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1、2022版高中数学必修4知识点清单（人教版）2022版中学数学必修2学问点清单（人教版） 中学数学必修2学问点 第1章空间几何体 一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体。这条 定直线叫做旋转体的轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行， 由这些面所围成的几何体。
2、 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱 ABCDE?ABCDE 或用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥 P?ABCDE 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像，其相像比等于顶点到截面距离与高 的比
3、的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台 P?ABCDE 几何特征：上下底面是相像的平行多边形侧面是梯形侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面绽开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面绽开图是一个扇形。 （6
4、）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面绽开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：球的截面是圆；球面上随意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照耀，在不透亮物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影。其中我 们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面。 2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照耀下形成的投影，叫做平行投影
5、。（又分为正投影和斜投影） 4空间几何体的三视图 （1）、定义三视图：正视图（从前向后；即光线从几何体的前面对后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯 视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2）、三视图图形的位置： （3）、三视图长、宽、高的关系：“正侧长对齐、正俯高对齐、侧俯宽相等” 三、空间几何体的直观图 1.斜二测画法：对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。斜二测画法是一种特别的平行投影 画法。 2
6、.斜二测画法原则：横不变，纵减半。 3.斜二测画法步骤：在已知图形中取相互垂直的 2022版中学数学选修4-4学问点清单（人教版） 中学数学选修4?4 坐标系与参数方程学问点总结 第一讲 一平面直角坐标系 1平面直角坐标系 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴数轴上的点与实数之间可以 建立一一对应关系 (2)平面直角坐标系： 定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称 为直角坐标系； 数轴的正方向：两条数轴分别置于水平位置与竖直位置，取向右与向上的方向分别为 两条数轴的正方向； 坐标轴水平的数轴叫做x轴或横坐标轴，竖直的数轴叫做y轴或纵坐标轴，x
7、轴或y 轴统称为坐标轴； 坐标原点：它们的公共原点称为直角坐标系的原点； 对应关系：平面直角坐标系上的点与有序实数对(x，y)之间可以建立一一对应关系 (3)距离公式与中点坐标公式：设平面直角坐标系中，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2 的中点为P，填表： 两点间的距离公式中点P的坐标公式 |P1P2|（x1x2）2（y1y2）2 x x1x2 2 y y1y2 2 2.平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的随意一点，在变换： xx（0） yy（0） 的作用下， 点P(x，y)对应到点P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换
8、二极坐标系 (1)定义：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选 定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立 了一个极坐标系 (2)极坐标系的四个要素：极点；极轴；长度单位；角度单位及它的方向 (3)图示 2极坐标 (1)极坐标的定义：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径， 记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为.有序数对(， )叫做点M的极坐标，记作M(，) (2)极坐标系中的点与它的极坐标的对应关系：在极坐标系中，极点O的极坐标是(0， )，(R)，若点M的极坐标是M(
9、，)，则点M的极坐标也可写成M(，2k)， (kZ) 若规定0，02，则除极点外极坐标系内的点与有序数对(，)之间才是一一 对应关系 3极坐标与直角坐标的互化公式 如图所示，把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且长度单位相同， 设随意一点M的直角坐标与极坐标分别为(x，y)，(，) (1)极坐标化直角坐标 xcos， ysin.(2)直角坐标化极坐标 2x 2y 2， tan y x （x0）.三简洁曲线的极坐标方程 1曲线的极坐标方程 一般地，在极坐标系中，假如平面曲线C上随意一点的极坐标中至少有一个满意方程 f(，)0，并且坐标适合方程f(，)0的点都在曲线C上，那么方程f(
