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1、四星高中使用2013/2014学年度第二学期高二年级期终考试数 学 试 题【试卷综评】本试卷无论是试题的类型，还是试题的表达方式，都可以看出出题者的别具匠心。试卷从检测学生的学习能力入手，细致、灵活地来考查基本的数学知识。打破了学生的习惯思维，能测试学生思维的多角度性和灵活性。试卷体现了以下特点。选择现实鲜活的素材。将一些与生活实际息息相关的素材改编成有新意的试题，引发学生发现并解决实际问题。创设自主选择的平台。命题时不仅选择新的背景材料，又适当改变题目结构的程式化，为学生提供更多的自主探究的机会。感受时代跳动的脉搏。有些题目素材来源于生活实际的真实数据，让学生体会到数学在生活中的应用。一、填
2、空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1命题“，”的否定是 【知识点】命题的否定【答案解析】解析 ：解：命题“，”是特称命题,否定命题为：.故答案为：【思路点拨】由于命题是一个特称命题，故其否定是全称命题，根据特称命题的否定的格式即可.2设复数满足（为虚数单位），则的实部为 【知识点】复数代数形式的混合运算;复数的基本概念【答案解析】1解析 ：解：由，得,则的实部为1.故答案为：1【思路点拨】由，两边除以，按照复数除法运算法则化简计算3某校高一年级有400人，高二年级有600人，高三年级有500人，现要采取分层抽样的方法从全校学生中选出100名学生进行
3、问卷调查，那么抽出的样本中高二年级的学生人数为 【知识点】分层抽样的方法.【答案解析】40 解析 ：解：设从高二学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，解得 x=40，故答案为40【思路点拨】设从高二学生中抽取的人数应为x，根据分层抽样的定义和方法可得，由此求得x的值，即为所求4“”是“”的 条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选择一个填空）.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【答案解析】充分不必要解析 ：解：由，得x2或x-2即q：x2或x-2是的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【思路点拨】求出成立的条件，根据充分条件和必要条件
4、的定义进行判断5一个盒子中放有大小相同的3个白球和1个黑球，从中任取两个球，则所取的两个球不同色的概率为 【知识点】古典概型及其概率计算公式.【答案解析】解析 ：解：总个数，事件A中包含的基本事件的个数,p故答案为：【思路点拨】算出基本事件的总个数n=C42=6，再 算出事件A中包含的基本事件的个数m=C31=3，算出事件A的概率，即P（A）=即可第6题6根据如图所示的伪代码，可知输出的S的值为 【知识点】伪代码.【答案解析】21解析 ：解：由题意，第一次循环，i=3，S=23+3=9；第二次循环，i=5，S=25+3=13；第三次循环，i=7，S=27+3=17；第四次循环，i=9，S=29
5、+3=21，退出循环故答案为：21【思路点拨】第一次循环，i=3，S=23+3=9；第二次循环，i=5，S=25+3=13；第三次循环，i=7，S=27+3=17；第四次循环，i=9，S=29+3=21，退出循环，故可得结论7在平面直角坐标系中，已知中心在坐标原点的双曲线经过点，且它的右焦点与抛物线的焦点相同，则该双曲线的标准方程为 【知识点】抛物线、双曲线方程.【答案解析】解析 ：解：抛物线的焦点坐标为（2，0），则双曲线的右焦点（2，0），所以，设双曲线方程为代入点（1，0），可得，即，.双曲线的方程为.故答案为：【思路点拨】求出抛物线的焦点坐标，可得双曲线的一个顶点，设出双曲线方程，代入
6、点的坐标，即可求出双曲线的方程8已知点在不等式组所表示的平面区域内，则 的最大值为 【知识点】简单线性规划【答案解析】6解析:解：P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，如图：所以z=2x+y的经过A即的交点（2，2）时取得最大值：22+2=6故答案为：6【思路点拨】画出约束条件表示的可行域，确定目标函数经过的位置，求出最大值即可9已知，.，类比这些等式，若（均为正实数），则= 【知识点】类比推理【答案解析】41解析 ：解：观察下列等式，.，第n个应该是=则第5个等式中：a=6，b=a2-1=35,a+b=41故答案为：41【思路点拨】根据观察所给的等式，归纳出第n个式子，即可写出结果10（理
