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1、人教版数学八年级下册正方形教案八年级数学竞赛例题专题-正方形 专题20正方形阅读与思索矩形、菱形、正方形都是平行四边形，但它们都是有特别条件的平行四边形，正方形不仅是特别的平行四边形，而且是邻边相等的特别矩形，也是有一个角是直角的菱形，因此，我们可以利用矩形、菱形的性质来探讨正方形的有关问题正方形问题经常转化为三角形问题解决，在正方形中，我们最简单得到特别三角形、全等三角形，熟识以下基本图形例题与求解【例l】如图，在正方形纸片中，对角线，交于点，折叠正方形纸片，使落在上，点恰好与上的点重合，绽开后，折痕分别交，于点，.下列结论：；四边形是菱形；.其中，正确结论的序号是_（重庆市中考试题）解题思
2、路：本题需综合运用轴对称、菱形判定、数形结合等学问方法【例2】如图1，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上，取线段的中点.连，（1）探究线段，的关系，并加以证明（2）将正方形绕点旋转随意角后（如图2），其他条件不变探究线段，的关系，并加以证明（大连市中考题改编）解题思路：由为中点，想到“中线倍长法”再证三角形全等 【例3】如图，正方形中，是，边上两点，且，于，求证：.（重庆市竞赛试题）解题思路：构造的线段是解本例的关键【例4】如图，正方形被两条与边平行的线段、分割成四个小矩形，是与的交点，若矩形的面积恰是矩形面积的2倍，试确定的大小，并证明你的结论（北京市竞赛试题）解题思路：先揣测的
3、大小，再作出证明，解题的关键是由条件及图形推出隐含的线段间的关系【例5】如图，在正方形中，分别是边，上的点，满意，分别与对角线交于点求证：（1）；（2）（四川省竞赛试题）解题思路：对于（1），可作协助线，创建条件，再通过三角形全等，即可解答；对于（2），很简单联想到直角三角形三边关系 【例6】已知：正方形中，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点当绕点旋转到时（如图1），易证（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请干脆写出你的猜想（黑龙江省中考试题）解题思路：对于（2），
4、构造是解题的关键 实力训练A级1.如图，若四边形是正方形，是等边三角形，则的度数为_.（北京市竞赛试题）2.四边形的对角线相交于点，给出以下题设条件：；其中，能判定它是正方形的题设条件是_.（把你认为正确的序号都填在横线上）（浙江省中考试题）3如图，边长为1的两个正方形相互重合，按住一个不动，将另一个绕顶点顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是_.（青岛市中考试题）第1题图第3题图第4题图 4.如图，是正方形内一点，将绕点顺时针方向旋转至能与重合，若，则=_.（河南省中考试题）5.将个边长都为的正方形按如图所示摆放，点分别是正方形的中心，则个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为()A.BC.
5、D.（晋江市中考试题） 第5题图第6题图 6.如图，以的斜边为一边在的同侧作正方形，设正方形的中心为，连接，假如，则的长为()A.12B8C.D.（浙江省竞赛试题）7如图，正方形中，那么是()A.BC.D.8如图，正方形的面积为256，点在上，点在的延长线上，的面积为200，则的值是()A15B12C11D109如图，在正方形中，是边的中点，与交于点，求证：10.如图，在正方形中，是边的中点，是上的一点，且求证：平分11.如图，已知是正方形对角线上一点，分别是垂足求证：（扬州市中考试题） 12.（1）如图1，已知正方形和正方形，在同一条直线上，为线段的中点探究：线段的关系（2）如图2，若将正方
6、形绕点顺时针旋转，使得正方形的对角线在正方形的边的延长线上，为的中点试问：（1）中探究的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由（大连市中考试题） 图1图2 B级1.如图，在四边形中，于，若四边形的面积为8，则的长为_.2.如图，是边长为1的正方形内一点，若，则_.（北京市竞赛试题）3.如图，在中，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，且，则的长为_.（“希望杯”邀请赛试题）4.如图：边长肯定的正方形，是上一动点，交于，过作交于点，作于点，连接，下列结论：；为定值，其中肯定成立的是()A.BC.D.5.如图，是正方形，是菱形，则与度数的比值是()A.3B4C.5D.不是整数6.
