《2009年高考天津数学(理科)试题及参考答案133608.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2009年高考天津数学(理科)试题及参考答案133608.pdf(14页珍藏版)》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!2009 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(理工农医类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。(1)i 是虚数单位,52ii=(A)1+2i (B)-1-2i (C)1-2i (D)-1+2i【考点定位】本小考查复数的运算,基础题。解析:iiiii215)2(525,故选择D。(2)设变量x,y 满足约束条件:3123xyxyxy.则目标函数23zxy的最小值为(A)6 (B)7 (C)8 (D)23【考点定位】本小考查简单的线性规划,基础题。解析:画出不等式
2、3123xyxyxy 表示的可行域,如右图,让目标函数表示直线332zxy在可行域上平移,知在点B 自目标函数取到最小值,解方程组323yxyx得)1,2(,所以734minz,故选择B。(3)命题“存在0 x R,02x0”的否定是(A)不存在0 x R,02x0 (B)存在0 x R,02x0 (C)对任意的xR,2x0 (D)对任意的x R,2x0【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。解析:由题否定即“不存在Rx 0,使020 x”,故选择D。(4)设函数1()ln(0),3f xxx x则()yf x 8642-2-4-15-10-55102x-y=3x-y=1x+y=3q x
3、=-2x3+7h x =2x-3g x =x+1f x =-x+3AB欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!A.在区间1(,1),(1,)ee内均有零点。B.在区间1(,1),(1,)ee内均无零点。C.在区间1(,1)e内有零点,在区间(1,)e内无零点。D.在区间1(,1)e内无零点,在区间(1,)e内有零点。【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。解析:由题得xxxxf33131)(,令0)(xf得3x;令0)(xf得30 x;0)(xf得3x,故知函数)(xf在区间)3,0(上为减函数,在区间),3(为增函数,在点3x处有极小
4、值03ln1;又 0131)1(,013,31)1(eefeeff,故选择D。(5)阅读右图的程序框图,则输出的S=A.26 B.35 C.40 D.57【考点定位】本小考查框架图运算,基础题。解:当1i时,2,2ST;当2i时,7,5ST;当3i时,15,8ST;当4i时,26,11ST;当5i时,40,14ST;当6i时,57,17ST,故选择C。(6)设0,0.ab若11333abab是与的等比中项,则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。【解析】因为333ba,所以1 ba,4222)11)(
5、11baabbaabbababa,当且仅当baab即21 ba时“=”成立,故选择C 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!(7)已知函数()sin()(,0)4f xxxR的最小正周期为,为了得到函数 ()cosg xx的图象,只要将()yf x的图象 A.向左平移8个单位长度 B.向右平移8个单位长度 C.向左平移4个单位长度 D.向右平移4个单位长度【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。解析:由题知2,所以)8(2cos)42cos()42(2cos)42sin()(xxxxxf,故选择A。(8)已知函数224
6、,0()4,0 xx xf xxxx若2(2)(),faf a则实数a的取值范围是 A(,1)(2,)B(1,2)C(2,1)D(,2)(1,)【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。解析:由题知)(xf在R上是增函数,由题得aa22,解得12a,故选择C。(9)设抛物线22yx的焦点为F,过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B 两点,与抛物线的准线相交于C,BF=2,则BCF 与ACF 的面积之比BCFACFSS=(A)45 (B)23 (C)47 (D)12【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系,和综合运算数学的能力,中档题。解析:由
7、题知12122121ABABACFBCFxxxxACBCSS,又323221|BBByxxBF 由A、B、M 三点共线有BMBMAMAMxxyyxxyy即23330320AAxx,故2Ax,642-2-4-6-10-55x=-0.5F:(0.51,0.00)h x =-2x+3g y =-12f y =y22ABFC欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!5414131212ABACFBCFxxSS,故选择A。(10)ab10,若关于x 的不等式2()xb2()ax的解集中的整数恰有3 个,则(A)01a (B)10 a (C)31 a