7、科学生做）已知展开式中所有项的二项式系数和为32，则其展开式中的常数项为 【知识点】二项式定理.【答案解析】解析 ：解：因为展开式中所有项的二项式系数和为：，解得，由二项式展开式整理得：，所以，故，则其展开式中的常数项为：.故答案为：.【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出，然后欲求展开式中的常数项，则令x的指数可求得结果.（文科学生做）已知平面向量满足，则向量夹角的余弦值为 【知识点】数量积表示两个向量的夹角【答案解析】解析 ：解：设向量的夹角为；因为，平方变形得：，解得：，所以.故答案为：.【思路点拨】先设出其夹角，根据已知条件整理出关于夹角的等式，解方程即可.11（理科学生做）现从8名
8、学生中选出4人去参加一项活动，若甲、乙两名同学不能同时入选，则共有 种不同的选派方案.（用数字作答）【知识点】排列组合及简单计数问题.【答案解析】55 解析 ：解：从8名学生中选出4人，共有种选法，其中甲乙同时参加的有种选法，所以从8名学生中选出4人，甲乙不同时参加的选法有70-15=55种，故答案为55【思路点拨】所有选法共有种，减去甲乙同时参加的情况种即可.（文科学生做）设函数是奇函数，则实数的值为 【知识点】奇函数的定义.【答案解析】解析 ：解：因为函数，所以，又因为函数是奇函数，所以，即，解得，故答案为：.【思路点拨】利用奇函数的定义解方程即可.12设正实数满足，则当取得最大值时，的值
9、为 【知识点】基本不等式.【答案解析】3解析 ：解：因为为正实数，且,则，所以，当且仅当时等号成立，此时=3.故答案为3.【思路点拨】把原式整理代入并判断出等号成立的条件即可.13若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 【知识点】函数的单调性；不等式恒成立问题.【答案解析】解析 ：解：因为在上单调递增，即在上恒成立，令，即在上恒成立，故，则.故答案为：.【思路点拨】先利用函数的单调性转化为不等式恒成立问题，然后求解即可.14设点为函数与图象的公共点，以为切点可作直线与两曲线都相切，则实数的最大值为 【知识点】导数的几何意义；利用导数求最大值.【答案解析】解析 ：解：设点坐标为，则有，因为以为切
10、点可作直线与两曲线都相切，所以，即或由，故，此时；所以点坐标为，代入整理得：，令，即，得，可判断当时有极大值也是最大值，故答案为：.【思路点拨】设点坐标为满足两个函数解析式成立，再借助于斜率相同可解得a，代入函数，最后利用导数求最大值即可.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）（理科学生做）设某地区型血的人数占总人口数的比为，现从中随机抽取3人. （1）求3人中恰有2人为型血的概率；（2）记型血的人数为，求的概率分布与数学期望.【知识点】n次独立重复试验恰有k次发生的概率；分布列；期望.【答案解析】（1
11、）（2）解析 ：解：（1）由题意，随机抽取一人，是型血的概率为， 2分3人中有2人为型血的概率为. 6分（2）的可能取值为0，1，2，3， 8分， ， ， 12分. 14分【思路点拨】（1）代入n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式即可；（2）根据n次独立重复试验恰有k次发生的概率的公式依次求出为0，1，2，3，时的概率，最后求出期望值.（文科学生做）设函数，记不等式的解集为.（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围.【知识点】一元二次不等式的解法；集合间的关系.【答案解析】（1）（2） 解析 ：解：（1）当时，解不等式，得， 5分. 6 分（2），又 ，. 9分又，解得，实数的取值范
12、围是. 14分【思路点拨】（1）当时直接解不等式即可；（2）利用已知条件列不等式组即可解出范围.16（本小题满分14分）（理科学生做）设数列满足，.（1）求；（2）先猜想出的一个通项公式，再用数学归纳法证明你的猜想.【知识点】数学归纳法；归纳推理【答案解析】（1）（2），证明见解析.解析 ：解：（1）由条件，依次得， 6分（2）由（1），猜想. 7分下用数学归纳法证明之：当时，猜想成立； 8分假设当时，猜想成立，即有， 9分则当时，有，即当时猜想也成立， 13分综合知，数列通项公式为. 14分【思路点拨】（1）直接利用已知关系式，通过n=1，2，3，4，求出a2，a3，a4；（2）利用（1）猜
13、想数列的通项公式，利用数学归纳法证明的步骤证明即可.（文科学生做）在中，设.（1）当时，求 的值；（2）若，求的值.【知识点】向量的数量积；向量的数量积运算.【答案解析】（1）-36（2）解析 ：解：（1）当时，所以， 3分. 7分（2）因为 ， 12分，解得. 14分【思路点拨】（1）当时，利用向量的数量积公式计算即可；（2）先计算出，然后解方程即可.17（本小题满分14分）ABCA1B1C1ED第17题（理科学生做）如图，在直三棱柱中，分别是的中点，且.（1）求直线与所成角的大小；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【知识点】异面直线所成的角；直线与平面所成的角.【答案解析】（1）（2）解析
