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1、八年级数学上11.1.2三角形的高中线与角平分线学案新版新人教版八年级上册三角形的高、中线与角平分线学案 八年级上册三角形的高、中线与角平分线学案 一、内容和内容解析1内容三角形高线、中线及角平分线的概念、几何语言表达及它们的画法2内容解析本节内容概念较多，有三角形的高、中线、角平分线和重心等有关概念；须要学生动手的频率也较高，要驾驭随意三角形的高、中线、角平分线的画法，培育学生动手操作及解决问题的实力；激励学生主动参加，体验几何学问在现实生活中的真实性，激发学生酷爱生活、勇于探究的思想感情理解三角形高、角平分线及中线概念到用几何语言精确表述，这是学生在几何学习上的一个深化学习了这一课，对于学
2、生增长几何学问，运用几何学问解决生活中的有关问题，起着非常重要的作用它也是学习三角形的角、边的持续以及三角形全等、相像等后继学问一个打算本节的重点是了解三角形的高、中线及角平分线概念的同时还要驾驭它们的画法，难点是钝角三角形的高的画法及不同类型的三角形高线的位置关系二、目标和目标解析1教学目标（1）理解三角形的高、中线与角平分线等概念（2）会用工具画三角形的高、中线与角平分线2教学目标解析（1）经验画图实践过程，理解三角形的高、中线与角平分线等概念（2）能够娴熟用几何语言表达三角形的高、中线与角平分线的性质（3）驾驭三角形的高、中线与角平分线的画法（4）了解三角形的三条高、三条中线与三条角平分
3、线分别相交于一点三、教学问题诊断分析三角形的高线的理解：三角形的高是线段，不是直线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点在这个顶点的对边或对边所在的直线上三角形的中线的理解：三角形的中线也是线段，它是一个顶点和对边中点的连线，它的一个端点是三角形的顶点，另一个端点是这个顶点的对边中点三角形的角平分线的理解：三角形的角平分线也是一条线段，角的顶点是一个端点，另一个端点在对边上而角的平分线是一条射线，即就是说三角形的角平分线与通常的角平线有肯定的联系又有本质的区分四、教学过程设计1抛砖引玉，提出问题先演示画三角形的一条高，再给出问题：（1）任画一个三角形，你能画出它的三条高吗？（2）同一个三角形
4、的三条高线有什么位置关系？（3）不同类型的三角形的三条高线的交点位置有什么差别？师生活动：先让学生画图实践，老师下位随机点拔，再让会画和不会画的学生相互沟通提点，然后带着问题探讨，最终各小组派代表发言，师生共同归纳概念和画法【设计意图】这一环节是一个重要的实践活动，须要学生动手实践，动口沟通，动脑思索，加深理解高线的概念和驾驭画高线的作图实力2从实践上升到理论，形成概念师生活动：定义：从三角形的一个顶点动身，向对边引垂线，这个顶点和垂足之间的连线段叫做三角形的高线,简称三角形的高三角形的高有三条,特殊强调：钝角三角形的高有两条在三角形外部，一条在三角形内部直角三角形的两直角边就是高线任何三角形
5、的三条高所在直线交于一点，这点叫三角形的垂心归纳：锐角三角形有条高，它们相交于一点，交点在三角形；直角三角形有条高，它们相交于一点，交点在三角形；钝角三角形有条高，它们所在直线相交于一点，交点在三角形留意：三角形的高是线段（几何语言）AD是ABC上的高，ADBC(ADBADC90)逆向：ADBC垂足是D，AD是ABC的边BC上的高几何语言表达可在学完三个定义之后统一学习便于学生比较记忆形成学问结构【设计意图】让学生体会由实践到理论的过程，培育学生的归纳总结实力补充说明：要养成习惯，画好高线后，顺手标明垂直的记号和垂足的字母师生活动：结合详细图形，老师引导学生养成良好的作图习惯【设计意图】进一步
6、加深学生对几何符号和几何语言的熟识3类比学习，驾驭几何探究的基本方法用相同的探究方法引导学生学习三角形的中线和角平分线师生活动：与高线的探究类似4归纳总结，形成学问结构师生活动：师生共同完成这个表格三角形的重要线段定义图形表示法三角形的高线从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段1AD是ABC的BC上的高线2ADBC于D3ADB=ADC=90三角形的中线三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段1AE是ABC的边BC上的中线2BE=EC=BC 三角形的角平分线三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段1AM是ABC的BAC的平分线21=2=BAC
