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1、极值理论论在风险险价值度度量中的的应用1、引言言自20世世纪700年代以以来，金金融市场场的波动动日益加加剧，一一些金融融危机事事件频繁繁发生，如19987年年的“黑色周周末”和亚洲洲金融危危机，这这使金融融监管机机构和广广大的投投资者对对金融资资产价值值的暴跌跌变得尤尤为敏感感。金融融资产收收益率的尖峰峰、厚尾现现象也使传统统的正态分分布假定定受到严严重的质质疑，因因此如何何有效地地刻画金融融资产收收益率的尾部部特征，给出其其渐进分分布形式式，及各各种风险险度量模模型的准准确估计计方法和和置信区区间，依此制制定投资资策略，确定国国家监管管制度，成为风险险度量和和管理所所面临的的巨大挑挑战。目
2、前，对对金融资资产损失失的估计计方法主主要包括括历史模模拟、参参数方法法和非参数数方法。历史模模拟是一一种最简简单的方方法，它它利用损失失的经验验分布来来近似真真实分布布，但是是该方法法不能对对过去观观察不到到的数据据进行外外推，更更不能捕捕获金融融资产收收益序列列的波动动率聚类类现象，而受到到大量的的批评。参数方方法假设设收益符符合某种种特定的的分布如如：正态分分布、tt分布等等，再通通过分布布与样本本的均值值、方差差的匹配配对参数进行行估计，或或者是假假设收益益符合某某种特定定的过程程如：模模型、模型，该该方法可可以在一一定程度度上解释释尖峰后后尾现象象和波动动率聚类类问题，具有比比较好的
3、的整体拟拟和效果果。不过过参数方方法只能能对已经经到来的的灾难信信息给出出准确的的估计，对于即即将到来来的灾难难信息无无法给出出准确的的预测，因此对对极端事事件的估估计缺乏乏准确性性。非参参数方法法则主要包包括极值值理论（EVTT），该理论论不研究究序列的的整体分分布情况况，只关关心序列列的极值值分布情情况，利利用广义义帕累托托分布（genneraalizzed Parretoo diistrribuutioon）或或者广义义极值分分布（ggeneerallizeed eextrremee vaaluee diistrribuutioon）来来逼近损损失的尾尾部分布布情况。Danniellss
4、oon aand de Vriies（19997）以以7支美美国股票票构成的的组合为为样本比比较各种种模型的的表现情情况，发发现EVVT的表表现比参参数方法法和历史史模拟方方法明显显的好。Longgin（20000）认认为极值值理论的的优点在在于它的的没有假假设特定定的模型型，而是是让数据据自己去去选择，而GARRCH模模型作为为估计风风险的一一种方法法，它只只能反映映当时的波波动率情情况，对对于没有有预期到到的变化化缺乏准准确性。不幸的的是，Leee annd SSalttogllu（220033）把EVTT模型应应用到55个亚洲洲股票市市场指数数上，发发现表现现令人非常常不满意意，而传传统
5、的方方法尽管管没有一一个在各各个市场场表现都都是绝对对优于其其它模型型的，但但都比EEVT模模型的表表现好。本人认认为EVVT模型型之所以以在亚洲洲市场表表现不好好主要是是因为亚亚洲金融融市场的的数据具具有很强强的序列列相关和和条件异异方差现现象，不不能满足足EVTT模型要要求的独独立同分分布假定定。另外外，Joondeeau andd Roockiingeer（119999），RRoottzenn annd KKlupppellberrg（119999），NNefttci（20000），Gillli andd Keelleezi（20003）和和Chrristtoffferssen andd
6、 Gooncaalvees（220044）也分分别采用用极值原原理和其其他模型型对金融融数据的的尾部特特征进行行了分析析和比较较。本章在传传统单纯纯采用极极值理论论（假设被被分析数数据是独独立同分分布的）描述金金融资产产收益尾部部特征的的基础上上，把ARMMA(Asyymmeetriic)GARRCH模模型和极极值理论论有机的的结合起起来。首先利用用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型捕获金融融数据中中的序列列自相关关（Coorreelattionn）和异异方差（Heteerosskeddastticiity）现象，利用GGMM估估计参数数，获得得近似独独立同分分布的残
7、残差序列列，再采采用传统统的极值值理论对对经过AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型筛筛选处理理过的残残差进行行极值分分析，在在一定程程度上克克服了传传统单纯纯采用极极值理论论时，由由于金融融数据序序列自相相关和波波动率聚聚类现象象不能满满足极值值理论假假设所造造成的估估计误差差。另外外，本章章还采用用Boootsttrapp的方法法给出了了采用极极值理论论估计出出的VaaR和EES在某某一置信信水平下下的置信信区间改改进了采采用似然然比率法法估计置置信区间间时，由由于极值值事件的的小样本本所造成成的误差差。最后后，我们们利用中中国上证证指数自自19990年112月11
8、9到220044年9月月30日日的对数数日收益益率进行行实证研研究给出出上证指指数的VVaR和和ES值值，及置置信区间间。2、VaaR和EES的概概念：VaR（VallueatRissk）是是一种被被广泛接接受的风风险度量量工具，20001年的的巴塞耳耳委员会会指定VVaR模模型作为为银行标标准的风风险度量量工具。它可以以定义为为在一定定的置信信水平下，某一资资产或投投资组合合在未来来特定时时间内的的最大损损失，或或者说是是资产组组合收益益损失分分布函数数的分位位数点。假设代代表某一一金融资资产的收收益，其其密度函函数为，则VaaR可以以表示为为： （1） 当密度函函数为连连续函数数是也可可以