8、 (D)63 a【考点定位】本小题考查解一元二次不等式,解析:由题得不等式2()xb2()ax即02)1(222bbxxa,它的解应在两根之间,故有04)1(4422222baabb,不等式的解集为11abxab或110abxab。若 不 等 式 的 解 集 为11abxab,又 由ab10得110ab,故213ab,即312ab 二、填空题:(6 小题,每题4 分,共24 分)(11)某学院的A,B,C 三个专业共有1200 名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120 的样本。已知该学院的A 专业有380 名学生,B 专业有420 名学生,则在该学院的C
9、 专业应抽取_名学生。【考点定位】本小题考查分层抽样,基础题。解析:C 专业的学生有4004203801200,由分层抽样原理,应抽取401200400120名。(12)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是3 3,则a_【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积,基础题。解析:知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为a的等腰三角形,所以有333322aa。欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!(13)设直线1l的参数方程为11 3xtyt (t 为参数),直线2l的方程为y=3x+4 则1l与2l的距离为_【考点
10、定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。解析:由题直线1l的普通方程为023 yx,故它与与2l的距离为510310|24|。(14)若 圆224xy与 圆22260 xyay(a0)的 公 共 弦 的 长 为2 3,则a_。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系,基础题。解析:由知22260 xyay的半径为26a,由图可知222)3()1(6aa解之得1a(15)在四边形ABCD 中,AB=DC=(1,1),113B AB CB DB AB CB D,则四边形ABCD 的面积是 【考点定位】本小题考查向量的几何运算,基础题。解析:由题知四边形ABCD 是菱形,其边
11、长为2,且对角线BD 等于边长的3倍,所以21222622cosABD,故23sinABD,323)2(2SABCD。(16)用数字0,1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)【考点定位】本小题考查排列实际问题,基础题。解析:个位、十位和百位上的数字为3 个偶数的有:901333143323CACAC种;个位、十位和百位上的数字为1 个偶数2 个奇数的有:23413332313143323CACCCAC种,所以共有32423490个。三、解答题:本大题共6 小题,共76 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(
12、17)(本小题满分12 分)在ABC 中,BC=5,AC=3,sinC=2sinA 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!()求 AB 的值;()求 sin24A的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分12 分。()解:在ABC 中,根据正弦定理,sinsinABBCCA 于是sin22 5sinCABBCBCA()解:在ABC 中,根据余弦定理,得2222 5cos25ABACBDAABAC 于是25sin1 cos5AA 从而2243sin
13、22sincos,cos2cossin55AAAAAA 所以2sin(2)sin2 coscos2 sin44410AAA(18)(本小题满分12 分)在 10 件产品中,有 3 件一等品,4 件二等品,3 件三等品。从这10 件产品中任取3 件,求:()取出的3 件产品中一等品件数X 的分布列和数学期望;()取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。本小题主要考查古典概型及计算公式、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分。()解:由于从10 件产品中任取3 件的结果为3kC,从10 件产品中任取3 件,其中恰有k 件一等
14、品的结果数为337kkC C,那么从10 件产品中任取3 件,其中恰有k 件一等品的概率为337310(),0,1,2,3kkP XkkC CC 所以随机变量X 的分布列是 X 0 1 2 3 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!P 724 2140 740 1120 X 的数学期望721719012324404012010EX ()解:设“取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1 件一等品和2 件三等品”为事件A1“恰好取出2 件一等品“为事件A2,”恰好取出3 件一等品”为事件A3由于事件A1,A2,A
