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1、苏教版241逆变换与逆矩阵创造情境创造情境由前面学习我们知道由前面学习我们知道由前面学习我们知道由前面学习我们知道:二阶矩阵对应着平面上的一个几二阶矩阵对应着平面上的一个几二阶矩阵对应着平面上的一个几二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点（何变换，它把点（何变换，它把点（何变换，它把点（x x ，y y）变换到点（）变换到点（）变换到点（）变换到点（x x，y y）.反过来反过来反过来反过来:若知道变换后的结果（若知道变换后的结果（若知道变换后的结果（若知道变换后的结果（x x，y y）,能否能否能否能否“找到回家的路找到回家的路找到回家的路找到回家的路”,再让它变回到原来的（再让它变回到
2、原来的（再让它变回到原来的（再让它变回到原来的（x x ，y y）呢？）呢？）呢？）呢？如图示：如图示：如图示：如图示：（x x ，y y）（x x，y y）走过去走过去走回去走回去创造情境创造情境引例：对于下列给出的变换矩阵引例：对于下列给出的变换矩阵A，是否存在变换矩阵，是否存在变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先，使得连续进行两次变换（先TA后后TB）的结果与恒等）的结果与恒等变换的结果相同：变换的结果相同：（1）以）以x轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；（2）绕原点逆时针旋转）绕原点逆时针旋转600的旋转变换；的旋转变换；（3）横坐标不变，沿）横坐标不变，沿y轴方向将纵坐标伸
3、长为原来的轴方向将纵坐标伸长为原来的 2倍的伸压变换；倍的伸压变换；（4）沿）沿y轴方向，向轴方向，向x轴的投影变换；轴的投影变换；（5）纵坐标）纵坐标y不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且不变，横坐标依纵坐标的比例增加，且 （x,y）（x+2y,y）的切变变换；）的切变变换；情境分析情境分析（1 1）对于反射变换）对于反射变换）对于反射变换）对于反射变换T TA A，满足条件的变换即为其自身，即，满足条件的变换即为其自身，即，满足条件的变换即为其自身，即，满足条件的变换即为其自身，即B=AB=A；（2 2）对于旋转变换）对于旋转变换）对于旋转变换）对于旋转变换T TA A，存在旋转变换，存在旋
4、转变换，存在旋转变换，存在旋转变换T TB B，即，即，即，即B B为绕原点顺时针为绕原点顺时针为绕原点顺时针为绕原点顺时针旋转旋转旋转旋转60600 0 的变换矩阵；的变换矩阵；的变换矩阵；的变换矩阵；（3 3）对于伸压变换）对于伸压变换）对于伸压变换）对于伸压变换T TA A，存在伸压变换，存在伸压变换，存在伸压变换，存在伸压变换T TB B，即，即，即，即B B为使平面的保持为使平面的保持为使平面的保持为使平面的保持横坐标不变，纵坐标沿横坐标不变，纵坐标沿横坐标不变，纵坐标沿横坐标不变，纵坐标沿y y轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵；轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵；轴方向压缩为原来的一
5、半的变换矩阵；轴方向压缩为原来的一半的变换矩阵；（4 4）对于投影变换）对于投影变换）对于投影变换）对于投影变换T TA A，不存在满足条件的变换矩阵，不存在满足条件的变换矩阵，不存在满足条件的变换矩阵，不存在满足条件的变换矩阵B B。原因：投影变换不是一一映射；原因：投影变换不是一一映射；原因：投影变换不是一一映射；原因：投影变换不是一一映射；（5 5）对于切变变换）对于切变变换）对于切变变换）对于切变变换T TA A，存在切变变换，存在切变变换，存在切变变换，存在切变变换T TB B，即，即，即，即B B为使平面的保持为使平面的保持为使平面的保持为使平面的保持纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变
6、纵坐标不变,横坐标依纵坐标的比例减少横坐标依纵坐标的比例减少横坐标依纵坐标的比例减少横坐标依纵坐标的比例减少,且且且且（x,yx,y）（x-2y,x-2y,y y）的的的的变换矩阵；变换矩阵；变换矩阵；变换矩阵；情境分析情境分析由引例由引例由引例由引例,我们可以得到：有的矩阵能我们可以得到：有的矩阵能我们可以得到：有的矩阵能我们可以得到：有的矩阵能“找到回家的路找到回家的路找到回家的路找到回家的路”，称它为原变换的，称它为原变换的，称它为原变换的，称它为原变换的逆变换逆变换逆变换逆变换，而逆变换也对应着一个矩阵，而逆变换也对应着一个矩阵，而逆变换也对应着一个矩阵，而逆变换也对应着一个矩阵,但并
7、非所有的二阶矩阵但并非所有的二阶矩阵但并非所有的二阶矩阵但并非所有的二阶矩阵A A，都存在二阶矩阵，都存在二阶矩阵，都存在二阶矩阵，都存在二阶矩阵B B，使得，使得，使得，使得AB=BA=E.AB=BA=E.那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？那我们该如何对逆矩阵下一个合适的定义呢？则矩阵则矩阵则矩阵则矩阵 称为称为称为称为 的可逆矩阵或的可逆矩阵或的可逆矩阵或的可逆矩阵或逆阵逆阵逆阵逆阵.一、概念的引入一、概念的引入在数的运算中，在数的运算中，在数的运算中，在数的运算中，当数当数当数当数 时，时，时，时，有有
