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1、两角差的余弦公式学案两角和与差的余弦公式学案 两角和与差的余弦公式学案 【学习目标】1.了解两角差的余弦公式的产生背景；2.熟识用向量的数量积推导两角差的余弦公式的过程，通过对比，体会向量法的优越性；3.把握两角和与差的余弦公式的结构特点，熟记公式，并能敏捷运用.【重点难点】用向量的数量积推导两角差的余弦公式【预习指导】1.左图是我校桅杆标记，你有什么方法可以知道其高度：（1）；（2）； （3）假如有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明 （4）桅杆底部外侧正在施工，有皮尺和测角仪等工具你会怎么办？画图说明2.阅读课本P124_126,想想学好这节课该做好哪些学问打算：（1）如何在单位圆中定义
2、三角函数？如何用角表示终边上点的坐标？（2）三角函数线的意义？（3）向量的夹角的定义及求法？（4）向量的投影的定义？回顾一下我们是如何用投影证明向量的数量积的安排律？【典型例题】例1.利用两角和与差的余弦公式求.变式：利用两角和与差的余弦公式推导下列诱导公式 例2.已知是第四象限的角，求的值. 变式：已知是其次象限角，求的值. 例3.已知均为锐角，且，求的值. 变式： 【当堂检测】1.求值： 23.化简 4.已知是锐角求【课下拓展】1.已知均为锐角，求的值.2.已知中，求的值.【思索】你能由和差的余弦公式得到和差的正弦、正切公式吗？ 高一数学两角差的余弦公式学案 高一数学两角差的余弦公式学案
3、一、教材分析两角差的余弦公式是人教A版中学数学必修4第三章三角恒等变换第一节两角和与差的正弦、余弦和正切公式第一课时内容。本节主要给出了两角差的余弦公式的推导，要引导学生主动参加，独立思索，合作沟通，获得相应结论。二、教学目标1.学问与技能：引导学生建立两角差的余弦公式，通过公式的简洁应用，体会公式的结构和作用，为建立其他和差角的三角公式打下基础。2.过程与方法：在探究公式的过程中，逐步培育学生分析转化、探究解决问题的实力，培育学生合作沟通的实力。3.情感、看法与价值观：通过引例的设计，增加学生的应用意识，激发学生学习的主动性。三、教学重难点重点：两角差的余弦公式的推导和简洁应用难点：两角差的
4、余弦公式的推导过程的组织和引导四、学情分析前面已经学习了三角函数的定义、图像和性质，及平面对量的运算和应用，在这个基础上考虑用的正余弦值来表示，娴熟驾驭这个公式，并在此基础上学好下一节。五、教学方法1.自主学习法：通过课前自学驾驭两角差的余弦公式2.合作探究学习法：通过分析、探究，驾驭两角差的余弦公式的推导方法3.反馈练习法：通过反馈练习检验学问的驾驭状况，同时检测找出怀疑点、总结规律六、教学过程（一）创设情境，揭示课题1.现在我们有工具：皮尺、测角仪，要测量一下我校的桅杆标记的高，要求在地面上测量。2.问题：（1）不用计算器能不能计算的值？（2）是不是有成立？（二）研探新知1.三角函数线问题
5、：（1）怎样做出角的终边？（2）怎样做出角的余弦线？(3)怎么样利用几何直观找寻的表达式？公式推导的前提条件是都是锐角，且.2.向量法问题：（1）结合图形，明确应选哪那几个向量，它们怎么表示？（2）怎样利用向量的数量积的概念及计算公式得到结果？（3）对探究的过程进一步严谨的思索和处理，从而得到合理的科学结论。作单位圆如图，则由向量的数量积的概念得，由向量数量积的坐标运算得，因为是随意角，所以也是随意角，但是由诱导公式在内总可以找到一个角，于是对随意角总有，简记为例1.利用两角差的余弦公式求.变式：利用两角差的余弦公式推导下列诱导公式例2.已知是第三象限的角，求的值.变式：已知是其次象限角，求的
6、值.（三）质疑、排忧解难（四）本课小结1.学问上：学会了的推导，熟记的结构，能娴熟应用公式.2.思想方法：在公式的正用、逆用、敏捷运用过程中，体现了变角、拆角的化归转化思想方法.解题过程中留意的象限，也就是符号问题.（五）自我检测1.求值：2.3.化简.4.已知是锐角，求.七、教学反思:通过课前应用实例的解决，可以培育学生的应用意识，以及培育小组之间的合作实力。通过直观揣测，再到理性验证，体会学问的获得过程，感受茫然无知到柳暗花明，感受获得学问的欢乐。 中学数学必修四3.1.1两角差的余弦公式导学案 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切3.1.1两角差的余弦公式 【学习目标】1.理解用三角函数线
7、或向量方法推导两角差的余弦公式.2.驾驭两角差的余弦公式及其应用.【新知自学】学问回顾1、三角函数线的有关定义？2、三角函数中，已学习了哪些基本的三角函数公式？新知梳理1、设为两个随意角,你能推断恒成立吗?2、我们设想的值与的三角函数值有肯定关系，视察下表中的数据，你有什么发觉？cos(6030)cos60cos30sin60sin30 cos(12060)cos120cos60sin120sin60 猜想：=3、试推导上述公式（利用三角函数线）思索感悟1、公式中的角适用于随意角吗？2、公式的特点是什么？如何记忆？公式能逆用吗？对点练习cos17等于（）A.cos20cos3-sin20sin