10、，)0叫做 曲线C的极坐标方程 2圆的极坐标方程 (1)特别情形如下表： 圆心位置极坐标方程图形 圆心在极点(0，0)r (02) 圆心在点(r，0) 2rcos_ ( 2 2 ) 圆心在点(r， 2 )2rsin_ (0) 圆心在点(r，) 2rcos_ ( 2 3 2 ) 圆心在点(r， 3 2 )2rsin_ (0) (2)一般情形：设圆心C(0，0)，半径为r，M(，)为圆上随意一点，则|CM|r， COM|0|，依据余弦定理可得圆C的极坐标方程为 220cos(0) 2 0r 20 即 2cos()00 2 0 22r? 3直线的极坐标方程 (1)特别情形如下表： 直线位置极坐标方程
11、图形 过极点，倾斜角为 (1)(R)或(R) (2)(0)和(0) 过点(a，0)，且与极轴 垂直 cos_a 2 2 过点 a， 2，且与极轴 平行 sin_a (0) 过点(a，0)倾斜角为 sin()asin (0) (2)一般情形，设直线l过点P(0，0)，倾斜角为，M(，)为直线l上的动点，则在 OPM中利用正弦定理可得直线l的极坐标方程为sin()0sin(0) 四柱坐标系与球坐标系简介（了解） 1柱坐标系 (1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间随意一点，它在Oxy平面 上的射影为Q，用(，)(0，02)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的 位置可用有
12、序数组（，z）(zR)表示这样，我们建立了空间的点与有序数组(， z)之间的一种对应关系把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(，z) 叫做点P的柱坐标，记作P(，z)，其中0，02，zR (2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(，z)之间的变换公式为 xcos ysin zz 2球坐标系 (1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间随意一点，连接OP，记 |OP|r，OP与Oz轴正向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方 向旋转到OQ时所转过的最小正角为，这样点P的位置就可以用有序数组(r，)表示， 这样，空间的点与有序数组(r，)之间
13、建立了一种对应关系把建立上述对应关系的 坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，)，叫做点P的球坐标，记作 P(r，)，其中r0，0，02 (2)空间点P的直 角坐标(x，y，z)与球 坐标(r，)之间 的变换公式为 xrsincos yrsinsin zrcos 其次讲： 一曲线的参数方程 1参数方程的概念 1参数方程的概念 (1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，假如曲线上随意一点的坐标x，y都是某个变 数t的函数： xf（t） yg（t） ，并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参
14、 变数，简称参数相对于参数方程而言，干脆给出点的坐标间关系的方程叫做一般方程 (2)参数的意义：参数是联系变数x，y的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数， 也可以是没有明显实际意义的变数 2参数方程与一般方程的区分与联系 (1)区分：一般方程F(x，y)0，干脆给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系，它含有 x，y两个变量；参数方程 xf（t） yg（t） (t为参数)间接给出了曲线上点的坐标x，y之间的关系， 它含有三个变量t，x，y，其中x和y都是参数t的函数 (2)联系：一般方程中自变量有一个，而且给定其中随意一个变量的值，可以确定另一 个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定
15、参数t的一个值，就可以求出唯一对 应的x，y的值 这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为一般方程，而通过引 入参数，也可把一般方程化为参数方程 2圆的参数方程 1圆心在坐标原点，半径为r的圆的参数方程 如图圆O与x轴正半轴交点M0(r，0) (1)设M(x，y)为圆O上任一点，以OM为终边的角设为，则以为参数的圆O的参数 方程是 xrcos yrsin (为参数) 其中参数的几何意义是OM0绕O点逆时针旋转到OM的位置时转过的角度 (2)设动点M在圆上从M0点起先逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为，则OM0经 过时间t转过的角t，则以t为参数的圆O的参数方程为 xrcost
16、 yrsint (t为参数) 其中参数t的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间 2圆心为C(a，b)，半径为r的圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r的圆通过坐 标平移得到，所以其参数方程为 xarcos， ybrsin (为参数) 3参数方程和一般方程的互化 曲线的参数方程和一般方程的互化 (1)曲线的参数方程和一般方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同 形式，两种方程是等价的可以相互转化 (2)将曲线的参数方程化为一般方程，有利于识别曲线的类型参数方程通过消去参数 就可得到一般方程 (3)一般方程化参数方程，首先确定变数x，y中的一
17、个与参数t的关系，例如xf(t)， 其次将xf(t)代入一般方程解出yg(t)，则 xf（t） yg（t） (t为参数)就是曲线的参数方程 (4)在参数方程与一般方程的互化中，必需使x，y的取值范围保持一样 二圆锥曲线的参数方程 1椭圆的参数方程 椭圆的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的参数方程是 xacos ybsin (是参 数)，规定参数的取值范围是0，2) (2)中心在原点，焦点在y轴上的椭圆 y 2 a 2 x 2 b 21(ab0)的参数方程是 xbcos yasin (是参 数)，规定参数的取值范围是0，2) (3)中心在