8、有有其中其中其中其中 为为为为 的倒数，的倒数，的倒数，的倒数，（或称（或称（或称（或称 的的的的逆逆逆逆）；）；）；）；在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，在矩阵的运算中，单位阵单位阵单位阵单位阵 相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中相当于数的乘法运算中 的的的的1 1，那么，对于矩阵那么，对于矩阵那么，对于矩阵那么，对于矩阵 ，如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵如果存在一个矩阵 ,使得使得使得使得数学建构数学建构二、逆矩阵的概念和性质二、逆矩阵的概念和性质1 1、定义定义定义定义 对于对于对于对于 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如
9、果有一个，如果有一个，如果有一个 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵 则说矩阵则说矩阵则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并是可逆的，并是可逆的，并是可逆的，并 把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵 称为称为称为称为 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵.,使得使得例例 设设注意：注意：要同时成立！要同时成立！现在要解决的问题：现在要解决的问题：现在要解决的问题：现在要解决的问题：1.1.1.1.二阶方阵二阶方阵二阶方阵二阶方阵 满足什么条件时可逆满足什么条件时可逆满足什么条件时可逆满足什么条件时可逆?2.2.2.2.可逆时可逆时可逆时可逆时，逆阵怎样求？逆阵怎样求？逆阵怎样求？逆阵怎样求？用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆用
10、几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵矩阵,若存在把它求出来若存在把它求出来;若不存在若不存在,说明理由说明理由.例题例题2、结论：结论：当一个矩阵表示的是平面上向量到向量当一个矩阵表示的是平面上向量到向量的一一映射时，它才是可逆的。的一一映射时，它才是可逆的。逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的逆矩阵就是对原先变换实施的逆变换所对应的矩阵。矩阵。若若若若 是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.若设若设若设若设 和和和和 是是是是 的可逆矩阵，的可逆矩阵，的可逆矩阵，的可逆矩阵，则有则有可得可得可得可得所以
11、所以所以所以 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,即即即即2 2、逆矩阵逆矩阵性质性质证明：证明：证明：证明：(1)(1)、(2)、2 2、逆矩阵逆矩阵性质性质例例 设设解解设设 是是 的逆矩阵的逆矩阵,则则目前只能利用定义，用待定系数法解决！目前只能利用定义，用待定系数法解决！目前只能利用定义，用待定系数法解决！目前只能利用定义，用待定系数法解决！例题分析例题分析又因为又因为又因为又因为所以所以所以所以总结逆矩阵的求法？总结逆矩阵的求法？例题例题3、一般化：一般化：(13江苏）已知矩阵江苏）已知矩阵，求矩阵求矩阵 练习：练习：问题：问题：二阶矩阵的乘法二阶矩阵的
12、乘法ABAB表示连续实施两表示连续实施两次几何变换。次几何变换。那么连续实施两次几何变换的那么连续实施两次几何变换的逆变换是什么呢？逆变换是什么呢？即：即：(AB)-1=？证明证明 (3)、逆矩阵逆矩阵性质性质建构数学建构数学例题例题4、对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律对于二阶矩阵什么条件下可以满足消去律?已知已知 A,B,C 为二阶矩阵为二阶矩阵,且且 AB=AC,若矩阵若矩阵 A 存在逆矩阵存在逆矩阵,则则 B=C证明：证明：矩阵矩阵A存在逆矩阵，存在逆矩阵，A-1A=E于是于是 B=（A-1A）B=A-1（AB）=A-1（AC）=（A-1A）C=C思考：已知思考：已知 A,B,C 为二阶矩阵为二阶矩阵,且且 BA=CA,若若矩阵矩阵 A 存在逆矩阵存在逆矩阵,则则 B=C一定成立吗？一定成立吗？课堂小结课堂小结1.1.逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质;2.2.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法;3.3.3.3.逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 存在存在存在存在作业作业P652此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