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1、概率论与数理统计教案,第5章,统计量及其分布概率论与数理统计 教学 教案第 第 5 章 统计量及其分布 授课序号 1 01 教学基本指标教学课题第 5 章 第 1 节 总体、样本及统计量 课的类型新学问课 教学方法讲授、课堂提问、探讨、启发、自学 教学手段黑板多媒体结合 教学重点 总体、简洁随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念 教学难点 统计量、样本均值、样本矩及样本方差 参考教材浙江高校概率论与数理统计第四版 作业布置课后习题 大纲要求理解总体、简洁随机样本、统计量、样本均值、样本矩及样本方差的概念。教学基本内容一总体与样本 1总体与个体：把探讨对象的全体称为总体，构成总体的每
2、个成员称为个体. 2有限总体与无限总体：若总体中的个体数是有限的，此总体称为有限总体；否则称为无限总体. 3样本容量：在相同的条件下从总体中随机地抽取 n 个个体，记为 1 2, , ,nX X X ，我们将1 2, , ,nX X X称为来自总体 X 的一个样本， n 称为样本容量. 4. 简洁随机样本：若样本1 2, , ,nX X X 与所考察的总体具有相同的分布，且1 2, , ,nX X X 相互独立，则称1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的容量为 n 的简洁随机样本，简称样本. 5若1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的一个样本，则1 2, , ,nX X X
3、 的分布函数为 ) ( ) , , , (12 1 ininx F x x x FP=*= L . 6若总体 X 为离散型随机变量，其分布律为𝑃𝑌 = 𝑥 𝑖 = 𝑝(𝑥 𝑖 )，𝑥 𝑖 取遍 X 全部可能取值，则样本的概率分布为 ) ( , , ,12 2 1 1 inin nx p x X x X x X PP= = = = L . 7若总体 X 为连续型随机变量，其概率密度为 ) (x f ，则样本的概率密度为) ( ) , , , (12 1
4、ininx f x x x fP=*= L. 二统计量 1统计量：设1 2, , ,nX X X 为取自某总体的样本，若样本函数1( , , )nT T X X = 中不含有任何未知参数，则称 T 为统计量. 统计量的分布称为抽样分布.2几个常见统计量：设 ( )nX X X , , ,2 1L 是总体 X 的样本，常用的统计量有 （1）样本均值：=niiXnX11； （2）样本方差：=-=niiX XnS12 2) (11； （3）样本标准差：=-=niiX XnS12) (11； （4）样本 k 阶（原点）矩：11, 1,2,nkk iiA X kn= = ；（5）样本 k 阶中心矩：11
5、( ) , 1,2,nkk iiB X X kn= - =. 3性质：设总体 X 具有二阶矩，即2( ) , ( ) E X D X m s = = + ,1 2, , ,nX X X 为来自总体 X 的样本， X和2S 分别是样本均值与样本方差，则 （1）( ) ( ) ; E X E X m = =（2）21( ) ( ) ; D X D Xn ns= = （3）2 2( ) ( ) E S D X s = = . 三例题讲解 例 1从某班级的英语期末考试成果中，随机抽取 10 名同学的成果，分别为：100，85，70，65，90，95，63，50，77，86. 求样本均值，样本方差及二阶
6、原点矩. 例 2设总体 ( ) , , X B m q1 2, , ,nX X X 为来自该总体的简洁随机样本, X 为样本均值，求( )21niiE X X= - .授课序号 02 教学基本指标教学课题第 5 章 第 2 节抽样分布 课的类型新学问课 教学方法讲授、 课堂提问、探讨、启发、自学教学手段黑板多媒体结合 教学重点 2c 分布、 t 分布和 F 分布的概念及性质、分位数的概念并会查表、正态总体的某些常用抽样分布。教学难点 2c 分布、 t 分布和 F 分布的性质，正态总体某些常用抽样分布 参考教材浙江高校概率论与数理统计第四版 作业布置课后习题 大纲要求1了解2c 分布、 t 分布
7、和 F 分布的概念及性质，了解分位数的概念并会查表计算。2了解正态总体的某些常用抽样分布。教学基本内容一抽样分布 1. 𝜒 2 分布（卡方分布）（1）设1 2, , ,nX X X 是来自标准正态总体𝑁(0,1)的样本，则称统计量2 2 2 21 2 nX X X c = + + + 听从自由度为 n 的𝜒 2 分布，记为2 2 ( ) n c c .（2）𝜒 2 (𝑛)分布的概率密度为G=- -. 0 , 0, 0 ,) 2 ( 21) (2 1 22xx e xnx fn nn. （3）设2 ( ), X n
