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1、第9章 代数解法 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun l理学力学量本征值问题的代数解法引入两个新的算符H可以表示成不难验证如果 a|n 不为0，它是H的本征态，本征值为En-,重复此过程，可知 En，En-，En-2都是能量本征值。2H是正定的，可以证明，任何态下，a+a的平均值能量本征值序列必须终止于基态能量E0,即E0-不再是能量本征值，条件为E0=1/2,a+|n也是能量本征态，本征值为En+.重复以上过程，可知En，En+，En+2，都是能量本征值。3从|0态出发，则有H的本征态|0,a+|0,a+2|0,本征值 1/2,3/2,5/2即能级分布是均匀
2、的，相邻能级间距为.作用于|n，可得a+a成为量子数算符，记为N.a 和 a+对能量本征态|n作用后使降 或升，即量子数n降1或升1，分别称为降算符和升算符。4由此可知，在能量表象中，a,a+，不为0的矩阵元为，亦即5算符Q和P表示为x和p可以表示成6x和p的矩阵元为|n可用基态表示7坐标表象的波函数坐标表象的波函数对于基态用的波函数9例：求降算符a的本征态，将其表示成各种能量本征态|n的叠加。解：设a的本征态为|，本征值为。令带入本征方程，比较|n-1项的系数，有依次递推，可得10得到归一化的本征态，上式称为谐振子的相干态。a不为厄米算符，其本征值可取复数。112 角动量的本征值和本征态角动
3、量的本征值和本征态前面介绍了自旋以及自旋与轨道角动量耦合成的总角动量。本节将对角动量的本征值和本征态进行一般讨论。假设算符 jx,jy,jz,满足下列对易式，则以jx,jy,jz,作为分量的矢量算符j,称为角动量算符。定义不难证明12可以证明由于j2和jz对易，可以求它们的共同本征态，记为|,m(a)根据取矩阵元只当，=时，才可能不为0.j-,jx,jy,jz也有类似的公式13(b)根据两边取矩阵元当m=m1，矩阵元才有可能不为0.所以这说明j使磁量子数增1或减1，称为升算符和降算符。由于jx,jy,jz,j对于是对角化的，下面暂时略去。14(c)根据两边取矩阵元根据j矩阵元的选择定则再利用
4、，可知令15这个代数方程的解可表为C是与m无关的实数。由于|m|2=0,所以m(m+1）记为|jm）(e)矩阵元公式在（j2,jz）表象中，j2和jz是对角矩阵19j+的矩阵元为取=0，203 两个角动量的耦合，两个角动量的耦合，Clebsch-Gordan系数系数实际问题中经常要考虑一个量子体系中包括两个子系统的角动量或同一体系的两种自由度的角动量耦合，即考虑这些角动量相应磁矩的相互作用。总角动量算符及对易关系设j j1和j j2是体系的两个角动量 算符它们彼此是相互独立的，各分量均可对易总角动量算符的定义是21容易证明，总角动量j j也满足角动量算符的对易关系总角动量平方算符可以证明但是，
5、j2含有利用这些对易关系可以得到描述体系角动量状态的力学量的完全集。一般地，当体系只有一个角动量时，描述体系角动量状态需要两个力学量组成力学量完全集。若系统有两个子系，各有一个角动量，则系统总角动量状态将涉及四个自由度，要由4个力学量组成力学量完全集。一般可有两种选取方法。22无耦合表象和耦合表象无耦合表象和耦合表象若选择j j12,j1z,j22,j2z构成力学量完全集,以|j1,m1表示 j j12,j1z,的共同本征态，以|j2,m2表示 j j22,j2z,的共同本征态，而将j j12,j1z,j22,j2z的共同本征态记为相应的本征值方程为：给定j1,j2,m1有2j1+1个取值，m
6、2有2j2+1个取值，因此|j1,m1,j2,m2有(2j1+1)(2j2+1)个分量。以正交归一完备系|j1,m1,j2,m2为基矢的表象称为无耦合表象。23若选择相互对易的j j12,j j22,j j2,jz为对易力学量完全集，它们共同本征矢记为|j1,j2,j,m,相应的本征方程为以正交归一完备系|j1,j2,j,m为基矢的表象称为耦合表象。该表象当中，j12,j22,j2,jz均为对角矩阵。以上两套完备基矢可用来描述同一体系,且每套基矢个数(空间维数)相等,皆为(2j1+1)(2j2+1)维。实际上，当考虑体系两个子系统间相互作用时(如考虑自旋-轨道耦合),则要选取耦合表象；当忽略两
7、子系统相互作用时,则要选非耦合表象。24耦合表象基矢按无耦合表象基矢系展开耦合表象基矢按无耦合表象基矢系展开按照表象理论，这两个均由正交归一的完备基矢构成的表象之间可以通过一个幺正变换相联系。在|j1,j2,j,m前插入完备性关系考虑到|j1,j2,j,m中j1,j2已给定，因此不必对j1,j2求和，就是C-G（Clebsch-Gordan）系数,是耦合表象的基矢和非耦合表象的基矢之间幺正变换矩阵的矩阵元。25C-GC-G系数的重要性质及求法系数的重要性质及求法C-G系数不为零的条件a.第一个条件是 m=m1+m2,利用 jz (j1z+j2z)=0,作用于|j1,j2,j,m，然后以的数目当
8、j1，j2给定时，共有(2j1+1)(2j2+1)个线性独立的态矢，即无耦合表象基矢所张开的希尔伯特空间为(2j1+1)(2j2+1)维。|j1,j2,j,m是各种|j1,m1,j2,m2的线性叠加，j1，j2给定时相互独立的|j1,j2,j,m也是(2j1+1)(2j2+1)维。对于一个j值，m有(2j+1)个取值。因此，从维数不变的要求，有27总结：j的取值范围如下 j=j1+j2,j1+j2-1,|j1j2|此结果可以概括为三角形法则（三角形的任何一边之长不大于另外两边之和，不小于另外两边之差）。CG系数有下列两个基本性质：(a)仅当 m=m1+m2时，才能不等于0；(b)仅当|j1-j
9、2|=j=j1+j2时，才能不等于0。28C-G系数的应用很广,但确定一般的C-G系数的普遍方法是非常复杂的工作。目前已经列为应用表可在专门的工具书中查用。下面介绍一种求解方法，它在很多场合，特别是给定的j1,j2很小的时候很适用。j1,j2给定，耦合表象基矢可简写为：首先取j=j1+j2,m=j1+j2,由于m=m1+m2,故当m=j1+j2时，m1=j1,m2=j2,因此|j1+j2,j1+j2只对应无耦合表象中的一个态|j1,j1,j2,j2,即用j1,j1,j2,j2|左乘上式，即得与m=j1+j2,有关的CG系数，29其次，取j=j1+j2,m=j1+j2-1,分别用j1,j1-1,j2,j2|,j1,j1,j2,j2-1|,左乘上式，除以 即得与m=j1+j2-1有关的CG系数。30再次，取j=j1+j2,m=j1+j2-2,用降算符j-=j1-+j2-作用于得到了m=j1+j2-2有关的CG系数。其他类推。此外，若取j=j1+j2-1,CG系数也可类似求出。31第9章 代数解法 Quantum MechanicsFang Jun Fang Jun l此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