7、【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生归纳概括的实力，了解几何语言简洁性5应用巩固课本上P5第1、2题补充练习：（1）如图，AE是ABC的中线，EC6，DE2，则BD的长为()A2B3C4D6解析：因为AE是ABC的中线，所以BEEC6又因为DE2，所以BDBEDE624答案：C（2）下列说法正确的是()平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线；三角形的中线、角平分线都是线段，而高是直线；每个三角形都有三条中线、高和角平分线；三角形的中线是经过顶点和对边中点的直线ABCD解析：任何一个三角形都有三条高、中线和角平分线，并且它们都是线段，不是射线或直线，因此只有正确，故选B答案：B（3）三角形
8、的三条高在()A三角形的内部B三角形的外部C三角形的边上D三角形的内部、外部或边上解析：三角形的三条高交于一点，但有三种状况：当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部，所以只有D正确答案：D学生通过解决这样的应用问题，特殊是（3）中又要用到分类探讨的思想，学生通过解决问题的过程加深理解不同类型的三角形其高线都是交于一点，但交点位置却不同【设计意图】除了考查学生的敏捷运用的实力外，逐步培育学生一些基本的数学思想，还能突破难点加深学生对三角形高线位置的理解，一举多得6总结反思老师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以
9、下问题（1）三角形的高、中线、角平分线等有关概念及它们的画法（2）三角形的高、中线、角平分线的几何表达及性质的简洁应用师生活动：老师引导，学生小结【设计意图】学生共同总结，相互取长补短，再一次突出本节课的学习重难点7布置作业教科书第8页第3，4题 三角形的高、中线与角平分线教学设计 三角形的高、中线与角平分线教学设计一、教学目标：（一）驾驭的学问与技能：1、经验折纸、画图等操作过程相识三角形的高、中线、角平分线，结合图形，会用几何语言表述。2、会用工具精确地画出三角形的高、中线与角平分线。（二）经验的教学思索：经验折纸、画图、视察、思索、沟通等活动，发展空间观念和表达实力（三）培育的情感看法和
10、价值观：通过数学活动，让学生体验和理解三角形中的特别线段，结合图形相识三角形的高、中线、角平分线所揭示的数量关系，学会发觉问题，解决问题。二、教学重难点：1、重点：（1）了解三角形的高、中线、角平分线的概念，会用工具精确画出三角形高、中线、角平分线。（2）了解三角形的三条高，三条中线与三条角平分线分别交于一点。2、难点：（1）三角形平分线与角平分线的区分，三角形的高与垂线的区分。（2）钝角三角形高的画法。（3）不同的三角形三条高的位置关系。三、教学方法：自主探究，合作沟通四、教学工具：三角形纸片，三角板，直尺五、教学过程：1、各组组长检查预习作业完成状况。2、师生问好。3、情境导入：【大屏幕显
11、示】白雪公主有一块三角形的煎饼，她准备把煎饼分成面积相等的七块给小矮人，想了很久也不知道怎么分，你能帮助她吗？4、展示本课学习目标【大屏幕显示】5、学生自学课本P65-66内容后，完成导学案。（小组共同完成，组长组织）老师巡察全班。（导学案附后）6、通过题目检查学生自学状况。【大屏幕显示】（学生抢答）7、将学生在自学过程中的疑难问题适当加以点拨。8、学生完成课堂练习，完成后交给组长评分。（课堂练习附后）9、共同完成拓展练习。10、共同完成课前设疑的问题。现在你能帮助白雪公主了吗？11、课堂小结：由学生总结，相互补充。12、布置课下作业。【导学案和课堂练习题附后】三角形的高、中线和角平分线导学案
12、课前打算：请你完成下列作图：1、经过点A画直线l的垂线 2、画AOB的角平分线3、作出线段AB的中点O动手实践，探究新知：(一)三角形的高线1、三角形高线定义：2、请你画出下面三角形的高思索：（1）三角形的高线有条；（2）锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?；（3）直角三角形的三条高线相交；（4）钝角三角形的三条高线也相交于一点吗？请你拿出课前打算好的三角形，通过自己折纸画出三角形的角平分线和中线，回答下面问题1、三角形角平分线定义：2、三角形有几条角平分线？3、你发觉三角形的三条角平分线是否交于一点？(三)三角形的中线1、三角形的中线定义：2、三角形有几条中线？3、你发觉三角形的三条
13、中线是否交于一点？三角形高、中线、角平分线课堂练习应用新知，体验胜利1、填空：AD是ABC的高=2、三角形的高、中线与角平分线教学设计填空：CF是ABC的中线=3、三角形的高、中线与角平分线教学设计填空：AE是ABC的角平分线=4、如图：CD，BE是ABC的角平分线，它们相交于点I，则ACD=ACB，ABC=ABEBI是的角平分线，CI是的角平分线。你能画出ABC的第三条角平分线吗？5、如图，在ABC中，BAC是钝角，请在ABC中分别画出:(1)BAC的平分线；(2)AC边上的中线；(3)AC边上的高；(4)AB边上的高。6、已知：如图，在ABC中，ACB90，CD是高，则图中互补的角有对，分