8、3B.cos20cos3+sin20sin3C.sin20sin3-cos20cos3D.cos20sin20+sin3cos3 【合作探究】典例精析：例1、利用差角余弦公式求的值. 变式练习：1、利用差角余弦公式求的值. 变式练习：2、= 例2、利用两角差的余弦公式证明等式. 变式练习：3、利用两角差的余弦公式证明等式. 例3、已知，是第三象限角，求的值. 变式练习：4、，则=（）A.B.C.D. 【课堂小结】 【当堂达标】1.=（）A.B.C.D. 【课时作业】1.计算的结果是（）A.1B.C.D. 2.已知，则=（）A.B.C.D.*3.化简=（）A.B.C.D.*4已知则 *5.已知，
9、求的值. 6.已知sin，是第三象限角，求的值. *7.已知都是锐角，求的值. 两角和与差的余弦 第三章三角恒等变换【学习导航】1本章利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式；二倍角的正弦、余弦、正切公式等，以及运用这些公式进行简洁的恒等变换。2三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。三角恒等变换公式反映了角的相加、相减、二倍角运算引起三角函数值改变的规律，是探讨三角函数性质及其应用的一种工具。学习和应用三角恒等变换，有利于发展推理实力和运算实力。3、三角恒等变换具有几何和物理的应用背景。以向量为桥梁将三角恒等变换的算式与直观的几何图形相互沟
10、通和转化，有助于学习和应用三角恒等变换，还能提高学习数学的爱好，体会数学是一个有机联系的整体，而不是各不相关的内容的积累。 学问结构 学习要求1.了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.运用上述公式进行简洁的恒等变换，推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特别的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用。3.1两角和与差的三角函数第1课时【学习导航】学习要求1、
11、理解向量法推导两角和与差的余弦公式，并能初步运用解决详细问题；2、应用公式，求三角函数值.3培育探究和创新的实力和意识.【自学评价】1探究反例：问题：的关系？解决思路：探讨三角函数问题的最基本的工具是直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线2探究：在坐标系中、角构造+角3探究：作单位圆，构造全等三角形4探究：写出4个点的坐标，5计算，=6探究由=导出公式绽开并整理得所以可记为7探究特征熟识公式的结构和特点；此公式对随意、都适用公式记号8探究cos()的公式以代得：公式记号【精典范例】例1计算cos105cos15coscossinsin【解】例2已知sin=，cos=求cos()的值.【解】
12、 例3已知cos(2-)=-,sin(-2)=,且,0,求cos(+)的值。分析：已知条件中的角与所求角虽然不同，但它们之间有内在联系，即(2-)-(-2)=+由、角的取值范围，分别求出2-、-2角的正弦和余弦值，再利用公式即可求解。【解】 例4不查表，求下列各式的值.（1）（2）（3） 在三角变换中，首先应考虑角的变换,如何变换角？肯定要依据题目的条件与结论来变，简洁地说就是“据果变形”，创建出访用三角公式的条件，以达到求值、化简和证明的目的.常用的变换角的方法有：=(+)-,+2=(+)+,【追踪训练】：1sinsin=，coscos=，(0,),(0,),求cos()的值。 2求cos7
13、5的值 3计算：cos65cos115cos25sin115 4计算：cos70cos20+sin110sin20 5已知锐角,满意cos=cos(+)=求cos. 6已知cos()=,求(sin+sin)2+(cos+cos)2的值. 【选修延长】例5已知，是第三象限角，求的值. 例6，且，求的值. 【追踪训练】：学生质疑老师释疑1满意的一组的值是（）A.B.C.D. 2若，则的值为（）A.0B.1C.D.13已知cos=35,（32，2），则cos（3）=。4化简：=。5利用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公式：（1）（2）（3）（4） 第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页