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1、平方根立方根次方根实数的性质实数的分类实数的运算有理数无理数定义求法性质二次根式性质Jab-Ja JEgO.bNO)二次根式乘法(amO.b 0)r二次根式除法J分母有理化-同类二次根式二次根式加减法二次根式的运算与化的实数和二次根式全章复习与巩固（提高）责编：杜少波【学习目标】1. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2,了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些 数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3 .了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一 一对应；了解数的范围由有理数扩大为
2、实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4 .能用有理数估计一个无理数的大致范围.5理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.6 .熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.7 .了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】数的开方实数方根H最简二次根因【要点梳理】要点一、平方根和立方根型 项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示 4aa解：由q =-/= = 2 /3,得。-1 0.2 + V3原式=3 .6/-1 a(a-l)a将 = = 2 6代入，原式=3.2 + 0)r-Taa 0) cr a 一 a(
3、a 0）.非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.4 .实数的运算数。的相反数是一。；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反 数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5 .实数的大小的比较有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则L实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2.正数大于0, 0大于负数，正数大于一切负数，两
4、个负数比较，绝对值大的反 而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 要点三、二次根式的相关概念和性质1 .二次根式形如JZ（q2O）的式子叫做二次根式，如区0,0.02,6等式子,都叫做二次根式.要点诠释：二次根式及有意义的条件是。20,即只有被开方数。20时，式子夜才是二次根式，丘才有意义.2 .二次根式的性质（1）忘之0（以之0）；(3)= a =a (a 0)-a (d 0）,如 2 =（夜）2；1 =（扪）2；X = （）2 （X0）.（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论。取何值，一定有意义.（3）化简时，先将它化成阿，再根据绝对值的意义
5、来进行化简.（4） 与（J7）2的异同 不同点：而中。可以取任何实数，而（、7）2中的。必须取非负数;C 二 |，3)2 = a (0).相同点：被开方数都是非负数，当。取非负数时，选二函丫.3 .最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如血,疝,3人，必万等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因 式的指数都小于根指数2.4 .同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，
6、一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断如血与次，由于次二2及，血与次显然是同类二次根式.要点四、二次根式的运算1 .乘除法（1）乘除法法则：逆用法则积的算术平方根化简公式:4ab = Ja x y/b(a 0, /? 0)类型法则 二次根式的乘法 y/ax4b= 4ab(a 0, Z? 0)商的算术平方根化简公式:二次根式的除法环=燃心。，。）要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如ayb - c-Jd = ac4bd （2）被开方数外人一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 J（-4）x （9） w 启 x .2 .加减法将二次
