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1、八年级数学竞赛例题专题-面积的计算八年级数学竞赛例题专题-梯形 专题21梯形阅读与思索梯形是一类具有一组对边平行而另一组对边不平行的特别四边形，梯形的主要内容是等腰梯形、直角梯形等相关概念及性质.解决梯形问题的基本思路是：通过适当添加协助线，把梯形转化为三角形或平行四边形，常见的协助线的方法有：（1）过一个顶点作一腰的平行线（平移腰）；（2）过一个顶点作一条对角线的平行线（平移对角线）；（3）过较短底的一个顶点作另一底的垂线；（4）延长两腰，使它们的延长线交于一点，将梯形还原为三角形如图所示： 例题与求解【例1】如图，在四边形ABCD中，AB/CD，D2B，AD和CD的长度分别为，那么AB的长
2、是_.（荆州市竞赛试题）解题思路：平移一腰，构造平行四边形、特别三角形【例2】如图1，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD由四个这样的等腰梯形可以拼出图2所示的平行四边形（1）求四边形ABCD四个内角的度数；（2）摸索究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；（3）现有图1中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗？若能，请你画出大致的示意图（山东省中考试题）解题思路：对于（1）、（2），在视察的基础上易得出结论，探寻上、下底和腰及上、下底之间的关系，从作出梯形的常见协助线入手；对于（3），在（2）的基础上，绽开想象的翅膀，就可设计出若干种图形 【例3】如图，在等腰梯形ABCD
3、中，AD/BC，ABDC，且ACBD，AF是梯形的高，梯形的面积是49cm2，求梯形的高.（内蒙古自治区东四盟中考试题）解题思路：由于题目条件中涉及对角线位置关系，不妨从平移对角线入手【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB/DC，AB998，DC1001，AD1999，点P在线段AD上，问：满意条件BPC900的点P有多少个？（全国初中数学联赛试题）解题思路：依据ABDCAD这一关系，可以在AD上取点构造等腰三角形 【例5】如图，在等腰梯形ABCD中，CD/AB，对角线AC，BD相交于O，ACD600，点S，P，Q分别为OD，OA，BC的中点（1）求证：PQS是等边三角形；（2）若AB5，C
4、D3，求PQS的面积；（3）若PQS的面积与AOD的面积的比是7：8，求梯形上、下两底的比CD：AB（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：多个中点给人以广泛的联想：等腰三角形性质、直角三角形斜边中线、三角形中位线等.【例6】如图，分别以ABC的边AC和BC为一边，在ABC外作正方形ACDE和CBFG，点P是EF的中点，求证：点P到边AB的距离是AB的一半（山东省竞赛试题）解题思路：本题考查了梯形中位线定理、全等三角形的判定与性质关键是要构造能运用条件EPPF的图形 实力训练A级1.等腰梯形中，上底：腰：下底1：2：3，则下底角的度数是_.（天津市中考试题）2.如图，直角梯形ABCD中，ABBC，A
5、D3，BC5，将腰DC绕点D逆时针方向旋转900至DE，连接AE，则ADE的面积为_.（宁波市中考试题）3如图，在等腰梯形ABCD中，AB/CD，A，12，且梯形的周长为30cm，则这个等腰梯形的腰长为_.4.如图，梯形ABCD中，AD/BC，EF是中位线，G是BC边上任一点，假如，那么梯形ABCD的面积为_.（成都市中考试题）5.等腰梯形的两条对角线相互垂直，则梯形的高和中位线的长之间的关系是()ABCD无法确定6.梯形ABCD中，AB/DC，AB5，BC，BCD，CDA，则DC的长度是()A.B8C.D.E.（美国中学考试题）7如图，在等腰梯形ABCD中，ACBCAD，则DBC的度数是()
6、A.300B.450C.600D.900（陕西省中考试8如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABBC，AD2，BCDC5，点P在BC上移动，则当PAPD取最小值时，APD中边AP上的高为()ABCD3（鄂州市中考试题）9如图，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，ABCD，点P为BC边上一点，PEAB，PFCD，BGCD，垂足分别为E，F，G求证：PEPFBG（哈尔滨市中考试题） 10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E，F分别为AB，AC中点，BD与EF相交于G求证：11.如图，等腰三角形ABC中，ABAC，点E、F分别是AB、AC的中点，CEBF于点O求证：（1）四边形EBCF是等腰梯
7、形；（2）（深圳市中考试题）12.如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PMEF交BC于点M，过M作MN/AB交折线ADC于点N，连接PN，设EP当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形态是否发生变更？若不变，求出PMN的周长；若变更，请说明理由当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，恳求出全部满意要求的的值；若不存在，请说明理由（江西省中考试题) B级1.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，ADBC，AB10，CD4，延
