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1、第13讲 立体图形一我们学过的立体图形有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。这一讲将通过长方体、正方体及其组合图形，讲解有关的计数问题。例1 左下列图中共有多少个面？多少条棱？分析与解：如右上图所示，可以分前、后、左、右、上、下六个方向看这个立体图形。前、后看各有1个面，左面看有1个面，右面看有2个面，上面看有2个面，下面看有1个面。所以共有11+1+221= 8个面。前前方向的棱有6条，左右方向的棱有6条，上下方向的棱也有6条，所以共有棱666=18条。例2 右图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的外表积。分析与解：如果一面一面去数，那么虽然可以得到答案，但太麻烦，而且容易出错。仔细
2、观察会发现，这个立体的上面与下面、左面与右面、前面与后面的面积分别相等。如上图所示，可求得外表积为9782=48厘米2。例3 右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？分析与解：正方体只可能有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的222的正方体，有4个。所以共有正方体 224=26个。由两个小正方体组成的长方体，根据摆放的方向可分为下 图所示的上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有131314=40个。例4 有一个棱长为5厘米的正方体木块，从它的每个面看都有一
3、个穿透的完全相同的孔见下页左上图，求这个立体图形的外表积。分析与解：由于正方体中间被穿了孔，外表积不好计算。我们可以将这个立体图形看成由8个棱长为2厘米的正方体和12个棱长为1厘米的立方体粘合而成。如右上图所示，八个棱长为2厘米的正方体分别在8个顶角，12个棱长1厘米的正方体分别在12条棱的中间。由于每个小正方体都有2个面分别粘接两个较大正方体，相对于不粘接，减少了外表积4厘米2 ，所以总的外表积为226811612-412=216厘米2。例5 右图是由120块小立方体构成的456的立方体，如果将其外表涂成红色，那么其中一面、二面三面被涂成红色的小立方体各有多少块？分析与解：一个长方体有8个角
4、、12条棱、6个面，角上的8个小立方体三面涂有红色，在棱上而不在角上的小立方体两面涂有红色，在面上而不在棱上的小立方体一面涂有红色，不在面上的小立方体没有涂上红色。根据上面的分析得到：三面涂有红色的小立方体有8块；两面涂有红色的小立方体，因为每条棱上要去掉两头的2块，故有4-25-2+6-24=36块；一面涂有红色的小立方体，因为每个面上要去掉周围一圈的小立方体，故有4-25-24-26-25-26-22 52块。一般地，当a，b，c都不小于2时，对于abc的立方体：三面涂有红色的小立方体有8块；两面涂有红色的小立方体的块数是：a-2b-2c-24；一面涂有红色的小立方体的块数是：a-2b-2
5、a-2c-2b-2c-22；没有被涂上红色的小立方体的块数是：a-2b-2c-2。例6 给一个立方体的每个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色中的一种，每种颜色涂两个面，共有多少种不同涂法？两种涂法，经过翻动能使各种颜色的位置相同，认为是相同的涂法。分析与解：根据两个红色面相对还是相邻可分为两情况。1两个红色面相对。此时，有蓝蓝相对和蓝蓝相邻两种涂法。2两个红色面相邻。此时，除蓝蓝相对和黄黄相对两种涂法外，当蓝黄相对时，按右图摆放，底面有蓝或黄两种涂法。所以共有6种不同涂法。 练习131.下页左上图中共有多少个面？多少条棱？1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的外表涂成红色。求被涂成红色
6、的外表积。3.有一个正方体，红、黄、蓝色的面各有两面。在这个正方体中，有一些顶点是三种颜色都不同的面的交点，这种顶点最多有几个？最少有几个？1厘米3 的小正方体，其中一点红色都没有的小立方体只有3块。求原来长方体的体积。5.将一个555的立方体外表全部涂上红色，再将其分割成111的小立方体，取出全部至少有一个面是红色的小立方体，组成外表全部是红色的长方体。那么，可组成的长方体的体积最大是多少？6.在边长为3分米的立方体木块的每个面的中心打一个直穿木块的洞，洞口呈边长为1分米的正方形见左下列图。求挖洞后木块的体积及外表积。7.把正方体的六个外表都划分成9个相等的正方形右上图。用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？