8、c则有 n X E = ) ( ， ( ) 2 D X n = .（4）若2 21 2 ( ), ( ) X n Y n c c 且 X 与 Y 独立，则21 2 ( ) X Y n n c + + . 2. t 分布 （1）设𝑌𝑁(0,1), 𝑍𝜒 2 (𝑛)，且 X 与 Y 相互独立，则称随机变量n YXT = 听从自由度为 n 的 T 分布，记为𝑈𝑢(𝑛) .𝑢分布，又称学生( Student )分布.（2）t 分布的概率密度为 + -+G+ G
9、=+ -xnxn nnx fn，2 ) 1 (21) 2 (2 ) 1 () (p. 3. F 分布 （1）设𝑉𝜒 2 (𝑛 1 ),𝑊𝜒 2 (𝑛 2 )，且𝑉,𝑊相互独立，则称随机变量12/U nFV n= 听从自由度为 ) , (2 1n n 的𝐹分布，记为𝐹𝐹(𝑛 1 ,𝑛 2 ).（2）) , (2 1n n F 分布的概率密度为 1 1 22 211 21 1 11 2 2 2
10、 2( ) 21 , 0( )( 2) ( 2)0, 0n n nn n n n nx x xf xn n n n nx+- -G + + =GG = ； （3） ( ) T t n ，则 ( ) P T t naa = ； （4）1 2 ( , ) F F n n ，则 1 2( , ) P F F n naa = .四大抽样分布的上侧𝛼分位数 （5）性质 （i）由标准正态分布和 t 分布的对称性有：𝑣 1−𝛼 = −𝑣 𝛼 ；𝑢 1−𝛼 = &
11、minus;𝑢 𝛼 . （ii）由 F 分布的定义可以得到：1 1 21 21( , )( , )F n nF n naa-=.（iii）由于 n 比较大时 t 分布近似 N （0,1），一般的，当 45 n 时，有 ( ) t n ua a . 二正态总体的抽样分布 1来自单一正态总体𝑁(𝜇,𝜎 2 )的统计量的分布 定理：设1 2, , ,nX X X 是来自正态总体𝑁(𝜇,𝜎 2 )的一个样本，𝑌 、 𝑇 2 分别是样本均值和样本
12、方差，则有 （1）) , ( 2nN Xsm ，即) 1 , 0 ( NnXsm -； （2）) 1 ( ) 1 (222-nS ncs； （3）) 1 ( -n tn SX m.2来自两个正态总体𝑁(𝜇 1 ,𝜎 1 2 )、𝑁(𝜇 2 ,𝜎 2 2 )的统计量的分布 定理：设11 2, , ,nX X X 与21 2, , ,nY Y Y 分别是来自两个相互独立的正态总体𝑁(𝜇 1 ,𝜎 1 2 )和𝑁(𝜇 2 ,&
13、#120590; 2 2 )的样本，其样本均值分别记为 Y X, ，样本方差分别记为𝑇 1 2 ,𝑇 2 2 ， 则 （1）) 1 , 0 ( ) ( ) (2221212 1Nn nY Xs sm m+- - -；（2）) 1 , 1 ( 2 122212221- - n n FS Ss s；（3）当𝜎 12= 𝜎 22 时， 1 21 21 2( ) ( ) ( 2)1 1X Yt n nSn nwm m - - -+ -+； 其中2 221 1 2 21 2( 1) ( 1)2n S n SSn nw- + -=+ -.例
14、5.4 2 2 (0,3 ), (0,3 ) , X N Y N X Y 设 ，且 相互独立 ，1 9 1 9( , , ) ( , , ) X X Y Y ， 分别为来自 X 和 Y 的样本，1 92 21 9.YX XUY+ +=+ +求 的分布例 5.5 设X 1 ,X 2 ,X 15 是来自总体𝑁(0,2 2 )的样本，求统计量) ( 22152122112102221X X XX X XY+ + + + +=LL的分布. 例 5.6 某公司生产瓶装洗洁精，规定每瓶装 500 毫升，但是在实际罐装的过程中，总会出现肯定的误差，误差要求限制在肯定范围内. 假定灌装量的方差
15、σ²=1，假如每箱装 25 瓶这样的洗洁精，试问 25 瓶洗洁精的平均灌装量和标准值 500 毫升相差不超过 0.3 毫升的概率是多少？ 例 5.7 设总体 X 听从正态分布 N(72，100)，为使样本均值大于 70 的概率不小于 90%，则样本容量应取多少? 例 5.8 在设计导弹放射装置时, 重要事情之一是探讨弹着点偏离目标中心的距离的方差. 对于一类导弹放射装置, 弹着点偏离目标中心的距离听从正态分布𝑁(𝜇,𝜎 2 )，这里2 =s 100 平方米，现在进行了 21 次放射试验，用2S 表示这 21 次试验中弹着点偏离目标中心的距离的样本方差，试估计2S 不超过 170.85 平方米的概率.