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1、第六章 数列专题3 数列的综合问题【三年高考】1【2021高考江苏20】记，对数列和的子集，假设，定义；假设，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.1求数列的通项公式；2对任意正整数，假设，求证：；3设，求证：.2【2021江苏，理20】设数列的前项和为.假设对任意的正整数，总存在正整数，使得，那么称是“数列.1假设数列的前项和为，证明：是“数列.2设是等差数列，其首项，公差，假设是“数列，求的值；3证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列 和，使得成立.3. 【2021江苏，理19】设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和记，nN*，其中c为实数(1)假
2、设c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2)假设bn是等差数列，证明：c0.4【2021高考新课标2理数】为等差数列的前项和，且记，其中表示不超过的最大整数，如求；求数列的前1 000项和5【2021高考山东理数】数列 的前n项和Sn=3n2+8n，是等差数列，且 求数列的通项公式；令 求数列的前n项和Tn.6【2021高考天津理数】是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等差中项.()设，求证：是等差数列；()设 ，求证：7【2021高考浙江理数】设数列满足，I证明：，；II假设，证明：，8【2021年高考北京理数】本小题13分 设数列A： ， ,
3、 ().如果对小于()的每个正整数都有 ，那么称是数列A的一个“G时刻.记“是数列A的所有“G时刻组成的集合.1对数列A：-2，2，-1，1，3，写出的所有元素；2证明：假设数列A中存在使得，那么 ；3证明：假设数列A满足- 1n=2,3, ,N,那么的元素个数不小于 -.9【2021高考上海文科】此题总分值16分此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分.对于无穷数列与，记A=|=，B=|=，假设同时满足条件：，均单调递增；且，那么称与是无穷互补数列.1假设=，=，判断与是否为无穷互补数列，并说明理由；2假设=且与是无穷互补数列，求数列的前16项的和；3假设
4、与是无穷互补数列，为等差数列且=36，求与得通项公式.10.【2021高考福建，理8】假设 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，那么 的值等于_.11.【2021高考浙江，理20】数列满足=且=-1证明：1；2设数列的前项和为，证明.12.【2021高考安徽，理18】设，是曲线在点处的切线与x轴交点的横坐标.求数列的通项公式；记，证明.13.【2021高考上海，理22】数列与满足，.1假设，且，求数列的通项公式；2设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；3设，求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.14.【2021高考陕西，理21】设
5、是等比数列，的各项和，其中，I证明：函数在内有且仅有一个零点记为，且；II设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为，比拟与的大小，并加以证明15【2021高考大纲理第18题】等差数列的前n项和为，为整数，且.I求的通项公式；II设，求数列的前n项和.16【2021高考湖北理第18题】等差数列满足：，且、成等比数列.1求数列的通项公式.2记为数列的前项和，是否存在正整数，使得假设存在，求的最小值；假设不存在，说明理由.17【2021高考上海理科第23题】数列满足.（1） 假设，求的取值范围；（2） 假设是公比为等比数列，求的取值范围；（3） 假设成等差数列，且，求正
6、整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.18【2021高考重庆理科第22题】设假设，求及数列的通项公式；假设，问：是否存在实数使得对所有成立？证明你的结论.【2021年高考命题预测】纵观2021各地高考试题，等差数列与等比数列的综合，数列与应用问题的结合，数列与函数、方程、不等式、向量、平面解析几何、向量、三角函数的有机结合，互相渗透，已经成为近年来高考的热点和重点，成为高考题的美丽的风景线对等差数列与等比数列的综合考察“巧用性质、减少运算量在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“根本量法并树立“目 标意识“需要什么，就求什么 ， 既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得
7、与“巧用性质解题相同的效果对数列与应用问题的结合的考察，主要是将实际应用问题转化为数列模型，关键是要熟悉等差数列模型、等比数列模型，以及注意项与项之间的递推关系数列与函数、方程、不等式的结合，此类问题抓住一个中心-函数,一是数列和函数的密切联系，数列的通项公式是数列的核心，函数的解析式是研究函数问题的根底；二是方程、不等式与函数的联系，注意利用它们的对应关系解题数列与其他知识的结合，主要是通过三角函数或者解析几何或者向量中包含的等量关系，得出数列的递推公式或者通项公式，进而利用数列知识求解数列问题是每年必考题目，预测2021年会继续考查，以等差数列和等比数列的综合应用题为主，要灵活掌握等差数列