14、别为7、请你找出图中以AD为高的三角形它们分别是8、三角形某条边上的高（）A在三角形的内部B在三角形的外部C在三角形的一边上D以上三种状况都有可能9、如图，假如D是BC的中点，BC=6,AEBC于E,AE=4则BDDC，SABD=，SACD=,SABDSACD.10、三角形的一条()，能把三角形分成两个面积相等的三角形。A角平分线B中线C高D以上都不对 三角形的角平分线 三角形的角平分线定理 李逵 教学目标：1、理解三角形的内外角平分线定理； 2、会证明三角形的内外角平分线定理； 3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作协助线的方法； 4、培育逻辑思维实力。 教学重点：1、几何证明中的证法分
15、析； 2、添加协助线的方法。 教学难点：如何添加有用的协助线。 教学关键：抓住相像三角形的判定和性质进行教学。 教学方法：“四段式”教学法，即读、议、讲、练。 一、阅读课本，留意问题 1、复习旧学问，回答下列问题 在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。 协助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？ 怎样推断两个三角形是相像的？相像三角形最基本的性质是什么？ 几何证明中怎样构造有用的相像三角形？ 2、阅读课本，弄清晰教材的内容，并留意教材上是怎样讲的。 提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定
16、理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的须要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最终用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要留意课本上有关问题的叙述、分析以及作协助线的方法。通过适当的联想和揣测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。 A B C D 3、留意下列问题： 如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，即，。通过比较得到。 A B C D 假如上面问题中的换成随意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段、的长度，计算？，？，然后再比较（小的误差忽视不计）。 三角形的内角平分线定理说的是什么意思？
17、课本上是怎样写已知、求证的？ 课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的学问？证明的依据是什么？ 课本上证明的过程中是怎样作协助线的？这样作协助线的目的是什么？ 过、三点能不能作出有用的协助线？假如能，协助线应当怎样作？各能作出几条？ 就作出的协助线，怎样找寻证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些学问？ 你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？ 回答练习中的第一题。 总结证明方法和作协助线的方法。 留意内分点和外分点两个概念及其应用。 4、阅读指导丛书平面几何其次册。 留意协助线中平行线的作法，通过对图、的视察分析，找出解决问题的证明方法。 丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内
18、角平分线定理，既把有关的学问联系起来、拓展了解题思路，又为我们供应了一种比较简洁的解决问题的方法，值得我们借鉴。要留意三角形面积的几种不同的计算方法。 二、相互探讨，解答疑点 1、上面提出的问题，希望大家独立思索、独立完成。依据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。 2、思索中实在是有困难的同学，可以和四周的同学相互探讨，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指引。 3、把同学之间探讨的结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的依据。最终，适当地总结一些解题的阅历和方法。 三、讲评订正，整理内容 1、把学生探讨的结果归纳出来，加以补充说明，订正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要
