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1、不等式的证明 不等式的证明(一）教学目标（1）理解证明不等式的三种方法：比较法、综合法和分析法的意义；（2）驾驭用比较法、综合法和分析法来证简洁的不等式；（3）能敏捷依据题目选择适当地证明方法来证不等式；（4）能用不等式证明的方法解决一些实际问题，培育学生分析问题、解决问题的实力；（6）通过不等式证明，培育学生逻辑推理论证的实力和抽象思维实力；（7）通过组织学生对不等式证明方法的意义和应用的参加，培育学生勤于思索、擅长思索的良好学习习惯教学建议（一）教材分析1学问结构2重点、难点分析重点：不等式证明的主要方法的意义和应用；难点：理解分析法与综合法在推理方向上是相反的；综合性问题选择适当的证明方
2、法（1）不等式证明的意义不等式的证明是要证明对于满意条件的全部数都成立（或都不成立），而并非是带入详细的数值去验证式子是否成立（2）比较法证明不等式的分析在证明不等式的各种方法中，比较法是最基本、最重要的方法证明不等式的比较法，有求差比较法和求商比较法两种途径由于 ，因此，证明 ，可转化为证明与之等价的 这种证法就是求差比较法由于当 时， ，因此，证明 可以转化为证明与之等价的 这种证法就是求商比较法，运用求商比较法证明不等式 时，肯定要留意 的前提条件求差比较法的基本步骤是：“作差变形断号”其中，作差是依据，变形是手段，推断符号才是目的变形的目的全在于推断差的符号，而不必考虑差值是多少变形的
3、方法一般有配方法、通分的方法和因式分解的方法等，为此，有时把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等总之能够推断出差的符号是正或负即可作商比较法的基本步骤是：“作商变形推断商式与1的大小关系”，须要留意的是，作商比较法一般用于不等号两侧的式子同号的不等式的证明（3）综合法证明不等式的分析利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推倒出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法综合法的思路是“由因导果”：从已知的不等式动身，通过一系列的推出变换，推倒出求证的不等式综合法证明不等式的逻辑关系是： （已知）（逐步推演不等式
4、成立的必要条件）（结论）利用综合法由因导果证明不等式，就要揭示出条件与结论之间的因果关系，为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系，在分析所证不等式左右两端的差异后，合理应用已知条件，进行有效的变换是证明不等式的关键（4）分析法证明不等式的分析从求证的不等式动身，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就是分析法有时，我们也可以首先假定所要证明的不等式成立，逐步推出一个已知成立的不等式，只要这个推出过程中的每一步都是可以逆推的，那么就可以断定所给的不等式成立这也是用分析法，留意应强调“以上每一步都可逆”，并说出可逆
5、的依据分析法的思路是“执果导因”：从求证的不等式动身，探究使结论成立的充分条件直至已成立的不等式它与综合法是对立统一的两种方法用分析法证明不等式的逻辑关系是： （已知）（逐步推演不等式成立的必要条件）（结论）分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出访结论成立的“充分”条件，二是不易正确运用连接有关（分析推理）步骤的关键词如“为了证明”“只需证明”“即”以及“假定成立”等分析法是证明不等式时一种常用的基本方法当证明不知从何入手时，有时可以运用分析法而获得解决特殊对于条件简洁而结论困难的题目往往更是行之有效（5）关于分析法与综合法分析法与综合法是思维方向相反的两种思索
6、方法在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题动身，一步一步地探究下去，最终达到题设的已知条件即推理方向是：结论 已知综合法则是从数学题的已知条件动身，经过逐步的逻辑推理，最终达到待证结论或需求问题即：已知 结论分析法的特点是：从“结论”探求“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理事实上是要找寻结论的充分条件综合法的特点是：从“已知”推出“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理事实上是要找寻已知的必要条件各有其优缺点：从寻求解题思路来看：分析法是执果索因，利于思索，方向明确，思路自然，有希望胜利；综合法由因导果，往往枝节横生，不简单达到所要证明的结论从书写表达过程而论：分析法叙述繁锁，文辞
7、冗长；综合法形式简洁，条理清楚也就是说，分析法利于思索，综合法宜于表达一般来说，对于较困难的不等式，干脆运用综合法往往不易入手，用分析法来书写又比较麻烦因此，通常用分析法探究证题途径，然后用综合法加以证明，所以分析法和综合法常常是结合在一起运用的（二）教法建议选择例题和习题要留意层次性不等式证明的三种方法主要是通过例题来说明的老师在教学中要留意例题支配要由易到难，由简洁到综合，层层深化，启发学生理解各种证法的意义和逻辑关系老师选择的训练题也要与所讲解的例题的难易程度的层次相当要坚持精讲精练的原则通过一题多法和多变挖掘各种方法的内在联系，对学问进行拓展、延长，使学生沟通学问，有效地提高解题实力在
8、教学过程（）中，应通过细心设置的一个个问题，激发学生的求知欲，调动学生在课堂活动中主动参加通过学生参加教学活动，理解不等式证明方法的实质和几种证明方法的意义，通过训练积累阅历，能够总结出比较法的实质是把实数的大小依次通过实数运算变成一个数与0(或1)比较大小；困难的习题能够利用综合法发展条件向结论方向转化，利用分析法能够把结论向条件靠拢，最终达到结合点，从而解决问题学生素养较好的，老师可在教学中适当增加反证法和用函数单调性来证明不等式的内容，但内容不易过多过难第一课时教学目标1驾驭证明不等式的方法比较法；2熟识并驾驭比较法证明不等式的意义及基本步骤教学重点 比较法的意义和基本步骤.教学难点 常