7、根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不 变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二 次根式，最后合并同类二次根式.如0 + 3&-50= （1 + 3-5）0 = -【典型例题】 类型一、有关方根的问题【高清课堂：389318实数复习，例1】x-3【思路点拨】由被开方数是非负数，分母不为0得出X的值，从而求出y值，及fy的值.【答案与解析】解：由题意得x -3 00解得=22-x0.y=3, /=32=9, y的平方根为3.【变式2】（2015春绥中县期中）若（3x-y+5） 2+x - y+3=09求x
8、+y的立方根. 【答案】解:由题意得（3x-y+5） o, 即 3x - y+5=0,V2x-y4-3=O 即 2x-y+3=0,f3x - y+5=0（2x - y+3=0解得x= - 2 y=- 1/.x+y= - 3,x+y的立方根工厂X.C 2、已知M是满足不等式-有ay6的所有整数。的和,N是满足不等式了工亘二 2的最大整数.求M+N的平方根.【答案与解析】解：一6遍的所有整数有一1, 0, 1, 2所有整数的和M= -1 + 1+ 0 + 2 = 2: xG 屈-，2, N是满足不等式xW 屈一2的最大整数.22，N=2，M+N=4, M+N的平方根是2.【总结升华】先由已知条件确
9、定M、N的值，再根据平方根的定义求出M+N的平方根. 类型二、与实数有关的问题Ch、已知。是回的整数部分，b是它的小数部分，求(4+0+3)2的值.【思路点拨】一个数是由整数部分+小数部分构成的.通过估算而的整数部分是3,那么它的小数部分就是布-3,再代入式子求值.【答案与解析】解：是血的整数部分，是它的小数部分，3血4: a = 3 ,b = /10 32：.(-)3 + e + 3)2 = (-3)3 +(Vio -3 + 3=-27 +10 = -17 .【总结升华】可用夹挤法来确定，即看而介于哪两个相邻的完全平方数之间，然后开平 方.这个数减去它的整数部分后就是它的小数部分.举一反三：
10、【变式】已知5+T的小数部分为，5一而的小数部分为人，则+人的值是； a b的值是.【答案】a + b = T;a-b = 2而-7 ；提示：由题意可知。=而3, h = 4而4、阅读理解，回答问题.在解决数学问题的过程中，有时会遇到比较两数大小的问题，解决这类问题的关键是根 据命题的题设和结论特征，采用相应办法，其中巧用“作差法”是解决此类问题的一种行之 有效的方法：若ab0,则。/?；若ab=0,则。=匕；若Z?V0,则。人.例如：在比较/+1与/的大小时，小东同学的作法是：.+1)-(m2)= 77?2 +1 - m2 = 1请你参考小东同学的作法，比较4G与(2+道)2的大小.【思路点
11、拨】仿照例题，做差后经过计算判断差与0的关系，从而比较大小.【答案与解析】2解：46 (2 + 6) =46 (4 + 46 + 3) = 70 4a/3 -1a01 【答案】一 6Z ;a类型三、实数综合应用【高清课堂：实数复习，例6】5阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算内 的近似值.小明的方法：V9 V13 V16 ,设屈=3 + 左(OvZl) . .(A)? =(3 + Z)2.13 = 9 + 6攵 + 左2.，1329 + 6%解得 k-. A V13 3 + -3.67.66问题：(1)请你依照小明的方法，估算历 的近似值；(2)请结合上述具体实例，
12、概括出估算标的公式：已知非负整数。、b、m ,若a Vm a + l,且加二片+人，则(用含、Z7的代数式表示)；(3)请用(2)中的结论估算历的近似值.【答案与解析】解：(1) A历如，设商=6 +左(0/41 6 + 6.42.12(2) ,: a ym a +1,设 ym = a + k ( 0 Z: 1)./. (Vm)2 = (a + k)2. in ci + Zak + k .对比加=a? + b , b 2ak. k 2a/. Vm a + 2a(3) 37 = 62 + 1, 37 6 + 6. 083.12【总结升华】此题比较新颖，关键是通过阅读材料快速掌握估值的方法.（2）
13、问中要对比式、. b子，找准。和Z?,表不出Za.2a类型四、二次根式概念及运算【思路点拨】先二次根式化为最简二次根和根据二次根式的乘除法得到原式二证+加- 信号+3证+加=2加-1+3,然后合并即可.【答案与解析】解：原式在后,=2疵-1+3=2巫+2.【总结升华】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进 行二次根式的乘除运算，然后进行二次根式的加减运算.举一反三：【高清课堂：二次根式 高清ID号：388065关联的位置名称（播放点名称）：化简题2-4【变式】V（2x+1）2 -1x-5|（0x0, Z? 0, c 0,a +b + c 0, a + b-c 0, & -8一已=-（8+c） 0, c-a-b = c-（a + b 0,c-a-b原式=|a +2+c + a+b c + a b c+=（0+8+已）+（以+8-。）一（-8-7） （j 尸 尸 尸一 一尸 尸 尸一。“X + 3）-yjy）=立+亚后班二疝十而9【总结升华】把分子分母分别分解因式，然后约分，可以简化化简步骤.举一反三：.2的值.【变式】当时，求J2。+ “2 + V3（i 【答案】