角、面积等问题的视野 例题求解【例1】如图，梯形ABCD中，ADBC(ADBC)，AC、BD交于点O，若SOAB=S梯形ABCD，则AOD与BOC的周长之比是(浙江省绍兴市中考题)思路点拨
2、只需求的值，而题设条件与面积相关，应求出的值，留意图形中隐含的丰富的面积关系注相像三角形的性质及比例线段的性质，在生产、生活中有广泛的应用人类第一次运用相像原理进行测量，是2000多年前泰勒斯测金字塔的高度，泰勒斯是古希腊闻名学者，有“科学之父”的美称他把逻辑论证引进了数学，确保了数学命题的正确性使教学具有不行动摇的说明力【例2】如图，在平行四边形ABCD中E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则SDEF：SEBF：SABF=()A4：10：25B4：9：25C2：3：5D2：5：25(黑龙江省中考题) 思路点拨运用与面积相关学问，把面积比转化为线段比
3、【例3】如图，有一批形态大小相同的不锈钢片，呈直角三角形，已知C=90，AB=5cm，BC=3，试设计一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边长 思路点拨要在三角形内裁出面积最大的正方形，那么这正方形全部顶点应落在ABC的边上，先画出不同方案，把每种方案中的正方形边长求出注本例是一道有实际应用背景的开放性题型，通过分析、推理、构思可能的方案，再通过比较、鉴别、筛选出最佳的设计方案，问题虽简洁，但基本呈现了现实的生产中产生最佳设计方案的基本思路【例4】如图在ABC的内部选取一点P，过P点作3条分别与ABC的三边平行的直线，这样所得的3个三角形、的面积分
4、别为4、9和49，求ABC的面积(美国数学邀请赛试题) 思路点拔图中有相像三角形、平行四边形，通过相像三角形性质建立面积关系式，关键是恰当选择相像比，留意等线段的代换追求形式上的统一【例5】如图，ABC中D、E分别是边BC、AB上的点，且l2=3，假如ABC、EBD、ADC的周长依次是、m1、m2，证明：(全国初中数学联赛试题) 思路点拨把周长的比用相应线段比表示，力求统一，得到同线段比的代数式，通过代数变形证明注例4还隐舍着下列重要结论：(1)FDPIPEPHGABC；(2)；(3)学力训练1如图，已知DEBC，CD和BE相交于O，若SDOE：SCOB=9：16，则AD：DB=2如图，把正方
5、形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形ABCD的位置，它们的重叠部分(图中的阴影部分)的面积是正方形ABCD面积的一半，若AC=，则正方形移动的距离AA是(江西省中考题) 3若正方形的4个顶点分别在直角三角形的3条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为(武汉市中考题)4阅读下面的短文，并解答下列问题：我们把相像形的概念推广到空间：假如两个几何体大小不肯定相等，但形态完全相同就把它们叫做相像体如图，甲、乙是两个不同的正方体，正方体都是相像体，它们的一切对应线段之比都等于相像比：a：b，设S甲：S乙分别表示这两个正方体的表面积，则，又设V甲、V乙分别表示这两个正
6、方体的体积，则(1)下列几何体中，肯定属于相像体的是()A两个球体B两个圆锥体C两个圆柱体D两个长方体(2)请归纳出相像体的3条主要性质：相像体的一切对应线段(或弧)长的比等于；相像体表面积的比等于；相像体体积的比等于(江苏省泰州市中考题)5如图，一张矩形报纸ABCD的长AB=acm，宽BC=b，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a：b于()A：1B1：C：1D1：(2022年南京市中考题) 6如图，D为ABC的边AC上的一点，DBC=A，已知BC=，BCD与ABC的面积的比是2：3，则CD的长是()ABCD7如
7、图，在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且，AE=BE，则有()AAEDBEDBAEDCBDCAEDABDDBADBCD(2022年杭州市中考题)8如图，已知ABC中，DEFGBC，且AD：FD：FB=1：2：3，则SADE：S四边形DFGE：S四边形FBCG等于()A1：9：36Bl：4：9C1：8：27D1：8：369如图，已知梯形ABCD中，ADBC，ACD=B，求证： 10如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BECD于E，连结AE，F为AE上一点，且BFE=C(1)求证：ABFEAD；(2)若AB=4，BAE=30，求AE的长；(3)在(1)、(2)的条件下，若AD=3，求
8、BF的长(2022年长沙市中考题)11如图，在ABC中，AB5，BC=3，AC=4，PQAB，P点在AC上(与点A、C不重合)，Q点在BC上(1)当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；(2)当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；(3)试问：在AB上是否存在点M，使得PQM为等腰直角三角形?若不存在，请简要说明理由，若存在，恳求出PQ的长(厦门市中考题)12如图，在ABC中，ABAC，BC=2，在BC上有100个不同的点Pl、P2、P100，过这100个点分别作ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G2P100E100F100G100，设每个内接矩形的
9、周长分别为L1、L2，L100，则L1+L2+L100=(安徽省竞赛题)13如图，在ABC中，DEFGBC，GIEFAB，若ADE、EFG、GIC的面积分别为20cm2、45cm2、80cm2，则ABC的面积为 14如图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是厘米2(“希望杯”邀请赛试题)15如图，正方形ABCD中，AEEF=FB，BG=2CG，DE，DF分别交AG于P、Q，以下说法中，不正确的是()AAGFDBAQ：QG6，7CEP：PD=2：11DS四边形GCDQ：S四边形BGQF=17：9(2