9、见的变形技巧.教学方法 启发引导式.教学过程（） （）导入新课 （老师活动）老师提问：依据前一节学过的学问，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？（学生活动）学生思索问题，找学生甲口答问题（学生甲回答： ， ， ，）点评（待学生回答问题后）要比较两个实数 与 的大小，只要考察 与 的差值的符号就可以了，这种证明不等式的方法称为比较法现在我们就来学习：用比较法证明不等式（板书课题）设计意图：通过老师设置问题，引导学生回忆所学的学问，引出用比较法证明不等式，导入本节课学习的学问（二）新课讲授（老师活动）老师板书问题（证明不等式），写出一道例题的题目问题 求证老师引导学生分析、思索，探讨不等
10、式的证明（学生活动）学生探讨证明不等式，尝试完成问题（得出证明过程后）点评 通过确定差的符号，证明不等式的成立这一方法，在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过 通过求差将不等问题转化为恒等问题，将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较，使问题简化 理论依据是： 由 ， ，知：要证明 只要证 ；要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法设计意图：帮助学生构建用比较法证明不等式的学问体系，培育学生化归的数学思想（老师活动）老师板书例题，引导学生探讨问题，构思证题方法，学会解题过程中的一些常用技巧，并点评例1 求证（学生活动）学生在老师引导下，探讨问题与老师
11、一道完成问题的论证分析由比较法证题的方法，先将不等式两边作差，得 ，将此式看作关于 的二次函数，由配方法易知函数的最小值大干零，从而使问题获证证明： ， 点评 作差后是通过配方法对差式进行恒等变形，确定差的符号 作差后，式于符号不易确定，配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式，使差式的符号易于确定 不等式两边的差的符号是正是负，一般须要利用不等式的性质经过变形后，才能推断变形的目的全在于推断差的符号，而不必考虑差的值是多少至于怎样变形，要敏捷处理，例1介绍了变形的一种常用方法配方法 例2 已知都是正数，并且 ，求证：分析这是分式不等式的证明题，依比较法证题将其作差，确定差的符号，应通分
12、，由分子、分母的值的符号推出差值的符合，从而得证证明： 因为 都是正数，且 ，所以 即：点评 作差后是通过通分法对差式进行恒等变形，由分子、分母的值的符号推出差的符号 本例题介绍了对差变形，确定差值的符号的一种常用方法通分法 例2的结论反映了分式的一特性质（若都是正数1当 时，2当 时， 以后要记住设计意图：巩固用比较法证明不等式的学问，学会在用比较法证明不等式中，对差式变形的常用方法配方法、通分法（老师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思索完成练习；请甲、乙两学生板演；巡察学生的解题状况，对正确的证法赐予确定和激励，对偏差点拨和订正；点评练习中存在的问题字幕练习：1求证2已知 ， ， ，d
13、都是正数，且 ，求证（学生活动）在笔记本上完成练习，甲、乙两位同学板演 设计意图，驾驭用比较法证明不等式，并会敏捷运用配方法和通分法变形差式，确定差式符号反馈课堂教学效果，调整课堂教学（教学活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结用比较法证明不等式的解题方法（学生活动）与老师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记比较法是证明不等式的一种最基本、重要的方法用比较法证明不等式的步骤是：作差、变形、推断符号要敏捷驾驭配方法和通分法对差式进行恒等变形 设计意图：培育学生分析归纳问题的实力，驾驭用比较法证明不等式的方法（三）小结（老师活动）老师小结本节课所学的学问（学生活动）与老师一道小结，并记录笔记本
14、节课学习了用比较法证明不等式，用比较法证明不等式的步骤中，作差是依据，变形是手段，推断符号才是目的驾驭求差后对差式变形的常用方法：配方法和通分法并在下节课接着学习对差式变形的常用方法 设计意图：培育学生对所学学问进行概括归纳的实力，巩固所学学问（四）布置作业1课本作业：P161，2，32思索题：已知 ，求证：3探讨性题：设 ， ， 都是正数，且 ，求证：设计意图，课本作业供学生巩固基础学问；思索题供学有余力的学生完成，培育其敏捷驾驭用比较法证明不等式的实力；探讨性题是为培育学生创新意识（五）课后点评1本节课是用比较法证明不等式的第一节课，在导入新课时，老师提出问题，让学生回忆所学学问中，是如何
15、比较两个实数大小的，从而引入用比较法证明不等式这样处理合情合理，顺理成章2在建立新知过程中，老师引导学生分析探讨证明不等式，使学生在尝摸索索过程中形成用比较法证明不等式的感性相识 3例1，例2两道题主要目的在于让学生归纲、总结，求差后对差式变形、并推断符号的方法，以及求差比较法的步骤在这里如何对差式变形是难点，应着重解决首先让学生明确变形目的，削减变形的盲目性；其次是总结变形时常用方法，有利于难点的突破4本节课采纳启发引导，讲练结合的授课方式，发挥老师主导作用，体现学生主体地位，学生获得学问必需通过学生自己一系列思维活动完成老师通过启发诱导学生深化思索问题，培育学生思维敏捷、严谨、深刻等良好思维品质作业答实思索题： ，又 ，获证探讨性题： 所以 ，