8、长BD到E，使DEDB，作EFAB交BA的延长线于点F，则AF_.（山东省竞赛试题）2.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，ABDC10cm，AC与BD相交于G，且AGD，设E为CG中点，F是AB中点，则EF长为_.（“希望杯”邀请赛试题）3.用四条线段：作为四条边，构成一个梯形，则在所构成的梯形中，中位线的长的最大值为_.（湖北赛区选拔赛试题）4.如图，梯形ABCD的两条对角线AC，BD相交于O点，且AO：CO3：2，则两条对角线将梯形分成的四个小三角形面积之比为_.（安徽省中考试题）第4题图第5题图第6题图5.如图，在四边形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，若DEC的面积为S，则四边
9、形ABCD的面积为()AB2SCD（重庆市竞赛试题）6.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B，C，E，M，F，N分别为AB，BC，CD，DA的中点，已知BC7，MN3，则EF的值为()A4BC5D6（全国初中数学联赛试题）7.如图，梯形ABCD中，AB/DC，E是AD的中点，有以下四个命题：若ABDCBC，则BEC；若BEC，则ABDCBC；若BE是ABC的平分线，则BEC；若ABDCBC，则CE是DCB的平分线.其中真命题的个数是()A1个B2个C3个D4个（重庆市竞赛试题）8.如图，四边形ABCD是一梯形，AB/CD，ABC，AB9cm，BC8cm，CD7cm，M是AD的中点，从M作AD
10、的垂线交BC于N，则BN的长等于()A1cmB1.5cmC2cmD2.5cm（“希望杯”邀请赛试题）9.如图，在梯形ABCD中，AB/DC，M是腰BC的中点，MNAD.求证：（山东省竞赛试题）10.如图，在梯形ABCD中，AD/BC，分别以两腰AB，CD为边向两边作正方形ABGE和正方形DCHF，设线段AD的垂直平分线交线段EF于点M.求证：点M为EF的中点.（全国初中数学联赛试题） 11.已知一个直角梯形的上底是3，下底是7，且两条对角线的长都是整数，求此直角梯形的面积.（“东方航空杯”上海市竞赛试题） 12.如图1，平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过矩形OABD的边BD的三等分点（）交
11、AB于E，AB12，四边形OEBF的面积为16.（1）求值.（2）已知，点P从A动身以0.5cm/s速度沿AB、BD向D运动，点Q从C同时动身，以1.5cm/s的速度沿CO，OA，AB向B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.从运动起先，经过多少时间，四边形PQCB为等腰梯形（如图2）.（3）在（2）条件下，在梯形PQCB内是否有一点M，使过M且与PB，CQ分别交于S，T的直线把PQCB的面积分成相等的两部分，若存在，请写出点M的坐标及CM的长度；若不存在，请说明理由. 八年级数学竞赛例题专题-配方法 专题25配方法阅读与思索把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完
12、全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是探讨相等关系，探讨不等关系的常用技巧.配方法的作用在于变更式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具.配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有：1、2、3、4、配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于：(1)具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如能联想起配方法.(2)具有整体把握题设条件的实力，即擅长将某项拆开又重新安排组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数，
13、满意，那么_(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x，y的值. 【例2】若实数，c满意，则代数式的最大值是()A、27B、18C、15D、12(全国初中数学联赛试题)解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式. 配方法的实质在于揭示式子的非负性，而非负数有以下重要性质；(1)非负数的最小值为零；(2)有限个非负数的和为零，则每一个非负数都为零.【例3】已知，求a+b+c的值.解题思路：题设条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式，怎样才能确定未知量的值呢？不妨用配方法试一试.复合根式的化简，含多元的根式等式问题，经常用到配方法. 【例4】
14、证明数列49，4489，444889，44448889，的每一项都是一个完全平方数.解题思路：，由此可猜想，只需完成从左边到右边的推导过程即可. 几个好玩的结论：(1)(2)这表明：只出现1个奇数或只出现1个偶数的完全平方数分别有无限多个. 【例5】一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多容纳32人，而且只能在第2层至第33层中某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满足，往上走一层楼梯感到3分不满足，现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层时，可以使得这32个人不满足的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯即干脆从楼
