《小学奥数汇编教材,第六讲,,圆柱、圆锥、球体.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数汇编教材,第六讲,,圆柱、圆锥、球体.docx（17页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、小学奥数汇编教材,第六讲,圆柱、圆锥、球体特级老师小学奥数汇编教材第六讲圆柱、圆锥、球体立体图形，主要考点集中在不规则形体的表面积与体积计算。其中有自成一类的染色问题，也是常常见到的几何奥数题。小学阶段，我们除了学习平面图形外，还相识了一些简洁的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，本讲重点讲解立体图形中的圆柱、圆锥和球体。本讲在熟记体积和表面积公式的基础上，要 激励学生多思索，勤动手，多画图，注意数形结合以此来培育学生的空间想象实力 。另外， 在数学竞赛中，有很多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精致的构思和恰当的设计，把形象
2、思维和抽象思维结合起来。一、圆柱、圆锥、球体圆柱体：如右图，圆柱体的底面是圆，其半径为 r ；圆柱体的侧面绽开图是一个长方形，长方形的宽相当于圆柱体的高，长相当于圆柱体的底面周长。圆柱体的表面积：S 圆柱 =侧面积+2 个底面积=2πrh+2πr2 。圆柱体的体积：2V r h p =圆柱 圆锥体：如右图，圆锥体的底面是圆，其半径为 r ；圆锥体的侧面绽开图是一个扇形。圆锥体的体积：213V r h p =圆锥体 r球体：343V r p =球体求圆柱体的表面积一般的方法是先求出圆柱体的侧面积，然后再加上圆柱的两个底面积。求圆锥体的表面积须要先求出侧面积（扇形），再求出底面积（圆）
3、，两者相加即可。1 1 圆柱、圆锥和球体的表面积和体积计算。2 2 间接利用或逆用公式求解圆柱圆锥球体中的其它量。3 3 圆柱圆锥球体等立体图形的组合图形。1 1 常见较困难的组合图形计算。2 2 敏捷运用公式求解体积表面积外的其余量。（难度级别）一个底面半径的是厘米高是厘米的圆柱体，试求出它的表面积。 本题是较基础题型。( ( ) ) 侧面积：2x3.14x5x15=471( 平方米）；( ( ）底面积：3.14x52=78.5（平方厘米）； (1) 表面积：471+78.5x2=628( 平方米）。 （难度级别）一段圆柱体木料，假如截成两段，它的表面积增加 25.12 平方厘米；假如沿着直
4、径劈成两个半圆柱体，它的表面积将增加 100 平方厘米。求圆柱体的表面积。一般解法：把圆柱体截成两段，表面积增加的是两个底面积；沿着直径劈成两个半圆柱体，表面积增加的是两个长为高，宽为直径的长方形。同学们大都会根据半径 高 表面积 思路来解答。详细解法如下：25.12 ÷2 2 ÷ 3.14 4 4 （平方厘米）；4 4 2 22 2 100 ÷2 2 ÷（2 2 ×2 2 ） 12.5 （厘米）； 3.14 × 22 ×2 2 2 2 × 3.14 ×2 2 × 1
5、2.5 182.12 （平方厘米）的 奇妙解法：我们不妨换个角度去思索，沿着直径把圆柱体劈成两半增加的 0 100 平方厘米写成算式是直径×高×2 2 ，求圆柱体的侧面积用π×直径×高，所以用 100 ÷2 2 × 3.14 就可以求出圆柱体的侧面积了，进而就能求出圆柱体的表面积，列式为：100 ÷2 2 × 3.14 25.12 157 25.12 182.12 （平方厘米）答：圆柱体的表面积为 2 182.12 平方厘米。（难度级别）一个圆柱体的体积是 50.24 立方厘米，底面半径是
6、 2 厘米。将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米? (π=3.14) 依据圆柱体的体积公式推导过程，要求增加的表面积，事实上就是求拼成的长方体的两个侧面积之和，从拼成的长方体图形来看：体积÷长= = 右侧面积。50.24 ÷ (2 × 3.14) × 2=16( 平方厘米) ) ；（难度级别）已知圆柱体的高是 10 厘米，由底面圆心垂直切开，把圆柱分成相等的两半，表面积增加了40 平方厘米，求圆柱体的体积( 3 p = ) 圆柱切开后表面积增加的是两个长方形的矩形纵切面，长方形的长
