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1、精选优质文档-倾情为你奉上绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学试题本套试卷分试题卷和答题卷两部份，试题卷共6页，答题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号用05毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填写在答题卷与机读卡对应位置上，并认真核对姓名与考号；2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试题卷上无效；3非选择题（主观题）用05毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔直接答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上无效作图一律用2B铅笔或05毫米黑色签字笔；4
2、考试结束后，请将本试题卷、答题卷与机读卡一并上交第一卷 （选择题，共36分）一选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1下列计算正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）2方程组的解是（ ）（A）1 （B）3 （C）1或3 （D）5或33如右图所示，图表示正六棱柱形状的高大建筑物，图中的阴影部分表示该建筑物的俯视图，P、Q、M、N表示小明在地面上的活动区域（各区域均不含边界），若小明想同时看到该建筑物的三个侧面，他应在（ ）（A）P区域 （B）Q区域 （C）M区域 （D）N区域 4小李骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了
3、一段时间，后为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图像是（ ）5南山中学高一年级有四名学生A、B、C、D参加了校团委举办的“南山中学百佳、百杰学生”的选举，已知候选人D得票比B得票多，候选人A、B得票之和超过C、D得票之和，候选人A、C得票之和与B、D得票之和相等，则这四人得票数由高到低的次序排列,他们依次为（ ）（A）A、D、C、B （B）D、B、A、C （C）D、A、B、C （D）A、D、B、C6南山中学数学建模小组的同学们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：，他们就将具有这样性质的有序的三个数称之为调和数若x、y、2 （x、y均为正整数）是一组调和数，则x、y的值（ ）（
4、A）有一组 （B）有两组 （C）有三组 （D）有无数组7如下图所示，在RtABC中，AC=3，BC=4，D为斜边AB上一动点，DEBC， DFAC，垂足分别为E、F，当线段EF最小时，的值等于（ ）（A） （B） （C） （D） 8如上图所示，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且使得AEF为等边三角形，则AEF与梯形ABCF的面积之比为（ ） （A） （B） （C） （D）9已知函数，和在同一直角坐标系内的图象如下图所示，给出下列结论：如果，那么；如果，那么；如果，那么；如果时，那么则其中正确结论的序号为（ ）（A） （B） （C） （D） 10上右图为一个污水净化塔内部，污水
5、从上方入口进入后流经形如等边三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过五层净化后流入底部的六个出口中的一个下列判断：六个出口的出水量相同；2号出口的出水量与5号出口的出水量相同；1，2，3号出水口的出水量之比约为1510；若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的16倍其中，正确的判断个数是（ ）（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个11如下图所示，在RtABC中，A=2B，CD为C的内角平分线，若AD=2，则CD等于（ ）（A） （B） （C） （D） 12如上图所
6、示，点A、D在以BC为直径的半圆上，D是弧的中点，AC与BD交于点E若AE=3，CD=，则BC等于（ ）（A）6 （B）8 （C）10 （D）12第二卷 （非选择题，共114分）二填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分将答案填写在答题卡相应的横线上）13按下图程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个x”到“结果是否10”为一次操作若操作进行三次才停止，则x的取值范围是_14如下图所示，直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别平行，且，则_ 15如上图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为1cm的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为_16小明每天下午5点放学回家时