15、梯上楼）(全国初中数学联赛试题) 解题思路：通过引元，把不满足的总分用相关字母的代数式表示，解题的关键是对这个代数式进行恰当的配方，进而求出代数式的最小值.把代数式通过凑配等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质达到增加问题条件的目的，这种解题方法叫配方法.配方法的作用在于变更代数式的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 【例6】已知自然数n使得为完全平方数，求n的值.(“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：原式中n的系数为奇数，不能干脆配方，可想方法化奇为偶，解决问题. 实力训练1、计算=_.(“希望杯”邀请赛试题)2、已知
16、，则.3、，y为实数，且，则+y的值为_.4、当2时，化简代数式，得_.5、已知，当=_，y=_时，的值最小.(全国通讯赛试题) 6、若，则MN的值()A、负数B、正数C、非负数D、可正可负7、计算的值为()A、1B、C、D、(全国初中数学联赛试题)8、设，,为实数，则x，y，z中至少有一个值()A、大于零B、等于零C、不大于零D、小于零(全国初中数学竞赛试题)9、下列代数式表示的数肯定不是某个自然数的平方(其中n为自然数)的是()A、B、C、D、E、10、已知实数，c满意，则a+b+c的值等于()A、2B、3C、4D、5(河北省竞赛试题)解“存在”、“不存在”“至少存在一个”等形式的问题时，
17、常从整体考虑并常常用到一下重要命题：设x1，x2，x3,xn为实数.(1)若则x1，x2，x3,xn中至少有(或存在)一个为零；(2)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个大于零；(3)若，则x1，x2，x3，xn中至少有(或存在)一个小于零. 11、解方程组(苏州市竞赛试题) 12、能使是完全平方数的正整数n的值为多少？(全国初中数学联赛试题) 13、已知，且，为自然数，求，的值.(天津市竞赛试题) 13、设a为质数，b为正整数，且，求，的值.(全国初中数学联赛试题) 14、某宾馆经市场调研发觉，每周该宾馆入住的房间数y与房间单价x之间存在如图所示的一次函数关系.(1)依据图象求
18、y与x之间的函数关系式(0160)；(2)从经济效益来看，你认为该宾馆如何制定房间单价，能使其每周的住宿收入最高？每周最高住宿收入是多少元？ 八年级数学竞赛例题专题-关于中点的联想 专题22关于中点的联想 阅读与思索线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想：首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线休戚相关；另外，中点还可以与中心对称相连解答中点问题的关键是恰当地添加协助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示：例题与求解
19、【例1】如图，ABC边长分别为AB14，BC16，AC26，P为A的平分线AD上一点，且BPAD，M为BC的中点，则PM的值为_(安徽省竞赛试题)解题思路：A的平分线与BP边上的垂线相互重合，通过作协助线，点P可变为某线段的中点，利用三角形中位线定理解题 【例2】如图，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EFAB，线段CF，DH的中点分别为M，N，则线段MN的长度为()(北京市竞赛试题) A102B172C173D2103解题思路：连接CG，取CG的中点T，构造三角形中位线、梯形中位线 【例3】如图，在ABC中，ABAC，延长AB到D，使BDAB，E为A
20、B中点，连接CE，CD，求证：CD2EC(宁波市竞赛试题)解题思路：图形中有两个中点E，B，联想到与中点相关的丰富学问，将线段倍分关系的证明转化为线段相等关系的证明，关键是恰当添加协助线 【例4】如图1，P是线段AB上一点，在AB的同侧作APC和BPD，使APCBPD，PCPA，PDPB，连接CD，点E，F，G，H分别是AC，AB，BD，CD的中点，顺次连接E，F，G，H(1)猜想四边形EFGH的形态，干脆回答，不必说明理由；(2)当点P在线段AB的上方时，如图2，在APB的外部作APC和BPD，其他条件不变，(1)中的结论还成立吗？说明理由；(3)假如(2)中，APCBPD90，其他条件不变
21、，先补全图3，再推断四边形EFGH的形态，并说明理由（营口市中考试题）图图图解题思路：结论随着条件的变更或许发生改变，但解决问题的方法是一样的，即通过连线，为三角形中位线定理的应用创建条件 【例5】如图，以ABC的AB，AC边为斜边向形外作直角三角形ABD和ACE，且使ABDACE，M是BC的中点，求证：DMEM（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：明显DBM不全等于ECM，必需通过作协助线，构造全等三角形证明DMEM 【例6】如图，已知ABC中，ACB90，AB边上的高CH与ABC的两条内角平分线AM，BN分别交于P，Q两点，PM，QN的中点分别为E，F，求证：EFAB（全国初中数学联赛题）
22、解题思路：从图形的形成过程，逐步探究相应结论将原问题分解为多个小问题 能力训练A级1如图，若E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是_(1)假如把条件中的四边形ABCD依次改为矩形、菱形、正方形或等腰梯形，其他条件不变，那么所得的四边形EFGH分别为_；(2)假如把结论中的平行四边形EFGH依次改为矩形、菱形、正方形，那么原四边形ABCD应具备的条件是_（湖北省黄冈市中考试题）2如图，已知AGBD，AFCE，BD，CE分别是ABC和ACB的角平分线，若BF2，ED3，GC4，则ABC的周长为_(重庆市竞赛试题) 3如图，在ABC中，ABAC，ADBC于点D，E是AC的中