7、一个周长为20的正方形内接于一个周长为28的正方形，那么从里面正方形的顶点到外面正方形的顶点的最大距离是()A.BC.8D.E.（美国中学考试题）7.如图，正方形中，是的中点，设，在上取一点，使，则的长度等于()A.1B2C.3D.（“希望杯”邀请赛试题）8.已知正方形中，是中点，是延长线上一点，且交平分线于（如图1）（1）求证：；（2）若将上述条件中的“是中点”改为“是上随意一点”其余条件不变（如图2），（1）中结论是否成立？假如成立，请证明；假如不成立，请说明理由；（3）如图2，点是的延长线上（除点外）的随意一点，其他条件不变，则（1）中结论是否成立？假如成立，请证明；假如不成立，请说明理
8、由；（临汾市中考试题）9.已知求证： 10.假如，点分别在正方形的边上，已知的周长等于正方形周长的一半，求的度数（“祖冲之杯”邀请赛试题）11.如图，两张大小适当的正方形纸片，重叠地放在一起，重叠部分是一个凸八边形，对角线分这个八边形为四个小的凸四边形，请你证明：，且（北京市竞赛试题）12.如图，正方形内有一点，以为边向外作正方形和正方形，连接求证：（武汉市竞赛试题） 八年级数学下册丰富多彩的正方形教学设计 八年级数学下册丰富多彩的正方形教学设计 一教学目标： 1.学问与技能： （1）复习正方形的有关性质和判定方法 （2）能运用正方形的性质解决有关计算和证明问题 2.过程与方法：通过视察，探讨
9、，归纳，得出结论，经验由一般到特别的思维进程，获得数学思想，发展学生的数学推理实力。 3.情感看法与价值观： (1)通过数学活动培育学生视察、猜想、证明的探究精神； (2)通过小组探讨活动，培育学生合作的意识。 二。教学过程： 1.导课： 同学们，今日我们一起学习丰富多彩的正方形，这是一节试验与探究课。 2.展示平行四边形，矩形，菱形和正方形，比较这四种图形哪一种图形的性质最多呢？（通过比较得出结论：正方形的性质最多） 3.正方形的特别性：正方形既是矩形又是菱形，它既具有实行的性质又具有菱形的性质。 4.回顾正方形的性质： （1）正方形的对边平行，四边相等； （2）正方形的四个角相等，且每个角
10、为直角； （3）正方形的对角线相互垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形,共有4条对称轴。 这些都是正方形的基本性质。事实上，正方形是丰富多彩的、好玩的。它还有很多特别的好玩的性质。 接下来我们一起来试验、探究正方形好玩的性质。 5.探究： 如图：正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等。无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的?。想一想，这是为什么？ 证明四边形ABCD是正方形 AO=BOOAE=OBFAOE=90BOE 又四边形A1B1C1O是正方形， A1
11、OC1=90 BOF=A1OC1BOE=90BOE AOE=BOF AOEBOF(ASA) SAOE=SBOF 又S四边形OEBF=SBOE+SBOF S四边形OEBF=SBOE+SAOE =SAOB =?S正方形ABCD 6.正方形的应用：在生活中的应用。 7结束语 共享： 正方形 19.2.3正方形一、教学目的1驾驭正方形的概念、性质和判定，并会用它们进行有关的论证和计算2理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区分，通过正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系的教学对学生进行辩证唯物主义教化，提高学生的逻辑思维实力二、重点、难点1教学重点：正方形的定义及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系
12、2教学难点：正方形与矩形、菱形的关系及正方形性质与判定的敏捷运用三、例题的意图分析本节课支配了三个例题，例1是教材P111的例4，例2与例3都是补充的题目其中例1与例2是正方形性质的应用，在讲解时，应留意引导学生能正确的运用其性质例3是正方形判定的应用，它是先判定一个四边形是矩形，再证明一组邻边，从而可以判定这个四边形是正方形随后可以再做一组推断题，进行练习巩固（参看随堂练习1），为了活跃学生的思维，也可以将推断题改为下列问题让学生思索：对角线相等的菱形是正方形吗？为什么？对角线相互垂直的矩形是正方形吗？为什么？对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？假如不是，应当加上什么条件？能说“四条
13、边都相等的四边形是正方形”吗？为什么？说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？ 四、课堂引入1做一做：用一张长方形的纸片（如图所示）折出一个正方形学生在动手做中对正方形产生感性相识，并感知正方形与矩形的关系问题：什么样的四边形是正方形？正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两层意：（1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）（2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）2【问题】正方形有什么性质？由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形所以，正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性
14、质 五、例习题分析例1（教材P111的例4）求证：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形已知：四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交于点O（如图）求证：ABO、BCO、CDO、DAO是全等的等腰直角三角形证明：四边形ABCD是正方形，AC=BD，ACBD，AO=CO=BO=DO（正方形的两条对角线相等，并且相互垂直平分）ABO、BCO、CDO、DAO都是等腰直角三角形，并且ABOBCOCDODAO 例2（补充）已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DGAE于G，DG交OA于F求证：OE=OF分析：要证明OE=OF，只需证明AEODFO，由于正方
15、形的对角线垂直平分且相等，可以得到AOE=DOF=90，AO=DO，再由同角或等角的余角相等可以得到EAO=FDO，依据ASA可以得到这两个三角形全等，故结论可得证明：四边形ABCD是正方形，AOE=DOF=90，AO=DO（正方形的对角线垂直平分且相等）又DGAE，EAO+AEO=EDG+AEO=90EAO=FDOAEODFOOE=OF 例3（补充）已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1l2，作BMl1于M，DNl1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点求证：四边形PQMN是正方形分析：由已知可以证出四边形PQMN是矩形，再证ABMDAN，证出AM=DN，用同样的方法
16、证AN=DP即可证出MN=NP从而得出结论证明：PNl1，QMl1，PNQM，PNM=90PQNM，四边形PQMN是矩形四边形ABCD是正方形BAD=ADC=90，AB=AD=DC（正方形的四条边都相等，四个角都是直角）1+2=90又3+2=90，1=3ABMDANAM=DN同理AN=DPAM+AN=DN+DP即MN=PN四边形PQMN是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形） 六、随堂练习1正方形的四条边_，四个角_，两条对角线_2下列说法是否正确，并说明理由对角线相等的菱形是正方形；（）对角线相互垂直的矩形是正方形；（）对角线垂直且相等的四边形是正方形；（）四条边都相等的四边形是正方形；（）
17、四个角相等的四边形是正方形（） 1已知：如图，四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD、CB延长线上的点，且DEBF求证：AFEAEF 4如图，E为正方形ABCD内一点，且EBC是等边三角形，求EAD与ECD的度数 七、课后练习1已知：如图，点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，且DE=BF求证：EAAF 2已知：如图，ABC中，C=90，CD平分ACB，DEBC于E，DFAC于F求证：四边形CFDE是正方形 3已知：如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，AF平分DAE交CD于F，求证：AE=BE+DF 第11页 共11页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页第 11 页 共 11 页