7、，爸爸总是从家开车按时到达学校接他回家有一天，学校提前1小时放学，小明自己步行回家，在途中遇到开车接他的爸爸，结果比平时早了20分钟到家则小明步行_分钟遇到来接他的爸爸17已知关于x的一元二次方程对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是_18如右图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知，边CD上有一点S，满足线段OC上有一点M，OS与MB交于点L，联结CL、SM给出以下结论：SM/BD与SM/CL等价；若，则点L在AD的延长线上；若，则AD=DL；若，则方程无等根其中，正确的结论有_（填所有正确结论的序号）三解答题（本大题共7个小题，共90分解答应写出文字说明证明过程或演算步
8、骤）19（本题共2个小题，每小题8分，共16分）解答下列各题：（1）计算：；（2）计算：20（本小题满分12分）做服装生意的唐老板经营甲、乙两个店铺每个店铺在同一段时间内都能售出A、B两种款式的服装合计30件，并且每售出一件A款式和B款式服装，甲店铺获利润分别为30元和40元，乙店铺获利润分别为27元和36元某日，唐老板进A款式服装35件，B款式服装25件，怎样分配给每个店铺各30件服装，使得在保证乙店铺获利润不小于950元的前提下，唐老板获取的总利润最大？最大总利润是多少？ 21（本小题满分12分）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“百”、“年”、“经”、“典”、“南”、“山”的六个小球，除
9、汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球（）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“南”的概率；（）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图的方法，求取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率P1；（）从中任取一球，记下汉字后再放回袋中，然后再从中任取一球，记取出的两个球上的汉字恰能组成 “经典”或“南山”的概率为P2，指出P1，P2的大小，并证明你的结论22（本小题满分12分）如右图所示，已知点A（4，0），点B在y轴上，经过A、B两点的直线与反比例函数在第四象限的图像只有一个公共点又一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点C、D两点当四边形ABCD的面积最小
10、时，求k的值及面积的最小值 23（本小题满分12分）如右图所示，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点分别为O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）已知直线l经过点M，分别与边OA、DE相交，且将多边形OABCDE分成面积相等的两部分（）若点，求直线l的函数表达式；（）是否存在一点M，使得过点M有无数条直线l将多边形OABCDE分成面积相等的两部分？若存在，求出M的坐标；否则，说明理由24（本小题满分12分）如下图所示，与外切于点O，直线l分别与、外切于点A、B，分别与x轴、y轴交于点、（）求的半径长；（）在直线l上找一点P，使得与相似，并
11、求出点P的坐标 25（本小题满分14分）如下图所示，过y轴上一点M（0，1）作直线与二次函数的图像交于A、B两点，过A、B两点分别作y轴的垂线，垂足为C、D，直线l过点M关于原点O的对称点N，且与y轴垂直过点A作l的垂线，垂足为E（）当A点的横坐标是1时，证明AM=AE；（）当直线AB变化时（点A与点O不重合），求的值；（）当直线AB变化时（点A与点O不重合），试判断直线l与以AB为直径的圆的位置关系，并证明你的结论绵阳南山中学（实验学校）2014年自主招生考试数学参考答案及评分标准一选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求）题号12345