7、等于圆柱体的高为 0 10 厘米，宽为圆柱底面的直径，设为 2r ，则 2 10 2 40, 1 r r = = ( ( 厘米) ) 圆柱体积为：21 10 30 p = ( ( 立方厘米) ) （难度级别）一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块现打开水龙头往容器中灌水3 分钟时水面恰好没过长方体的顶面再过 18 分钟水灌满容器已知容器的高为 50 厘米，长方体的高为 20 厘米，求长方体底面面积与容器底面面积之比 为 因为 8 18 分钟水面上升：50 20 30 - = ( ( 厘米) )高 所以圆柱中没有铁块的情形下水面上升 20厘米须要的时间是：2018 1230 = （分钟），事实上只用
8、了 3 3 分钟，说明容器底面没被长方体底面盖住的部分只占容器底面积的13124= ：，所以长方体底面面积与容器底面面积之比为 34 ：（难度级别）兰州来的马师傅擅长做拉面，拉出的面条很细很细，他每次做拉面的步骤是这样的：将一个面团先搓成圆柱形面棍，长 1.6 米然后对折，拉长到 1.6 米；再对折，拉长到 1.6 米照此接着进行下去，最终拉出的面条粗细(直径)仅有原先面棍的164问：最终马师傅拉出的这些细面条的总长有多少米?(假设马师傅拉面的过程中面条始终保持为粗细匀称的圆柱形，而且没有任何奢侈) 最终拉出的面条直径是原先面棍的164，则截面积是原先面棍的2164，细面条的总长为：21.6
9、64 6553.6 = ( ( 米) ) 留意运用比例思想。 （难度级别）一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水（如下图所示），请你依据图中标明的数据，计算瓶子的容积是_。 由已知条件知，其次个图上部空白部分的高为 7 7 5=2cm ，从而水与空着的部分的比为 4:2=2:1 ，由图 1 1 知水的体积为 为 10 × 4=40 ，所以总的容积为 40 ÷2 2 ×（ 2+1 ）0 =60 立方厘米。 （难度级别）输液 100 毫升，每分钟输 25 毫升如图，请你视察第 12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升? 0 100 毫升的吊瓶在正放时，液
10、体在 0 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算但倒过来后，变成圆柱体，依据标示的格子就可以算出来由于每分钟输 2 2 5 5 毫升，2 12 分钟已输液 2.5 12 30 = ( ( 毫升) ) ，因此起先输液时液面应与 0 50 毫升的格线平齐，上面空的部分是0 50 毫升的容积所以整个吊瓶的容积是 100+50=150( 毫升) ) （难度级别）一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是 80 平方厘米，水深 8 厘米。现将一个底面积是 16平方厘米的长方体铁块竖放在水中后，仍有一部分铁块露在外面。现在水深多少厘米?依据等积改变原理：用水的体积除以水的底面积就是水的高度。（法 1 1
11、 ）：80 ×8 8 ÷0 (80 一 一 16) =640 ÷ 64=10( 厘米) ) ；（法 2 2 ）：设水面上升了 x 厘米。依据上升部分的体积= = 浸人水中铁块的体积列方程为：80 16(8 ) x x = + ，解得：2 x = ， 8+2=10( 厘米) ) 。（难度级别）一个盛有水的圆柱形容器底面内半径为 5 厘米，深 20 厘米，水深 15 厘米.今将一个底面半径为 2 厘米，高为 18 厘米的铁圆柱垂直放入容器中.求这时容器的水深是多少厘米.本题可能出现三种状况：放入铁圆柱后，水深不及铁圆柱高. . 放入铁圆柱后，水深比铁圆柱高但
12、未溢出. . 水有溢出. . 放入铁圆柱后，在铁圆柱四周，水的截面成圆环状，如图所示，截面积为 p ×5 5 ×5 5 p ×2 2 × 2=21 p . . 收入圆柱前后，水的体积不变，为 p ×5 5 ×5 5 ×15=375 p . .为 又因为 375 p ÷ 21 p = =7125=17 768 <18 厘米. .是 因此这时容器的水深是 1776厘米. .请同学们考虑水深不是 15 ，而是 6 16 厘米或 9 19 厘米的状况。（难度级别）如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的
