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1、圆知识点一、圆的定义及有关概念1、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。2、有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。圆上任意两点间的局部叫做圆弧，简称弧。连接圆上任意两点间的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。在同圆或等圆中，能够重合的两条弧叫做等弧。例 P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，那么经过P点的最短弦长为_；最长弦长为_解题思路：圆内最长的弦是直径，最短的弦是和OP垂直的弦，答案：知识点二、平面内点和圆的位置关系平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内当点在圆外时，dr；反过来，当dr
2、时，点在圆外。当点在圆上时，dr；反过来，当dr时，点在圆上。当点在圆内时，dr；反过来，当dr时，点在圆内。例 如图，在中，直角边，点，分别是，的中点，以点为圆心，的长为半径画圆，那么点在圆A的_，点在圆A的_解题思路：利用点与圆的位置关系，练习：在直角坐标平面内，圆的半径为5，圆心的坐标为试判断点与圆的位置关系答案：知识点三、圆的根本性质1圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。垂径定理的推论：平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆心角定理：在同圆或
3、等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。例1 如图，在半径为5cm的O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，那么弦AB的长是 A4cm B6cm C8cm D10cm例2、如图，A、B、C是O上的三点，BAC=30，那么BOC的大小是( )A、60 B、45 C、30 D、15例如图，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关
4、系？为什么？ 知识点四、圆与三角形的关系1、不在同一条直线上的三个点确定一个圆。2、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。3、三角形的外心：三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。4、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。5、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。例1 如图，通过防治“非典，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图2449所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址例2 如图，点O是ABC的
5、内切圆的圆心，假设BAC=80，那么BOC= A130 B100 C50 D65例3 如图，RtABC，C=90，AC=3cm，BC=4cm，那么它的外心与顶点C的距离为 A5 cm B2.5cm C3cm D4cm解题思路：直角三角形外心的位置是( ) 知识点五、直线和圆的位置关系：相交、相切、相离当直线和圆相交时，dr；反过来，当dr时，直线和圆相交。当直线和圆相切时，dr；反过来，当dr时，直线和圆相切。当直线和圆相离时，dr；反过来，当dr时，直线和圆相离。切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的直径切线的判定定理：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线。切线长：在经过圆外一
6、点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和圆外这点的连线平分两条切线的夹角。例2如图，AB为O的直径，C是O上一点，D在AB的延长线上，且DCB=A1CD与O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由2假设CD与O相切，且D=30，BD=10，求O的半径知识点六、圆与圆的位置关系重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用外离：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的外部相离：内含：两圆没有公共点，一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相切：外切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点
7、都在另一个圆的外部内切：两圆只有一个公共点，除公共点外一个圆上所有的点都在另一个圆的内部相交：两圆只有两个公共点。设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距两圆圆心的距离为d，那么有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系 外离dr1+r2 外切d=r1+r2 相交r1r2dr1+r2 内切d=r1r2 内含0dr1r2其中d=0，两圆同心例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图2示点O，O是圆心，分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求TPN的大小 (2)例2如图1所示，O的半径为7cm，点A为O外一点，OA=15cm，相切 注意分情况求：1作A与O外切，并求A的半