15、3彼此互斥,且A=A1 A2 A3而 1233123310371(),()(2),()(3)4040120P AP AP XP AP XC CC,所以取出的3 件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 12337131()()()()4040120120P AP AP AP A+407+1201=12031(19)(本小题满分12分)如图,在五面体ABCDEF中,FA 平面ABCD,AD/BC/FE,ABAD,M 为 EC 的中点,AF=AB=BC=FE=12AD ()求异面直线BF 与 DE 所成的角的大小;()证明平面AMD平面CDE;()求二面角A-CD-E 的余弦值。本小题要考查异面直
16、线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12 分.方法一:()解:由题设知,BF/CE,所以CED(或其补角)为异面直线BF 与 DE 所成的角。设P 为 AD 的中点,连结EP,PC。因为FE/AP,所以FA/EP,同理AB/PC。又FA平面ABCD,所以EP平面ABCD。而PC,AD 都在平面ABCD 内,故EP PC,EP AD。由AB AD,可得PC AD 设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=a2,故CED=60。所以异面直线BF 与 DE 所成的角的大小为60 ()证明:因为D
17、CDE且M为CE的中点,所以DMCE,连接MP,则M PC E,又MPDMM,故CE 平面AMD,而CE 平面CDE,所以平面AMD 平面CDE 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!()因为,所以因为,的中点,连结为解:设.CDEQDECE.EQPQCDQ.ECDAEQPCDPQPDPC的平面角为二面角,故,所以 由()可得,.2226EQaPQaPQEP,于是在Rt EPQ中,3cos3PQEQPEQ,所以二面角ACDE的余弦值为33 方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点。设,1AB依题意得,001B,011C,0
18、20D,110E,100F.21121M,()解:101BF ,011DE,于是00 11cos.222BF DEBF DEBF DE,所以异面直线BF与DE所成的角的大小为060.()证明:由11122AM,101CE ,0 2 0AD,可得0CEAM,0CE AD,因此,CEAMCEAD,又CEAMDAMADA,故平面.CDEAMDCDECE平面,所以平面平面而()解:设平面CDE的发向量为0()D0.u CEuxyzuE,则 于是01(111.0.xzxuyz ,令,可得,)又由题设,平面ACD的一个法向量为).100(,v 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系
19、删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!.3313100cosvuvuvu,所以,因为二面角ACDE为锐角,所以其余弦值为33(20)(本小题满分12 分)已知函数22()(23)(),xf xxaxaa exR其中aR()当0a 时,求曲线()(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率;()当23a 时,求函数()f x的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12 分。()解:.3)1()2()()(022efexxxfexxfaxx,故,时,当 所以曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线的斜率
20、为3e()解:22()(2)24xfxxaxaa e 令2()022.22.3fxxaxaaaa,解得,或由知,以下分两种情况讨论。(1)a若32,则a22a.当x变化时,)()(xfxf,的变化情况如下表:x a2,a2 22aa,2a ,2a +0 0+极大值 极小值 所以()f x在(2)(2)aa,内事增函数,在(22)aa,内是减函数。函数()f x在2xa 处取得极大值2(2)(2)3afafaae,且 函数()f x在2xa处取得极小值2(2)(2)(43).af af aa e,且(2)a若32,则a22a,当x变化时,)()(xfxf,的变化情况如下表:x 2a,2a aa2
21、2 ,a2,a2 +0 0+欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!极大值 极小值 所以()f x在(2)(2)aa,内是增函数,在(22)aa,内是减函数。函数()f x在2xa处取得极大值2(2)(2)(43)af af aa e,且 函数()f x在2xa 处取得极小值2(2)(2)3afafaae,且(21)(本小题满分14 分)已知椭圆22221(0)xyabab的两个焦点分别为12(,0)(,0)(0)FcF cc和,过点2(,0)aEc的直线与椭圆相交与,A B两点,且1212/,2F AF B F AF B。()求椭圆的
