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1、 概率论与数理统计公式集锦一随机事件与概率公式名称公式表达式德摩根公式古典概型几何概型其中为几何度量长度面积体积求逆公式加法公式P AB P A P B -P AB 当P AB 0时P AB P A P B 减法公式P A-B P A -P AB 时P A-B P A -P B 条件概率公式与乘法公式 全概率公式贝叶斯公式逆概率公式两个事件相互独立二随机变量及其分布1分布函数2离散型随机变量及其分布分布名称分布律01分布二项分布泊松分布3续型随机变量及其分布分布名称密度函数分布函数均匀分布 分布名称密度函数分布函数指数分布正态分布标准正态分布4随机变量函数Y g X 的分布离散型连续型分布函数
2、法公式法三多维随机变量及其分布1离散型二维随机变量及其分布分布律分布函数边缘分布律 条件分布律2连续型二维随机变量及其分布分布函数及性质分布函数性质边缘分布函数与边缘密度函数分布函数 密度函数条件概率密度3随机变量的独立性随机变量XY相互独立离散型 连续型4二维随机变量和函数的分布离散型连续型四随机变量的数字特征1数学期望定义离散型连续型性质 当XY相互独立时2方差定义性质 当XY相互独立时3协方差与相关系数协方差当XY相互独立时相关系数 当XY相互独立时 XY不相关 协方差和相关系数的性质4常见随机变量分布的数学期望和方差分布数学期望方差0-1分布pp 1-p 二项分布npnp 1-p 泊松
3、分布均匀分布正态分布指数分布五大数定律与中心极限定理1切比雪夫不等式假设对于任意有2大数定律 切比雪夫大数定律假设相互独立且那么伯努利大数定律设nA是n次独立试验中事件A发生的次数p是事件A在每次试验中发生的概率那么有辛钦大数定律假设独立同分布且那么3中心极限定理列维林德伯格中心极限定理独立同分布的随机变量均值为方差为当n充分大时有棣莫弗拉普拉斯中心极限定理随机变量那么对任意x有近似计算六数理统计的根本概念1总体和样本的分布函数设总体那么样本的联合分布函数2统计量样本均值样本方差样本标准差 样本阶原点距样本阶中心距3三大抽样分布 1 分布设随机变量且相互独立那么称统计量服从自由度为的分布记为性
4、质设且相互独立那么 2 分布设随机变量且X与Y独立那么称统计量服从自由度为的分布记为性质 3 分布设随机变量且与独立那么称统计量服从第一自由度为m第二自由度为n的分布记为性质设那么七参数估计1参数估计定义用估计总体参数称为的估计量相应的为总体的估计值当总体是正态分布时未知参数的矩估计值 未知参数的极大似然估计值2点估计中的矩估计法 根本思想用样本矩来估计相应的总体矩求法步骤设总体X的分布中包含有未知参数它的前k阶原点矩中包含了未知参数即又设为总体X的n个样本值用样本矩代替在所建立的方程组中解出的k个未知参数即为参数的矩估计量注意分布中有几个未知参数就求到几阶矩3点估计中的极大似然估计设取自的样
5、本设或 求法步骤似然函数 取对数 或解方程解得4估计量的评价标准估计量的评价标准无偏性设为未知参数的估计量假设E 那么称 为的无偏估计量有效性设和是未知参数的两个无偏估计量假设那么称有效一致性设是的一串估计量如有那么称为的一致估计量或相合估计量5 单正态总体参数的置信区间条件估计参数枢轴量枢轴量分布置信水平为的置信区间未知未知八假设检验1假设检验的根本概念根本思想假设检验的统计思想是小概率原理小概率事件的概率就是显著性水平常取 005com根本步骤提出原假设H0选择检验统计量对于查表找分位数使从而定出拒绝域W由样本观测值计算统计量实测值并作出判断当实测值落入W时拒绝H0否那么认为接受H0两类错
6、误第一类错误当H0为真时而样本值却落入了拒绝域应当否认H0这时我们把客观上H0成立判为H0为不成立即否认了真实的假设称这种错误为弃真错误或第一类错误记为犯此类错误的概率即P 拒绝H0H0为真 第二类错误当H1为真时而样本值却落入了接受域应接受H0这时我们把客观上H0不成立判为H0成立即接受了不真实的假设称这种错误为取伪错误或第二类错误记为犯此类错误的概率即P 接受H0H1为真 两类错误的关系人们当然希望犯两类错误的概率同时都很小但是当容量n一定时变小那么变大相反地变小那么变大取定要想使变小那么必须增加样本容量2单正态总体均值和方差的假设检验条件原假设检验统计量统计量分布拒绝域未知未知或少见或