13、阴影部分，刚好能做成一个油桶（接头处忽视不计），求这个油桶的容积。（π取 3.14）圆的直径为：16.56 ÷（ 1+ 3.14 ）=4 （m m为 ），而油桶的高为 2 2 个直径长，即为：4 4 × 2=8 （m m ），故体积为 8 100.48 立方米。（难度级别）将一个底面半径为 3 分米的圆柱体的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体后，表面积增加了 16 平方分米。求圆柱体的体积。（ 3.14 p = ）依据圆柱体的体积推导过程，增加的表面积事实上就是长方体左、右两个面的面积。（法 1 1 ）: : 16 2 (3.14 3) 7
14、5.36 = （立方分米）；（法 2 2 ）: 23.14 3 (16 2 3) 75.36 = （立方分米）。 （难度级别）如图 1，一个直角三角形三条边的长度是 3，4，5，假如分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体求三个立体中最大的体积和最小的体积的比以长为 3 3 的直角边为轴旋转得到的立体是一个圆锥，底面半径是 4 4 ，由圆锥的体积公式得：2314 3 163V p p = = 为 以长为 4 4 是 的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，底面半径是 3 3 ，由圆锥的体积公式得：2413 4 123V p p = = 如图 2 2 ，以长为 5 5 的斜边为轴旋转得到的立体是由两个圆
15、锥底面上下叠合在一起形成的纺锥体设两个圆锥的高为1 2, h h ，则有1 25 h h + = ，设底面的半径是 r ，则由直角三角形面积公式得：1 15 3 42 2r = ，所以125r = 再 由 圆 锥 的 体 积 公 式 计 算 纺 锥 体 的 体 积 ， 应 当 是 ：2 2 25 1 2 1 21 1 1 48( )3 3 3 5V r h r h r h h p p p p = + = + = 明显，4816 125p p p ，所以最大的体积和最小的体积之比是53。（难度级别）皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为 15 厘米，水桶底面直径为 60 厘米。皮球有45
16、的体积浸在水中（见右图）。问皮球掉进水中后，水桶中的水面上升了多少厘米？ 皮球的体积是：3 34 4 15( ) 562.53 3 2r p p p = = （立方厘米）；皮球浸在水中的部分是：4562.5 4505p p = （立方厘米）；水桶的底面积是：260( ) 9002p p = （平方厘米）；水面上升的高度是：450 900 0.5 p p = （厘米）。（难度级别）有一只底面半径是 20 厘米的圆柱形水桶，里面有一段半径是 5 厘米的圆柱体钢材浸在水中。钢材从水桶里取出后，桶里的水下降了 6 厘米。这段钢材有多长?依据题意可知，圆柱形钢材的体积等于桶里下降部分水的体积，因为钢材底
17、面半径是水桶底面半径的520，即41，钢材底面积就是水桶底面积的161。依据体积肯定，圆柱体的底面积与高成反比例可知，钢材的长是水面下降高度的 6 16 倍。（法 1 1 ）：6 6 ÷( (520) )2=96( 厘米) ) ，（法 2 2 ）：3.14 × 202×6 6 ÷ (3.14 ×5 52)=96( 厘米) ) 。 （难度级别）如图，有一张长方体铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成 1 个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为 10 厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？（ 3.14 p = ）剪 下 的
18、长 方 形 的 长 ， 即 圆 柱 体 底 面 圆 的 周 长 为 ：10 2 62.8 p = ( ( 厘米) ) ，原来的长方形的面积为：10 4 62.8 10 2 2056 + = （ ）（ ）( ( 平方厘米) ) （难度级别）如右图所示，圆锥形容器中装有 3 升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少水？1 21 升。设圆锥容器的底面半径为 r r ，则水面半径为 r/2 。容器的容积为 1/3 π2 2 h h ，水的体积为：2 21 1( )3 2 2 24r hh p = 上式说明容器可以装 8 8 份 3 3 升水，故还能装水 3 3 ×（8