18、(h，k)的椭圆一般方程为 （xh）2 a 2 （yk）2 b 21，则其参数方程为 xhacos ykbsin (是参数) 2双曲线的参数方程和抛物线的参数方程 1双曲线的参数方程 (1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线 x 2 a 2 y 2 b 21的参数方程是 xasec ybtan (为参数)， 规定参数的取值范围为0，2)且 2， 3 2 (2)中心在原点，焦点在y轴上的双曲线 y 2 a 2 x 2 b 21的参数方程是 xbtan yasec (为参数) 2抛物线的参数方程 (1)抛物线y 22px的参数方程为 x2pt2 y2pt (t为参数) (2)参数t的几何意义是抛物线
19、上除顶点外的随意一点与原点连线的斜率的倒数 三直线的参数方程 1直线的参数方程 经过点M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为 xx0tcos yy0tsin (t为参数) 2直线的参数方程中参数t的几何意义 (1)参数t的肯定值表示参数t所对应的点M到定点M0的距离 (2)当M0M与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数当M0M与e反向时，t取负数， 当M与M0重合时，t0 3直线参数方程的其他形式 对于同一条直线的一般方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程我们把过点 M0(x0，y0)，倾斜角为的直线，选取参数tM0M得到的参数方程 xx0tcos yy0tsin (t为参数
20、) 称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t有明确的几何意义 一般地，过点M0(x0，y0)，斜率k b a (a，b为常数)的直线，参数方程为 xx0at yy0bt (t为参 数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t不具有标准式中参数的几何意义 四渐开线与摆线（了解） 1渐开线的概念及参数方程 (1)渐开线的产生过程及定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持 绳子与圆相切，渐渐绽开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆 (2)圆的渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系设基圆的半
21、径为r，绳子外端M的坐标为(x，y)，则有 xr（cossin）， yr（sincos） (是参数)这就是圆 的渐开线的参数方程 2摆线的概念及参数方程 (1)摆线的产生过程及定义 平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫 做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线 (2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为 xr（sin）， yr（1cos） (是参数) 2022版中学数学选修4-5学问点清单（人教版） 中学数学选修4-5学问点 不等式选讲 1、不等式的基本性质 （对称性） abba? （传递性） abbcac?, （可加性） abacbc? （同向可加性） a?b,c
22、?d?a?c?b?d （异向可减性） a?b,c?d?a?c?b?d （可积性） a?b,c?0?ac?bc a?b,c?0?ac?bc （同向正数可乘性） abcdacbd?0,0 （异向正数可除性） 0,0ababcd cd ? （平方法则） 0(,1)nnababnNn?且 （开方法则） 0(,1)nnababnNn?且 （倒数法则） ab ab ab ab 11 ;0 11 ?0? 2、几个重要不等式 ? 22abababR?2，,（当且仅当 ab? 时取 ? 号）.变形公式： 22 . 2 abab? ? （基本不等式）2 abab? ? ?abR? ? ，? ,（当且仅当 ab?
23、时取到等号）. 变形公式： abab?2 2 . 2 abab? ? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要留意满意三个条件“一正、二定、 三相等”. 2022版中学数学选修2-3学问点清单（人教版） 中学数学选修2-3学问点 第一章计数原理 1.1分类加法计数与分步乘法计数 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同 的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不 同的方法。分类要做到“不重不漏”。 分步乘法计数原理：完成一件事须要两个步骤。做第1步有m种不同的方法， 做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=mn种不同的
24、方法。分步 要做到“步骤完整”。 n元集合A=a1，a2?，an的不同子集有2 n个。 1.2排列与组合 1.2.1排列 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，根据肯定的依次排成一列， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的全部不同排列的个数叫做从n个不 同元素中取出m个元素的排列数，用符号An m表示。 排列数公式： n个元素的全排列数 规定：0!=1 1.2.2组合 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组，叫做从n个不同 元素中取出m个元素的一个组合(combination)。 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的全部不同组合的个数，叫做从n个 不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cn 第29页 共29页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页第 29 页 共 29 页