8、和等比数列的性质【2021年高考考点定位】高考对数列综合应用问题的考查有四种主要形式：一是等差、等比的综合应用；二是等差、等比数列在实际中的应用；三是数列与函数、方程、不等式等其他知识的交汇考察【考点1】等差数列、等比数列的综合应用【备考知识梳理】1等差数列的判定：为常数；为常数；为常数其中用来证明方法的有2.等比数列的判定：；其中用来证明方法的有3等差数列的通项公式：，2等比数列的通项公式：， 4等差数列前n项和公式：Sn= Sn=5.等比数列前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q1时，Sn= Sn=6等差数列an中，假设m+n=p+q，那么7等比数列an中，
9、假设m+n=p+q，那么8等差数列an的任意连续m项的和构成的数列、仍为等差数列9等比数列an的任意连续m项的和构成的数列仍为等比数列当m为偶数且公比为-1的情况除外10两个等差数列an与bn的和差的数列an+bn、an-bn仍为等差数列11两个等比数列an与bn的积、商、倒数的数列anbn、仍为等比数列12.等差数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列13等比数列an的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列14等差中项公式：A= 有唯一的值15. 等比中项公式：G= ab0，有两个值【规律方法技巧】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系如果同一数列中局部项成等差数列，
10、局部项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解【考点针对训练】1. 【江苏省苏锡常镇四市2021届高三教学情况调研二数学试题】设公差为为奇数，且的等差数列的前项和为，假设，其中，且，那么 2.设数列的前n项和为，且，1求数列的通项公式；2假设数列为等差数列，且，公差为，当时，比拟与的大小【考点2】等差数列、等比数列的实际应用【备考知识梳理】解数列应用题的建模思路从实际出发，通过抽象概括建立数学模型，通过对模型的解析，再返回实际中去，其思路框图为：【规律方法技巧】1.等差、等比数
11、列的应用题常见于：产量增减、价格升降、细胞繁殖等问题，求利率、增长率等问题也常归结为数列建模问题.2.将实际问题转化为数列问题时应注意：1分清是等差数列还是等比数列；2分清是求an还是求Sn，特别要准确地确定项数n.【考点针对训练】1. 某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一倍，并且每年年底固定给股东们分红500万元该企业2021年年底分红后的资金为1 000万元(1)求该企业2021年年底分红后的资金；(2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过32 500万元2某工厂为扩大生产规模,今年年初新购置了一条高性能的生产线,该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加,第一年的维护费用是4
12、万元,从第二年到第七年,每年的维护费用均比上年增加2万元,从第八年开始,每年的维护费用比上年增加25%(1)设第年该生产线的维护费用为,求的表达式;(2)假设该生产线前年每年的平均维护费用大于12万元时,需要更新生产线,求该生产线前年每年的平均维护费用,并判断第几年年初需要更新该生产线?【考点3】数列与其他知识的交汇【备考知识梳理】数列在高考中多与函数、不等式、解析几何、向量交汇命题，近年由于对数列要求降低，但仍有一些省份在考查数列与其他知识的交汇.归纳起来常见的命题角度有：(1)数列与不等式的交汇；(2)数列与函数的交汇；(3)数列与解析几何的交汇.【规律方法技巧】1解决数列与不等式的综合问
13、题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比拟法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法、穿根法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了2解决数列与函数、方程、三角函数、向量等知识结合的问题时，要通过其他知识，把问题转化为数列项的递推式或通项公式转化为数列问题处理【考点针对训练】1. 【江苏省苏锡常镇四市2021届高三教学情况调研二数学试题】数列的前项和为，且对任意的正整数，都有，其中常数设 1假设，求数列的通项公式；2假设且，设，证明数列是等比数列；3假设对任意的正整数，都有，求实数的取值范围的前项和为，向量
14、,满足条件,且求数列的通项公式；设函数，数列满足条件，求数列的通项公式；设，求数列的前和【两年模拟详解析】1. 【盐城市2021届高三年级第三次模拟考试】假设数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，那么得到一个新数列例如，假设数列是，那么数列是. 现数列是等比数列，且，那么数列中满足的正整数的个数为 .2【南通市2021届高三下学期第三次调研考试数学试题】设数列满足，那么的值为 .3【江苏省扬州中学20212021学年第二学期质量检测】两个无穷数列分别满足，其中，设数列的前项和分别为，1假设数列都为递增数列，求数列的通项公式；2假设数列满足：存在唯一的正整数，使得，称数
15、列为“坠点数列假设数列为“5坠点数列，求；假设数列为“坠点数列，数列为“坠点数列，是否存在正整数，使得，假设存在，求的最大值；假设不存在，说明理由.4【江苏省苏中三市2021届高三第二次调研测试数学试题】设数列的各项均为正数，的前项和，1求证：数列为等差数列；2等比数列的各项均为正数，且存在整数，使得i求数列公比的最小值用表示；ii当时，求数列的通项公式5【南京市、盐城市2021届高三年级第二次模拟考试】(本小题总分值16分)数列an的前n项和为Sn，且对任意正整数n都有an(1)nSn pn(p为常数，p0)1求p的值；2求数列an的通项公式；3设集合Ana2n1，a2n，且bn，cnAn，
