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1、课时11数量积综合练习向量的数量积 2.4向量的数量积（3） 一、课题：向量数量积（3）二、教学目标：要求学生驾驭平面对量数量积的坐标表示，驾驭向量垂直的坐标表示的充要条件。三、教学重、难点：1平面对量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；2向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用。四、教学过程：（一）复习：1两平面对量垂直的充要条件；2两向量共线的坐标表示；3轴上单位向量，轴上单位向量，则：， （二）新课讲解：1向量数量积的坐标表示：设，则，.从而得向量数量积的坐标表示公式：2长度、夹角、垂直的坐标表示：长度：；两点间的距离公式：若，则；夹角：；垂直的充要条件：，即（留意与向
2、量共线的坐标表示的区分）3例题分析：例1设，求解：例2已知，求证是直角三角形。证明：，所以，是直角三角形。说明：两个向量的数量积是否为零，是推断相应的两条直线是否垂直的重要方法之一。例3如图，以原点和为顶点作等腰直角，使，求点和向量的坐标。解：设，则，即：，又，即：，由或，或，例4在中，求值。解：当时，当时，当时，五、课堂练习课本练习1，2六、小结：两向量数量积的坐标表示：长度、夹角、垂直的坐标表示。七、作业：课本习题补充：已知，（1）求证：（2）若与的模相等，且，求的值。 平面对量的数量积 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、驾驭平面对量数量积的坐标
3、表示；2、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的
4、值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，=2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条
5、件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 课题:2.4平面对量的数量积（2）班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】3、驾驭平面对量数量积的坐标表示；4、驾驭向量垂直的坐标表示的等价条件。【课前预习】1、（1）已知向量和的夹角是，|=2，|=1，则(+)2=，|+|=。（2）已知：|
6、=2，|=5，=3，则|+|=，|=。（3）已知|=1，|=2，且()与垂直，则与的夹角为2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则=，=，=，=，若=，=，则=+.=+。3、推导坐标公式：=。4、（1）=，则|=_；，则|=。（2）=；（3）；（4）/。5、已知=，=，则|=，|=，=，=；=。 【课堂研讨】例1、已知=，=，求(3)(2)，与的夹角。 例2、已知|=1，|=，+=，试求：（1）|（2）+与的夹角 例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。 【学后反思】1、平面对量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简洁应用。 课题:2.4平面对量的数量积检测案（2）班级：
7、姓名：学号：第学习小组【课堂检测】1、求下列各组中两个向量与的夹角：（1）=，=（2）=，= 2、设，求证：是直角三角形。3、若=，=，当为何值时：（1）（2）（3）与的夹角为锐角 【课后巩固】1、设，是随意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有：()()=|()()不与垂直(3+4)(34)=9|216|2若为非零向量，=，且，则（）2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是。3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为。4、已知若=，=，则+与垂直的条件是5、的三个顶点的坐标分别为，推断三角形的形态。 6、已知向量=，|=2，求满意下列条件的的坐标。（1）（2） 7、已知向量=，=。（1
8、）求|+|和|；（2）为何值时，向量+与3垂直？（3）为何值时，向量+与3平行？ 8、已知向量，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。（1）若能构成三角形，求实数应满意的条件；（2）是直角三角形，求实数的值。 平面对量数量积的坐标表示平面对量数量积的坐标表示教学目标1正确理解驾驭两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积2驾驭两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去推断两个向量垂直3能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件难点：对向量的长度公式，两个向量垂直
9、的充要条件的敏捷运用教学过程设计(一)学生复习思索，老师指导1A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)_2A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)_3向量的数量积满意那些运算律？(二)老师讲解并描述新课前面我们已经学过了两个向量的数量积，假如已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题设两个非零向量为(x1，y1)，(x2，y2)为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则x1y1，x2y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：(2)平面上两点间的距离公式：