12、6789101112答案CBBCDBADACD C1C显然正确，故选择C2B，故选择B3B显然P、N区域只能给看到一面，M区域只能看到两面，Q区域可以看到三面，故选择B4C开始时匀速行驶，此时对应的图像为直线，函数的图像递减途中因交通堵塞停留了一段时间，此时到学校的距离为常数，最后加快速度行驶对应的曲线为上凸曲线，故选择C5D用a、b、c、d依次表示A、B、C、D的得票，由条件可得，于是，于是，故选择D6B由已知得当y=1时，（舍去）；当y=2时，；当y=3时，所以x、y的值有两组，故选择B7A由，于是当CD与AB垂直时，EF最小此时，于是，故选择A8D令，则由得：于是，故选择D9A由图像知，
13、当时，成立，当时，当时，当时，故选择A10C若进水量为1，则从左到右的六个出水口的出水量依次为：，于是正确水流量最大与最小的三角形分别是最上面的三角形与第五排最左（或最右）的三角形，流经最上面的三角形的水量为1，而流经第五排最左（或最右）的三角形的水量为，于是正确故选择C11D如图，令AB边的高线为CF，在CB上作一点E，使得CA=CE，联结DE，则CADCED，所以过E作EGBD交BD于G，由得EG=1，于是在ACF中可得，在CDF中可得，故选择D12C如图，延长BA、CD交于点F由条件可得BD是等腰BCF的角平分线，可得由得，故选择C二填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分将答案填
14、写在答题卡相应的横线上）题号131415161718答案605013第一次运行的结果为，第二次运行的结果为，第三次运行的结果为由条件得14由图可知：15圆锥底面周长等于扇形的弧长，于是可得扇形的半径等于4cm，于是圆锥的高为16由已知得，爸爸从接到他的位置A处开车到达学校B，则往返AB段开车用时为20分钟，单程AB段开车用时10分钟，于是小明步行了50分钟 17由条件得对任意的实数a恒成立，即 18设OS与AD交于点由知AS为的角平分线由及OA=OD，知为正三角形，有AD=AO又由AS平分，知又，则为正三角形，且S为其中心设BM与AD的延长线交于注意到故，因此正确注意到，则方程有等根1综上，正
15、确的结论有三解答题（本大题共7个小题，共90分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）19（1）原式=8分（2）令，则原式8分20分配给甲店铺A款式服装x件（x取整数，且5x30），则分配给甲B款式服装30x件2分分配给乙店铺A款式服装35x件，分配给乙B款式服装25（30x）=x5件4分甲店铺的利润为y甲，则有，6分乙店铺的利润为y乙，则有，8分于是总利润 由条件得，解得10分对于随着x的增大而减小，要使y总最大，则x必须最小又，故取x=21，即分配给甲店铺A、B两种款式服装21件与9件，分配给乙店铺A、B两种款式服装14件与16件此时，既保证乙店铺获利润不小于950元，又保证了在此前提下，唐
16、老板获取的总利润最大，最大利润是元12分21（）任取一球，共有6种不同结果，所以球上汉字刚好是“南”的概率3分（）由题知树状图如下：5分共有30种不同取法，能满足要求的有4种，所以7分（）P1P2 8分各种情况列表如下：百年经典南山百百百百年经百典百南百山百年百年年年经年典年南年山年经百经年经经经经典南经山经典百典年典经典典典南典山典南百南年南经南典南南南南山山百山年山经出典出南出山山一共有36种结果，满足要求的结果有4种，于是，所以12分22经过点A（4，0）的直线的函数表达式令为，1分由可得：3分因为直线与反比例函数图像只有一个公共点，于是5分易得，可得7分于是10分于是当时，有最小值，最
17、小值等于912分23（）如图1，延长BC交x轴于F，联结OB、AF交于P，联结DF、CE交于Q易知P（2，3），Q（5，2）是两个矩形的中心，过P的直线将矩形OABF的面积平分，过Q的直线将矩形CDEF的面积平分，于是直线PQ将多边形OABCDE的面积平分2分直线PQ的函数表达式为4分显然在上，且M不是GH的中点，故直线l的函数表达式为5分另解 如图2，令过的直线的表达式为，与DE交于点H，则H的坐标为，1分则3分而4分由题意得，于是直线l的表达式为5分（）如图3，由（）知直由线l的函数表达式为，可得6分令M为GH的中点，则M的坐标为，此即为满足条件的点M8分证明如下：另取一条过点的直线分别与
18、OA、DE交于注意到线段的中点也为，则，故也是满足条件的直线10分由的任意性，知满足条件的直线有无数条故存在满足条件的点M，其坐标为12分24（）如图1，易知2分令与的半径分别是R与r，则，故的半径5分 （），于是得是等腰三角形，且若存在满足条件的点P，则或7分如图2，当时，由知，点P与点C重合，此时，9分当时，作PHx轴于点H，则RtPO1ARtPO1H，于是，故点综上，所求点P的坐标是或12分25（）由已知得A（1，），又M（0，1），于是1分在RtACM中，于是，结论得证3分（）令，令直线AB的函数表达式为，由可得5分此方程之两根为A、B两点的横坐标，且，6分又8分（）如图，令AB的中点为P，过P、B作直线l的垂线，垂足分别为Q、F，则PQ为梯形AEFB的中位线，由（）知，且于是10分在RtACM中可得： ，11分同理，在RtBDM中可得： 12分于是，所以，13分所以，于是以AB为直径的圆与直线l相切14分专心-专注-专业