19、点。 证明比例式的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的协助线都是平行线。 A B C D 从上述几种证明方法可以看出，证明的关键在于通过作协助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便依据平行截割定理的推论得出所要的结论。 协助平行线的作法，只能是过、三点分别作不过、三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。 2、整理教学内容 线段的内分点和外分点 （）定义： 在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。 在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。 （）举例 点在线段上，把线段分成了和两条线段，所以，点是线段的内分点，线段和叫
20、A B C D 做点内分线段所得的两条线段。 点在线段的延长线上，和、两个端点构成了、两条线段，所以，点是线段的外分点，线段和叫做点外分线段所得的两条线段。 （）条件 内分点的条件：a）在已知线段上； b）把已知线段分成另外两条线段。 外分点a）在已知线段的延长线上； b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。 （）特别状况 a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？ b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？ c）一条已知线段有几个中点？有几个黄金分割点？有几个内分点？几个外分点？ 三角形的内角平分线定理 （）定理：三角形的内角平分线分对边所得的两
21、条线段与夹这个角的两边对应成比例。 （）已知：中，平分，交于。 求证：。 （）简洁分析 A B C D 从结论来考虑，横着看，两个比的前项、在中，两个比的后项、在中。根据相像三角形的性质，只要，那么，结论就是成立的。但是，与不是一对相像三角形，所以，不行能用相像三角形来证明。竖着看，有和，事实上，不成一个三角形。若是从“平行线分两条线段所得的线段对应成比例”（平行截割定理的推论）来考虑，明显，图中也没有平行线。因此，要想得到结论，只有把其中的某条线段进行适当的移动，使其构成相像三角形的对应边，或者成为两条直线上被平行线截得的对应线段。这样，我们就确定了协助线的作法以平行线为主。 A B C D
22、 E 例如，把线段围着它的端点旋转适当的角度到图中的位置（即的延长线）。由于旋转不变更线段的长度，所以，从旋转状况可得。由于平分，所以，连接后可以证明。因此，实际证明时，一般都叙述为“过点作交的延长线于”。不管是哪种说法，其结果都是一样的。类似地，我们还可以把线段围着它的端点旋转适当的角度到端点落在线段的延长线上，同样也可以证明。 （）证法提要 A B C D E 证法一：如上图，过点作交的延长线于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到结论。同样，过点作的平行线和边的延长线相交，也可以证得结论，证明的方法是完全一样的。 证法二：如右图，过点作交的延长线于，可以得
23、到：a）（为什么？）；b）（为什么？）。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和的延长线相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。 A B C D E 证法三：如右图，过点作交于，可以得到：a）（为什么？）；b）（为什么？）；c)。通过等量代换便可以得到所要的结论。同样，过点作的平行线和相交，也可以得到结论，证明的方法是完全一样的。 证法四：如下页图，过点作交于，依据三角形的面积公式可得：； 又依据正弦定理的面积公式有： A B C D E ； 通过比较就可以得到：所要的结论。 三角形的外角平分线定理 （）定理：三角形的外角平分线外分对边所得的两条线段与夹这个角的两边对应成
24、比例。 A B C D E （）已知：中，是的一个外角，平分，交的延长线于。 求证：。 （）简洁分析：（类同内角平分线定理的分析方法） （）证法提要；（类同内角平分线定理的分析方法） 四、小结全节，练习巩固 1、小结 两个定理 （）三角形的内角平分线定理 （）三角形的外角平分线定理 证明方法 分为四大类共七种方法。 2、练习 教材，2、3两题。 补充题： 画随意一个三角形的某个角的内外角平分线，说明内外角平分线之间的关系，证明你的结论。 画等腰三角形的外角平分线，说明外角平分线和底边之间的关系，证明你的结论。 3、作业 教材，17、18两题。 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页