8、径是多少？ (1) (2)(2） 作A与O相内切，并求出此时A的半径0，04，0，例3如下图，点A坐标为0，3，OA半径为1，点B在x轴上 1假设点B坐标为4，0，B半径为3，试判断A与B位置关系；_A_y_x_O 2假设B过M2，0且与A相切，求B点坐标知识点七、弧长和扇形、圆锥侧面积面积重点：n的圆心角所对的弧长L=，扇形面积S扇=、圆锥侧面积面积及其它们的应用难点：公式的应用1n的圆心角所对的弧长L=2圆心角为n的扇形面积是S扇形= 3.全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积=例2扇形的圆心角为120，面积为300cm2 1求扇形的弧长； 2假设将此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆
9、锥的轴截面面积为多少？ 解题思路：1由S扇形=求出R，再代入L=求得2假设将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以底是直径，圆锥母线为腰的等腰三角形解：1如下图： 300= R=30 弧长L=20cm2如下图： 20=2r r=10，R=30 AD=20 S轴截面=BCAD =21020=200cm2 因此，扇形的弧长是20cm卷成圆锥的轴截面是200cm2最新考题考查目标一、主要是指圆的根底知识，包括圆的对称性，圆心角与弧、弦之间的相等关系，圆周角与圆心角之间的关系，直径所对的圆周角是直角，以及垂径定理等内容。这局部内容是圆的根底知识，学生要学会利
10、用相关知识进行简单的几何推理和几何计算例1、如图，AB是O的直径，BC是弦，ODBC于E，交于D (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)假设BC=8，ED2，求O的半径解题思路：运用圆的垂径定理等内容解：(1)不同类型的正确结论有： BE=CE ;弧BD=弧CD BED=90BOD=A;ACOD，ACBC; OE2+BE2=OB2;SABCBCOE;BOD是等腰三角形，BOEBAC; (2)ODBC， BECE=BC=4设O的半径为R，那么OE=ODDE=R2 在RtOEB中，由勾股定理得 OE2BE2=OB2，即(R2)242=R2解得R5 O的半径为5例2.：如图等边内接于O，点是劣
11、弧PC上的一点端点除外，延长至，使，连结1假设过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由2假设不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？AOCDPB图AOCDPB图解题思路：1为等边三角形 理由：为等边三角形，又在O中又 又过圆心， ， 为等边三角形 2仍为等边三角形理由：先证过程同上 又， 又 为等边三角形例3.(1)如图OA、OB是O的两条半径，且OAOB，点C是OB延长线上任意一点：过点C作CD切O于点D，连结AD交DC于点E求证：CD=CE (2)假设将图中的半径OB所在直线向上平行移动交OA于F，交O于B，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么?(3)假设将图中的半径
12、OB所在直线向上平行移动到O外的CF，点E是DA的延长线与CF的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE还成立吗?为什么 解题思路：此题主要考查圆的有关知识，考查图形运动变化中的探究能力及推理能力 解答：(1)证明：连结OD 那么ODCD，CDE+ODA=90 在RtAOE中，AEO+A=90 在O中，OA=ODA=ODA， CDE=AEO 又AEO=CED，CDE=CED CD=CE (2)CE=CD仍然成立 原来的半径OB所在直线向上平行移动CFAO于F， 在RtAFE中，A+AEF=90 连结OD，有ODA+CDE=90，且OA=OD A=ODA AEF=CDE 又AEF=CED CE
13、D=CDECD=CE (3)CE=CD仍然成立 原来的半径OB所在直线向上平行移动AOCF 延长OA交CF于G，在RtAEG中，AEG+GAE=90 连结OD，有CDA+ODA=90，且OA=ODADO=OAD=GAECDE=CED CD=CE考查目标二、主要是指点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系以及圆与圆的位置关系的相关内容。学生要学会用动态的观点理解和解决与圆有关的位置关系的问题。例1、是O的直径，切O于，交O于，连ABCPO假设，求的度数解题思路：运用切线的性质 .切O于是O的直径， ，例2.如图，四边形内接于O，是O的直径，垂足为，平分1求证：是O的切线；DECBOA2假设，求的长解
14、题思路：运用切线的判定1证明：连接，平分， DECBOA，是O的切线 2是直径， 平分， 在中，在中，的长是1cm，的长是4cm考查目标三、主要是指圆中的计算问题，包括弧长、扇形面积，以及圆柱与圆锥的侧面积和全面积的计算，这局部内容也是历年中考的必考内容之一。学生要理解圆柱和其侧面展开图矩形、圆锥和其侧面展开图扇形之间的关系。例1、如图，在O中，AB=，AC是O的直径，ACBD于F，A=30.(1)求图中阴影局部的面积；(2)假设用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.解题思路：1法一：过O作OEAB于E，那么AE=AB=2。 FE在RtAEO中，BAC=30，cos3
15、0=OA=4 又OA=OB，ABO=30BOC=60ACBD，COD =BOC=60BOD=120FS阴影= 法二：连结AD ACBD，AC是直径，AC垂直平分BD。 AB=AD，BF=FD，。BAD=2BAC=60，BOD=120 BF=AB=2，sin60=， AF=ABsin60=4=6。OB2=BF2+OF2即OB=4S阴影=S圆=。 法三：连结BC AC为O的直径， ABC=90。FAB=4， A=30， ACBD， BOC=60，BOD=120S阴影=OA2=42=。 以下同法一。2设圆锥的底面圆的半径为r，那么周长为2r， O。 例2.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形1求这个扇形的面积结果保存2在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 3当O的半径为任意值时，2中的结论是否仍然成立？请说明理由解题思路：1连接，由勾股定理求得： 2连接并延长，与弧和交于， 弧的长： 圆锥的底面直径为： ，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥 3由勾股定理求得： 弧的长： 圆锥的底面直径为： 且 即无论半径为何值， 不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