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1、二次函数知识点归纳初中数学二次函数学问点总结 初中数学二次函数学问点总结 I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0）顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P（h，k）交点式：y=a(x-x)(x-x)仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛
2、物线注：在3种形式的相互转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax,x=(-bb2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当=b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。当a0时，抛物线向上开口
3、；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。5.常数项c确定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于（0，c）6.抛物线与x轴交点个数=b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。=b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-bb24ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）V.二次函数与一元二次方程特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x
4、的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动
5、|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；因此，探讨抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了这给画图象供应了便利2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a)3抛物线y
6、=ax2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小；当x-b/2a时，y随x的增大而增大若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大；当x-b/2a时，y随x的增大而减小4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x|当=0图象与x轴只有一个交点；当0图象与x轴没有交点当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任
7、何实数时，都有y05抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值6用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a0)(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0)7二次函数学问很简单与其它学问综合应用，而形成较为困
8、难的综合题目。因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现 初中数学复习学问点：二次函数 初中数学复习学问点：二次函数 一、定义与定义表达式 一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c （a，b，c为常数，a0，且a确定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以确定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 二、二次函数的三种表达式 一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a0） 顶点式：y=a(x-h)2+k抛物线的顶点P（h，k
9、） 交点式：y=a(x-x)(x-x)仅限于与x轴有交点A（x，0）和B（x，0）的抛物线 注：在3种形式的相互转化中，有如下关系: h=-b/2ak=(4ac-b2)/4ax,x=(-bb2-4ac)/2a 三、二次函数的图像 在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。 四、抛物线的性质 1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。 对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特殊地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0） 2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；当=b2
10、-4ac=0时，P在x轴上。 3.二次项系数a确定抛物线的开口方向和大小。 当a0时，抛物线向上开口；当a0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。 4.一次项系数b和二次项系数a共同确定对称轴的位置。 当a与b同号时（即ab0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab0），对称轴在y轴右。 5.常数项c确定抛物线与y轴交点。 抛物线与y轴交于（0，c） 6.抛物线与x轴交点个数 =b2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。 =b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。 =b2-4ac0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数（x=-bb24ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式
11、子除以2a） 五、二次函数与一元二次方程 特殊地，二次函数（以下称函数）y=ax2+bx+c， 当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即ax2+bx+c=0 此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 每日新课堂初中数学一次、二次函数学问点总结 当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到 当h0,
12、k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象； 因此，探讨抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清晰了，
13、这给画图象供应了便利。 2抛物线y=ax2+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b2/4a)。 3抛物线y=ax2+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小；当x-b/2a时，y随x的增大而增大。若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大；当x-b/2a时，y随x的增大而减小。 4抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点： (1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c)； (2)当=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x，0)和B(x，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2
14、+bx+c=0 (a0)的两根这两点间的距离AB=|x-x| 当=0图象与x轴只有一个交点； 当0图象与x轴没有交点当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0；当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0。 5抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a。 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值 6用待定系数法求二次函数的解析式 (1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a0)。 (2)当题给条件为已知图象的
15、顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x)(a0)。 7二次函数学问很简单与其它学问综合应用，而形成较为困难的综合题目。因此，以二次函数学问为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现。 二次根式学问点总结 二次根式学问点总结 I.二次根式的定义和概念：1、定义：一般地,形如（a0）的代数式叫做二次根式.当a0时,a表示a的算数平方根,0=02、概念：式子（a0）叫二次根式.（a0）是一个非负数.II.二次根式的简洁性质和几何意义1）a0;0双重非负性2）（）
16、2=a（a0）任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式3)(a2+b2)表示平面间两点之间的距离,即勾股定理推论.III.二次根式的性质和最简二次根式1）二次根式的化简a(a0）=|a|=-a(a0)2）积的平方根与商的平方根ab=ab（a0,b0）a/b=a/b（a0,b0）3）最简二次根式条件：（1）被开方数的因数是整数或字母,因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a0）、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等IV.二次根式的乘法和除法1运算
17、法则ab=ab（a0,b0）a/b=a/b（a0,b0）二数二次根之积,等于二数之积的二次根.2共轭因式假如两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做共轭因式,也称互为有理化根式.V.二次根式的加法和减法1同类二次根式一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,假如它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.2合并同类二次根式把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式.3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并.二次根式的混合运算1确定运算依次2敏捷运用运算定律3正确运用乘法公式4大多数分母有理化要刚好5在有些简便运算中或许可以约分,不要盲目有理化VII.分母有理化分母有理化有两种方法I.分母是单项式如:a/b=ab/bb=ab/bII.分母是多项式要利用平方差公式如1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab如图II.分母是多项式要利用平方差公式如1/ab=ab/(ab)(ab)=ab/ab 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页