14、 ：解：分别以、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得：,又分别是的中点，,. 3分（1）因为， ，所以， 7分直线与所成角的大小为. 8分（2）设平面的一个法向量为,由,得,可取， 10分又，所以， 13分直线与平面所成角的正弦值为. 14分【思路点拨】（1）分别以、所在直线为轴建立空间直角坐标系.则由题意可得， ，然后利用向量的夹角公式计算可得结果；（2）找出两个半平面的法向量后利用向量的夹角公式计算即可.（文科学生做）设函数.（1）用反证法证明：函数不可能为偶函数；（2）求证：函数在上单调递减的充要条件是.【知识点】反证法与放缩法；必要条件、充分条件与充要条件的判断【答案解析】（1
15、）见解析（2）见解析解析 ：解：(1)假设函数是偶函数， 2分则，即，解得， 4分这与矛盾，所以函数不可能是偶函数. 6分(2)因为，所以. 8分充分性：当时，所以函数在单调递减； 10分必要性：当函数在单调递减时，有，即，又，所以. 13分综合知，原命题成立. 14分【思路点拨】（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），代入利用对数的性质，可得矛盾，即可得证；（2）分充分性、必要性进行论证，即可得到结论18（本小题满分16分）OPHABC第18题如图所示，某人想制造一个支架，它由四根金属杆构成，其底端三点均匀地固定在半径为的圆上（圆在地面上），三点相异且共线，与地面垂直. 现要
16、求点到地面的距离恰为，记用料总长为，设（1）试将表示为的函数，并注明定义域；（2）当的正弦值是多少时，用料最省？【知识点】函数解析式与定义域的求法；利用导数求函数的最知.【答案解析】（1），. （2）时用料最省.解析 ：解：（1）因与地面垂直，且，则是全等的直角三角形，又圆的半径为3，所以， 3分又，所以， 6分若点重合，则，即，所以，从而，. 7分（2）由（1）知，所以，当时， 11分令，当时，；当时，；所以函数L在上单调递减，在上单调递增， 15分所以当，即时，L有最小值，此时用料最省. 16分【思路点拨】（1）通过图形分别求出的值，然后写出解析式并注明定义域即可；（2）利用导数结合单调性
17、即可求出最值.19（本小题满分16分）OABPCDxy第19题如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.（1）求椭圆的离心率；（2）求与的值；（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.【知识点】椭圆的性质；椭圆的标准方程；根与系数的关系.【答案解析】（1）（2）（3）为定值.解析 ：解：（1）因为，所以，得，即，所以离心率. 4分（2）因为，所以由，得， 7分 将它代入到椭圆方程中，得，解得，所以. 10分（3）法一：设，由，得， 12分又椭圆的方程为，所以由，得 ，
18、且 ，由得，即，结合，得， 14分同理，有，所以，从而，即为定值. 16分法二：设，由，得，同理，12分将坐标代入椭圆方程得，两式相减得，即， 14分同理，而，所以，所以，所以，即，所以为定值. 16分【思路点拨】（1）根据椭圆的性质求出a，c的关系式即可；（2）由得代入到椭圆方程中即可得结果；（3）设，由，得到点坐标间的关系，再将将坐标代入椭圆方程后两式相减，再利用即可.20（本小题满分16分）设函数.（1）当时，求函数的极大值；（2）若函数的图象与函数的图象有三个不同的交点，求的取值范围；（3）设，当时，求函数的单调减区间【知识点】利用导数求极值；借助导数求范围；利用导数求单调区间.【答案
19、解析】（1）极大值为5.（2）;（3）当时，函数的单调减区间为；当时，函数的单调减区间为,； 当时，函数的单调减区间为, 解析 ：解：（1）当时，由=0，得或， 2分列表如下：1300递增极大递减极小递增所以当时，函数取得极大值为5. 4分（2）由，得，即， 6分令，则，列表，得100递减极小值递增极大值2递减 8分由题意知，方程有三个不同的根，故的取值范围是. 10分（3）因为，所以当时，在R上单调递增；当时，的两根为，且，所以此时在上递增，在上递减，在上递增； 12分令，得，或 （），当时，方程（）无实根或有相等实根；当时，方程（）有两根， 13分从而当时，函数的单调减区间为； 14分当时，函数的单调减区间为,； 15分当时，函数的单调减区间为, 16分【思路点拨】（1）当时，求出原函数的导数，找到极值点列表求出极大值；（2）原式变型为，令，然后通过列表找到a的取值范围；（3）对a进行分类讨论即可.