10、向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=(3)两向量的夹角公式设(x1，y1)，(x2，y2)，4两向量垂直的充要条件的坐标表示(x1，y1)，(x2，y2)即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零(三)学生练习，老师指导练习1：课本练习1已知a(3，4)，(5，2)练习2：课本练习2已知(2，3)，(2，4)，(1，2)2(2)348，()()7()0，(ab)2(0，7)(0，7)49练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(2，5)求证：ABC是直角三角形证：(1，1)，(3，3)，(4，2)经检验，1(3)130，ABC是直角三角形(四)师生共同探讨例
11、题例1：已知向量(3，4)，(2，1)(1)求与的夹角，(2)若x与垂直，求实数x的值解：(1)(3，4)，(2，1)(2)x与垂直，(x)()0，x(3，4)x(2，1)(2x3，4x)(3，4)(2，1)(1，5)例2：求证：三角形的三条高线交于一点证：设ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)，(x1，y)，(x2，y1)(x1)(x2)yy10即x1x2yy10又(x2，y)，(x1，y1)(x1)(x2)yy1x1x2yy10，CP是AB边上的高故三角形的
12、三条高线交于一点(五)作业习题571，2，3，4，5高二数学向量的数量积013 2（2）向量的数量积（2）教学目标设计1深刻领悟向量的数量积的概念和运算性质、向量的夹角公式及其内涵、两向量垂直的充要条件；2驾驭求向量的长度、求两个向量的夹角、推断两个向量垂直的技能和方法；3初步运用向量的方法解决一些简洁的几何问题，领会向量的数量积的数学价值；4通过对问题的分析探讨，体会数学思索的过程教学重点及难点重点：向量的数量积的运算性质、向量的夹角公式、向量垂直的条件及其应用；难点：向量的夹角公式的应用.教学用具打算直尺，投影仪教学过程设计一情景引入：1复习回顾(1)两个非零向量的夹角的概念：对于两个非零
13、向量，假如以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中(2)平面对量数量积（内积）的定义：假如两个非零向量的夹角为（），那么我们把叫做向量与向量的数量积，记做，即并规定与任何向量的数量积为0(3)“投影”的概念：定义：叫做向量在方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为；当=180时投影为(4)向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影|的乘积(5)向量的数量积的运算性质：对于，有（1）当且仅当时，（2）（3）（4）分析思索：(1)类比实数的运算性质，向量的数量积结合律是否成立？学生通过探讨，回答
14、：一般不成立(2)假如一个物体在大小为牛顿的力的作用下，向前移动米，其所做的功的大小为焦耳，问力的方向与运动方向的夹角是否为？分析：设该物体在力的作用下产生位移，所做的功为，与的夹角为，则由知二学习新课:1.向量的夹角公式:在学习了向量数量积的定义之后，我们很简单推导出两个非零向量的夹角满意因此,当时,反之,当时,.考虑到可与任何向量垂直,所以可得：两个向量垂直的充要条件是.例题分析例1：化简:(课本P66例2)解:=例2:已知,且与的夹角为,求(课本P66例3)解:所以例3：已知,垂直,求的值(课本P66例4)解：因为垂直，所以化简得即由已知，可得解得所以，当时，垂直例4：已知、都是非零向量
15、，且与垂直，与垂直，求与的夹角解：由两式相减：代入或得：设、的夹角为，则=60.问题拓展例5利用向量数量积的运算证明半圆上的圆周角是直角证明：设AB是O直径，半径为r设,则;,则则，即ACB是直角 三巩固练习1已知,(1)若,求；(2)若与的夹角为60，求；?(3)若与垂直，求与的夹角2已知,向量与的位置关系为（）A平行B垂直?C夹角为D不平行也不垂直3已知,与之间的夹角为，则向量的模为（）?A2B2?C6D124已知与是非零向量，则是与垂直的（）A充分但不必要条件B必要但不充分条件?C充要条件D既不充分也不必要条件四课堂小结1向量的数量积及其运算性质；两向量的夹角公式；两个向量垂直的充要条件
16、；4求向量的模、两个向量的夹角、推断两个向量垂直的技能和方法五作业布置练习8.2(1)P67T2、T3、T4；P35T3、T4思索题1已知向量与的夹角为，,则|+|-|=2已知+=2-8,-=-8+16,其中、是直角坐标系中轴、轴正方向上的单位向量，那么=3已知、与、的夹角均为60，且则_?4对于两个非零向量与，求使最小时的t值，并求此时与的夹角5求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和 教学设计说明及反思本节课是在上节课学习了向量的数量积的概念、向量的数量积的运算性质之后再一次抛出物理模型问题，学生通过沟通、分析探讨，解决问题进一步推而广之，由数量积的定义，通过变形非常简单的导出向量的夹角公式并推出了两向量垂直的充要条件之后，通过例题分析，学生体验了运用向量的数量积的定义和运算性质求向量的模、向量的夹角、以及探讨一些简洁几何问题的过程学生获得了学问、驾驭了方法、提高了技能、训练了实力 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页