22、离心率;()求直线AB 的斜率;()设点C与点A关于坐标原点对称,直线2F B上有一点(,)(0)H m n m 在1AFC的外接圆上,求nm的值 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分14 分 ()解:由1FA/2F B且12FA2 F B,得2211EFF B1EFFA2,从而22a1a2cccc 整理,得223ac,故离心率33cea()解:由()得22222bacc,所以椭圆的方程可写为222236xyc 设直线AB 的方程为2ayk xc,即(3)yk xc 由已知设112
23、2(,),(,)A x yB xy,则它们的坐标满足方程组222(3)236yk xcxyc 消去y 整理,得222222(23)182760kxk cxk cc.依题意,223348(1 3)033ckk,得 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!而 21221823k cxxk 2212227623ck ccx xk 由题设知,点B 为线段AE 的中点,所以 1232xcx 联立解得2129223k ccxk,2229223k ccxk 将12,x x代入中,解得23k .()解法一:由()可知1230,2cxx 当23k 时,得
24、(0,2)Ac,由已知得(0,2)Cc.线段1AF的垂直平分线l 的方程为22222cycx,直线l与x 轴的交点,02c是1AFC外接圆的圆心,因此外接圆的方程为222x22ccyc.直线2F B的方程为2()yxc,于是点H(m,n)的坐标满足方程组 2229242()ccmnnmc ,由0,m 解得532 23mcnc故2 25nm 当23k 时,同理可得2 25nm 解法二:由()可知1230,2cxx 当23k 时,得(0,2)Ac,由已知得(0,2)Cc 由椭圆的对称性可知B,2F,C 三点共线,因为点H(m,n)在1AFC的外接圆上,欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理
25、,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!且12/F AF B,所以四边形1AFCH为等腰梯形.由直线2F B的方程为2()yxc,知点H 的坐标为(,22)mmc.因为1AHCF,所以222(222)mmcca,解得m=c(舍),或53mc.则2 23nc,所以2 25nm 当23k 时,同理可得n2 25m (22)(本小题满分14 分)已知等差数列na的公差为d(d0),等比数列nb的公比为q(q1)。设1 12 2.nnnSaba ba b,nT=1 1a b-2 2a b+.+(-11)n nna b,nN()若1a=1b=1,d=2,q=3,求 3S 的值;()若1b=1
26、,证明(1-q)2*2222(1)(1)(1),1nnndqqq Sq TnNq()若正整数n 满足2nq,设1212,.,.,12.nnk kkl ll和是,n的两个不同的排列,12112.nkkknca ba ba b,12212.nlllnca ba ba b 证明12cc。本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n 项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分14 分。()解:由题设,可得1*21,3,nnnanbnN 所以,31 12 23 31 1 3 35 955Saba ba b ()证明:由题设可得1nnbq则 2212
27、1232.,nnnSaa qa qa q 2321212342.,nnnTaa qa qa qa q 式减去式,得 321222422(.)nnnnSTa qa qa q 式加上式,得 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!2222213212(.)nnnnSTaa qaq 式两边同乘q,得 321221321()2(.)nnnnq STa qa qaq 所以,222222(1)(1)()()nnnnnnq Sq TSTq ST 3212*22()2(1),1nnd qqqdqqnNqK()证明:11221212()()()nnklk
28、lklnccaa baabaabK 11112211()()()nnnkl dbkl db qkl db qK 因为10,0,db所以 11211221()()()nnnccklkl qkl qdbK(1)若nnkl,取i=n(2)若nnkl,取i 满足iikl且,1jjkl ijn 由(1),(2)及题设知,1in 且 21121122111()()()()iiiiiiccklkl qklqkl qdbK 当iikl时,得1,1,1,2,3.1iiiiklqnklqii 由,得 即111klq,22()(1)kl qq q,2211()(1)iiiiklqqq 又11(),iiiikl qq 所以 1211211(1)(1)(1)(1)1iiiccqqqqqqqqdbqK 因此12120,cccc即 当iikl同理可得1211ccdb,因此12cc 欢迎您阅读并下载本文档,本文档来源于互联网整理,如有侵权请联系删除!我们将竭诚为您提供优质的文档!综上,12cc