16、记数列nbn，ncn的前n项和分别为Pn，Qn假设b1c1，求证：对任意nN*，PnQn6【江苏省扬州中学2021届高三4月质量监测】数列an满足a10，a22，且对任意m、nN*，都有a2m1a2n12amn12(mn)21求a3，a5；2设bna2n1a2n1 (nN*)，证明：bn是等差数列；3设cn(an+1an)qn1 (q0，nN*)，求数列cn的前n项和Sn.7【江苏省南京市2021届高三年级第三次学情调研适应性测试数学】数列an，bn满足：bnan1annN*1假设a11，bnn，求数列an的通项公式；2假设bn1bn1bnn2，且b11，b22记cna6n1n1，求证：数列c
17、n为等差数列；假设数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次，求首项a1应满足的条件8【南京市2021届高三年级第三次模拟考试】数列an的前n项的和为Sn，记bn 1假设an是首项为a，公差为d的等差数列，其中a，d均为正数 当3b1，2b2，b3成等差数列时，求的值； 求证：存在唯一的正整数n，使得an+1bnan+2 2设数列an是公比为q(q2)的等比数列，假设存在r，t(r，tN*，rt)使得求q的值9【江苏省苏北三市2021届高三最后一次模拟考试】在数列中，.1求数列的通项公式；2求满足的正整数的值；3设数列的前项和为，问是否存在正整数，使得？假设存在，求出所有的正整数对；假设不
18、存在，请说明理由.10【南通市2021届高三下学期第三次调研考试数学试题】本小题总分值16分数列，均为各项都不相等的数列，为的前项和，.1假设，求的值；2假设是公比为的等比数列，求证：存在实数，使得为等比数列；3假设的各项都不为零，是公差为的等差数列，求证：成等差数列的充要条件是.11【盐城市2021届高三年级第三次模拟考试】数列满足，其前项和为.1当与满足什么关系时，对任意的，数列都满足？2对任意实数，是否存在实数与，使得与是同一个等比数列？假设存在，请求出满足的条件；假设不存在，请说明理由；3当时，假设对任意的，都有，求实数的最大值.11【盐城市2021届高三年级第三次模拟考试】设是等差数
19、列的前项和，假设数列满足且，那么的最小值为 12【盐城市2021届高三年级第三次模拟考试】设函数其中，且存在无穷数列，使得函数在其定义域内还可以表示为.1求用表示；2当时，令，设数列的前项和为，求证：；3假设数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式.13【江苏省扬州中学2021届高三4月双周测】设数列的通项公式为，数列定义如下：对于正整数，是使得不等式成立的所有中的最小值.1假设，求;2假设，求数列的前项和公式;3是否存在和，使得？如果存在，求和的取值范围？如果不存在，请说明理由.14【2021年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】设各项均为正整数的无穷等差数列an，满足a54=2021
20、，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，那么公差d的所有可能取值之和为 15【江苏省淮安市2021届高三第五次模拟考试】在数列，中，且，成等差数列，也成等差数列1求证：是等比数列；2设是不超过100的正整数，求使成立的所有数对16【淮安市淮海中学2021届高三冲刺四统测模拟测试】数列的奇数项是首项为的等差数列，偶数项是首项为的等比数列，数列前项和为，且满足.()求数列的通项公式；假设，求正整数的值；是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？假设存在，求出所有满足条件的值，假设不存在，说明理由.17【2021年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(3)】假设数列满足，存在常数与无关，使.那
21、么称数列是“和谐数列.1设为等比数列的前项和，且，求证：数列是“和谐数列；2设是各项为正数，公比为q的等比数列，是的前项和，求证：数列是“和谐数列的充要条件为.18【2021年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】数列是等差数列，是等比数列，且满足， 1假设， 当时，求数列和的通项公式； 假设数列是唯一的，求的值； 2假设，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值19【泰州市2021届高三第三次调研测试】数列an，bn中，a1=1，nN*，数列bn的前n项和为Sn1假设，求Sn；2是否存在等比数列an，使对任意nN*恒成立？假设存在，求出所有满足条件的数列an的通项公式；假设不存在，
22、说明理由；3假设a1a2an，求证：0Sn220【2021年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(2)】数列an满足a1a(a0，aN*)，a1a2anpan10(p0，p1，nN*)(1)求数列an的通项公式an；(2)假设对每一个正整数k，假设将ak1，ak2，ak3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为dk.求p的值及对应的数列dk记Sk为数列dk的前k项和，问是否存在a，使得Sk30对任意正整数k恒成立？假设存在，求出a的最大值；假设不存在，请说明理由【一年原创真预测】1. 数列的前项和为，且点均在函数的图象上I求数列的通项公式；II求证：，是各项均为正数的等差数列，其中，且成等比数列；数列的前项和为，满足I求数列，的通项公式；II如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，假设存在，求出的最小值，假设不存在，说明理由单调递增，且 ，都在函数的图象上.求数列的通项公式和前项和为；设，求数列的前项和.