10、022年重庆市竞赛题)16如图，梯形ABCD中，ABCD，且CD=3AB，EFCD，EF将梯形ABCD分成面积相等的两部分，则AE：ED等于()A2BCD 17如图，正方形OPQR内接于ABC，已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是S1=1，S2=3和S3=1，那么正方形OPQR的边长是()ABC2D318在一块锐角三角形的余料上，加工成正方形零件，使正方形的4个顶点都在三角形边上，若三角形的三边长分别为a、b、c，且abcd，问正方形的2个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件面积最大? 19如图，PQR和PQR，是两个全等的等边三角形，它们的重叠部分是一个六边形ABCDEF，设这个六边形
11、的边长为AB=a1，BC=b1，CD=a2，DE=b2，EF=a3，FA=b3求证：a1+a2+a3=b1+b2+b320如图，在ABC中，AB=4，D在AB边上移动(不与A、B重合)，DEBC交AC于E，连结CD，设SABC=S，SDEC=S1(1)当D为AB中点时，求的值；(2)若AD=x，求与x之间的关系式，并指出x的取值范围；(3)是否存在点D，使得成立?若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理由(福州市中考题)21已知AOB=90，OM是AOB的平分线，按以下要求解答问题：(1)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D在图甲中，证明：PC=PD；在
12、图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求POD与PDG的面积之比(2)将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，始终角边与边OB交于点D，OD=1，另始终角边与直线OA，直线OB分别交于点C、E，使以P、D、E为顶点的三角形与OCD相像，在图丙中作出图形，试求OP的长(绍兴市中考题) 相像三角形的性质(2)导学案 第十一课时相像三角形的性质（2）教学目标：1、运用类比的思想方法，通过实践探究得出相像三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相像比；2、会运用相像三角形对应高的比与相像比的性质解决有关问题；3、经验“操作视察探究说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达实力。教学重
13、点：探究得出相像三角形，对应线段的比等于相像比教学难点：利用相像三角形对应高的比与相像比的性质解决问题教学设计：一、情境创设全等三角形的对应边上的高相等。相像三角形的对应边上的高又有怎样的关系呢？二、探究活动：1、如图，ABCABC，相比为k，AD与AD分别是ABC和ABC的高，说明：AD/AD=k由此引出：相像三角形对应高的比等于相像比2、全等三角形的对应线段（中线、角平分线）有何关系？那么相像三角形的对应线段（中线、角平分线）又有怎样的关系呢？3、小结相像三角形对应线段的关系。三、例题教学1、见课本P107的例题2练习：见课本P1081、2、 2、如图：已知梯形上下底边的长分别为36和60
14、，高为32，这个梯形两腰的延长线的交点到两底的距离分别是多少？ 3、ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件EFGH，使正方形的一边HG在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是什么？ 变题1：若四边形EFGH为矩形，且EF：EH=2：1，求矩形EFGH的面积。变题2：已知：直角三角形的铁片ABC的两条直角边BC、AC的长分别为3和4，如图所示，分别采纳（1）（2）两种方法，剪出一块正方形铁片，为使剪去正方形铁片后剩下的边角料较少，试比较哪种剪法较为合理，并说明理由。4、如图，在ABC中，AB=5，BC=4，AC=3，PQA
15、B，P点在AC上（与点A、C不重合），点Q在B、C上。（1）当PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；（2）当PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；（3）在AB上是否存在点M，使得PQM是等腰直角三角形？若存在，求出PQ的长。 相像三角形导学案 4.2相像三角形 学习目标 1了解相像三角形的概念，会表示两个三角形相像. 2能运用相像三角形的概念推断两个三角形相像. 3理解“相像三角形的对应角相等，对应边成比例”的性质. 学习重点和难点 学习重点：相像三角形的概念 学习难点：在详细的图形中找出相像三角形的对应边，写出比例式，须要具有肯定辨别实力. 课前自学，课中沟通
16、 一、合作学习，探究新知 1、将图1中ABC的边长缩小到原来的，并画在图1中,记为（点，分别对应点A，B，C）. 问题探讨一：与ABC对应角之间有什么数量关系？ 问题探讨二：与ABC对应边之间有什么数量关系？ 图1 2、（1）相像三角形的定义： (2)若与ABC相像,则记ABC,读作:ABC （3）几何语言表述图1中与ABC相像： A=,B=,C= ABC 3、（1）相像三角形的性质: （2）相像三角形对应边的，叫做相像三角形的相像比（或相像系数）。 图1中与ABC的相像比为多少？ABC与的相像比为多少？ 二、应用新知 例1如图2，D，E分别是AB，AC边的中点，求证：ADEABC. 找一找：
17、已知：如图2，图3，图4,依据3个图形，分别写出他们的对应角和对应边的比例式. （1）ABCADE，其中DEBC （2）ABCADE，其中ADEC （3）ABCADE，其中DEBC 例2如图2，ABCADE.已知AD:DB=1:2,BC=9，求DE的长. 变式：如图5，ABCADE，AD=2，AB=6，AC=4，求AE的长. 当堂训练 A巩固练习： 1下列说法正确的是： 两个等腰三角形肯定相像两个直角三角形肯定相像两个等边三角形肯定相像.两个等腰直角三角形肯定相像两个全等三角形肯定相像 2.如图,D是AB上一点,ABCACD,且AD:AC=2:3,AD=4,ADC=65,B=43 (1)求AC
18、B,ACD的度数; (2)写出ABC与ACD的对应边成比例的比例式,求出相像比. 3.下面两组图形中,每组的两个三角形相像,试分别确定a,x的值. (1)(2) B中考链接： 4.(2022广东梅州市)已知，相像比为3，且的周长为18，则的周长为（） A2B3C6D54 C拓展提高: 5.已知ABC与DEF相像,ABC的三边为2,3,4,DEF的最大边为8,（1）求其余两边.（2）若改为DEF的一边为8呢？求其余两边. 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页