23、点，若BC16，DE5，则AD_（南京市中考试题） 4如图，在ABC中，ABAC，M，N分别是AB，AC的中点，D，E为BC上的点，连接DN，EM，若AB13cm，BC10cm，DE5cm，则图中阴影部分的面积为_（北京市中考试题）5A，B，C，D顺次为四边形ABCD的各边的中点，下面条件中使四边形ABCD为正方形的条件是（）A四边形ABCD是矩形B四边形ABCD是菱形C四边形ABCD是等腰梯形D四边形ABCD中，ACBD且ACBD6若等腰梯形的两条对角线相互垂直，中位线长为8cm，则该等腰梯形的面积为（）A16cm2B32cm2C64cm2D112cm27如图，梯形ABCD中，ADBC，E，
24、F分别是BD，AC的中点，若AD6cm，BC18cm，则EF的长为（）A8cmB7cmC6cmD5cm 8如图，在梯形ABCD中，ADEFGHBC，AEEGGB，AD18，BC32，则EFGH（）A40B48C50D56（泰州市中考试题）第8题图第9题图9如图，在ABC中，B2C，ADBC于点D，M是BC的中点，求证：DM12AB 10如图，在ABC中，BDCE，BE，CD的中点分别是M，N，直线MN分别交AB，AC于点P，Q，求证：APAQ 11在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形AE的中点是M（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与
25、点G重合时，点M与点C重合，求证：FM=MH，FMMH；（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH是等腰直角三角形；（3）将图2中的CE缩短到图3的状况，FMH还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）(2022年河北省中考试题) 12在六边形ABCDEF中，ABDE，BCEF，CDFA，ABDEBCEF，A1，B1，D1，E1分别是边AB，BC，DE，EF的中点，A1D1B1E1求证：CDEAFE B级1如图，正方形ABCD两条对角线相交于点E，CAD的平分线AF交DE于点G，交DC于点F，若GE24，则FC_2如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点F，M，N分
26、别是AB，CD的中点，MN分别交BD，AC于点P，Q，且FPQFQP，BD10，则AC_（重庆市竞赛试题）3如图，在ABC中，BAC120，以AB，AC为边分别向形外作正三角形ABD和正三角形ACE，M为AD的中点，N为AE的中点，P为BC的中点，则MPN_（北京市竞赛试题）4如图，已知A为DE的中点，设DBC，ABC，EBC的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是（）AS232(S1S3)BS212(S3S1)CS212(S1S3)DS232(S3S1)5如图，在图形ABCD中，ABDC，M为DC的中点，N为AB的中点，则()AMN12(ADBC)BMN12(ADBC)C
27、MN12(ADBC)D无法确定MN与12(ADBC)的关系6如图，凸四边形ABCD的面积是a，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，那么图中的阴影部分的面积为()A18aB16aC14aD12a（江苏省竞赛试题）7如图，在ABC中，D为AB的中点，分别延长CA，CB到点E，F，使DEDF，过E，F分别作CA，CB的垂线，相交于点P求证：PAEPBF（全国初中数学联赛试题） 8如图，锐角ABC中，作高BD和CE，过顶点B，C分别作DE的垂线BF和CG，求证：EFDG（全俄奥林匹克数学竞赛试题） 9如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且MDN90，
28、假如BM2CN2DM2DN2求证：AD214(AB2AC2)（北京市竞赛试题） 10已知：ABD和ACE都是直角三角形，且ABDACE90如图1，连接DE，设M为DE的中点(1)求证：MBMC；(2)设BADCAE，固定ABD，让RtACE绕顶点A在平面内旋转到图2的位置，试问：MBMC是否还成立?请说明理由（江苏省竞赛试题） 11已知OAB，OCD都是等腰直角三角形，AOBCOD90(1)如图1，点C在OA边上，点D在OB边上，连接AD，BC，M为线段AD的中点，求证：OMBC(2)如图2，在图1的基础上，将OCD绕点O逆时针旋转(为锐角)，M为线段AD的中点求证：OM12BC；OMBC是否
29、还成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由 12如图1，在ABC中，点P为BC边的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B，P在直线a的异侧，BM直线a于点M，CN直线a于点N，连接PM，PN(1)延长MP交CN于点E(如图2)求证：BPMCPE；求证：PMPN(2)若直线a绕点A旋转到如图3的位置时，点B，P在直线a的同侧，其他条件不变，此时PMPN还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3)若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变请干脆推断四边形MBCN的形态及此时PMPN是否成立不必说明理由（沈阳市中考试题） 第16页 共16页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页第 16 页 共 16 页