19、8 1 1 ）1 21 （升）。（难度级别）如图，ABCD 是矩形，BC=6cm，AB=10cm，对角线 AC，BD 相交 0图中的阴影部分以 CD 为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体的体积是多少立方厘米?设三角形 O BCO 以 以 D CD 为轴旋转一周所得到的立体的体积是 是 V V ，V V 等于高为 0 10 厘米，底面半径是 6 6 厘米的圆锥的体积减去 2 2 个高为 5 5 厘米，底面半径是 3 3 厘米的圆锥的体积即：2 21 16 10 2 3 5 903 3V p p p = - = ( ( 立方厘米) ) ， 2 180 540 V p = = ( ( 立方厘米) )
20、（难度级别）如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞已知正方体边长为 10 厘米，侧面上的洞口是边长为 4 厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为 4 厘米的圆，求此立体图形的表面积和体积外侧表面积为：6 6 × 10 × 10- -4 4 ×4 4 ×4 4- - π×2 22 2 ×2=536- -8 8 π内侧表面积为：16 ×4 4 × 3+2 × (4 ×4 4- - π×2 22 2 )
21、+2 ×2 2π×2 2 × 3=192+32- -8 8 π +24 π =224+16 π总表面积 =224+16 π +536- -8 8 π =760+8 π =785.12( 平方厘米) ) 计算体积时将挖空部分的立体图形取出，如图，只要求出这个几何体的体积即可挖出的几何体体积为：4 4 ×4 4 ×4 4 × 3+4 ×4 4 × 4+2 ×π×2 22 2 × 3=192+64+24 π =256
22、+24 π所求几何体体积为：10 × 10 × 10- -(256+24 π )=668.64( 立方厘米) ) 点评 能把这道题拿下，全部不规则形体的表面积和体积计算都将不在话下。肯定要留意：思路要清楚，比如表面积从外面和内部去探讨，体积干脆是整体减挖去部分。细微环节确定成败：第一点，求表面积时，内部中心的正方形减去内切圆剩下部分简单忽视；其次点，本题大正方体的棱长是 10 厘米，是一个很伤脑筋的数字，干脆导致出现了多处的3 3 。 （难度级别）右图是一个零件的直观图。下部是一个棱长为 40cm 的正方体，上部是圆柱体的一半。求这个零件的表面积和体积。这是
23、一个半圆柱体与长方体的组合图形，通过分割平移法 可求得表面积和体积分别为：11768cm2 2 ， 89120cm3 3 。1.有一块棱长分别为 6dm ， 8dm ，m 10dm 的长方体木块，把它切割成体积尽可能大的圆锥体木块。求这个圆锥体木块的体积。100.48dm3 3 。2. 用直径为m 20cm 的圆钢，锻造长 300cm 、宽100cm ，厚 m 5cm 的长方形钢板，应截取圆钢多长？（精确到 1cm ）478cm 。3. 用铁皮做一个如下页上图（单位：cm ）所示的工件，需用铁皮多少平方厘米？2355cm2 2 。4. 是 有一种饮料瓶的瓶身如右图所示，容积是 30dm3 3
24、。现在它里面装有一些饮料，正放时饮料高度为 20cm ，倒放时空余部分的高度为 5cm 。问：瓶内现有饮料多少立方分米？24dm3 3 。 5. 有一个圆柱体的零件，高 0 10 厘米，底面直径是 6 6 厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图，圆孔的直径是 4 4 厘米，孔深 5 5 厘米。求该零件的实体体积？879.2 。挑战自己（难度等级） 有甲乙两只圆柱形玻璃杯，其内径依次是 0 10 厘米、0 20 厘米，杯中盛有适量的水，甲杯中沉了 没有一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了 2 2 厘米，然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢，问这时乙杯中的水位上升了多少厘米？5 0.5 厘米 。