9、写作作：，其其中称为为分为数数函数，它被定义义为损失失分布的的反函数数。该模模型计算算简单，在证券券组合损损失符合合正态分分布，组组合中的的证券数数量不发发生变化化时，可可以比较较有效的的控制组组合的风风险。但是VVaR模模型只关关心超过过VaRR值的频频率，而而不关心心超过VVaR值值的损失失分布情情况，且且在处理理损失符符合非正正态分布布（如后后尾现象象）及投投资组合合发生改改变时表表现不稳稳定，会会出现 （2）的现象，不满足足Arttzneer（119999）提出出了一致致性风险险度量模模型的次可加加性。（Exppectted shoortffulll）满足足Arttzneer（1199
10、99）提出出的次可可加性、齐次性性、单调调性、平平移不变变性条件件，是一一致性风风险度量量模型。它的定定义如下下：在给给定的置置信水平平下，设设是描述述证券组组合损失失的随机机变量，是其概概率分布布函数，令，则则可以表表示为： （33）在损失的的密度函函数是连连续时，可以简简单的表表示为：。 本本章将分分别选用用这两个个模型来来度量金金融资产产的风险险，给出出在修正正过的极极值模型型下，其其估计的的方法和和置信区区间。3. AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型3.1 ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的性质质模型： （44）其中，是是期望为为
11、0，方差差为常数数的独立立同分布布随机变变量，模型在可可逆的情情况下可可以表示示为。该模型型假设的的条件期期望是可可得的，条件方方差为常常数，通通常可以以用来解释释时间序序列的相相关性，并可以以对时间间序列进进行的短短期预测测。但是是该模型型条件方方差为常常数的假假设，使使其无法法有效的的解释在在金融时时间序列列中经常常被观察察到的波波动率聚聚类现象象，为此此，我们们需要在在模型中中进一步步引入模型。我们令，其中是是期望为为0，方方差为常常数1，的独立立同分布布随机变变量，是是在时刻的的条件方方差。这这里我们们采用通通常使用用的最简简单的模模型，则则条件方方差可以以表示为为：，模型也也可以表表
12、示成平平方误的的形式： （55）其中，因因此模型型本质上上是平方方误的。模型的的引入不不仅可以以捕获到到金融时时间序列列的波动动率聚类类现象，而且可可以在一一定程度度上改善善尖峰后尾尾现象，因为 （6）其中和分分别表示示和的峰度度，的峰峰度明显显大于等等于的峰峰度。另外，在在金融序序列中我我们还可可以明显显的观察察到，波动率率正方向向变动与与收益率率负方向向变动的的相关性性大于与与收益率率正方向向变动的的相关性性，一种种可能的的解释是是收益率率的负方向向变动会会加大波波动幅度度。而模模型认为为收益的的正方向向变动和和负方向向变动对对波动率率变动幅幅度有着着相同的的影响，为了捕捕获金融融序列波波
13、动率变变动的这这一不对对称性，我们引引入需要要Gloosteen eet aal（119933）提出出的非对对称模型型： （7）其中，在在这个模模型中我我们通过过项来捕获收益益率的正正负变动动对波动动率变动动的不同同影响，如果收收益率的的波动与与收益率率波动率率的变动动像我们们上面所预预期的那那样，则则。这样我们们就得到到了ARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型 （8）3.2、ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的参数估估计：我们知道道在条件件正态分分布的假假设下，可以很很容易的的利用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型的似
14、然然函数，给出参参数向量量的估计计值，其其中，。即使使在金融融收益率率序列残残差不满满足条件件正态分分布的情情况下，使用正正态极大大似然估估计法，仍然可可以得到到参数的一致渐渐进正态态非最小小方差估估计。但但是这样样我们得得到的残残差将有有很大的的误差，而是我我们下一一步进行行EVTT尾部估估计的输输入变量量，它的的有效性性将会直直接影响响我们整整个的估估计结果果，为此此我们必必须寻找找一个更更有效的的估计方方法。GMM（Genneraalizzed Metthodd off Moomennts）广义矩矩估计恰恰好可以以满足我我们的要要求，它它不需要要假设符符合任何何分布，只需要要的条件件矩。
15、在在Skoogluund（20001）“A ssimpple effficiientt GMMM eestiimattor of GARRCH moddelss”给出了了该估计计方法的的计算过过程和收收敛情况况。下面面给去估估计的步步骤：首先，定定义一个个行向量量 和和广义向向量 ，其中是是工具变变量，则则参数的的GMMM估计可可以通过过下式得得到： （99）其中是一一个恰当当的权重重矩阵。在Newwey andd MccFadddenn（19994）中，我我们可以以知道，有效的的GMMM估计可可以通过过另，其中中，是Jaacobbiann行列式式。把和和带入上上面的目目标函数数（9）得到：
16、（100）其中，是是一个含含有参数数的权重重矩阵，它的元元素可以以表示为为：其中，通过上面面对目标标函数（9）的的变化，我们得得到函数数是恰好好可识别别的，即即参数的的最优估估计是使使函数等等于0。另外，我们要要进行GGMM估估计还需要一一个对参参数的初初始估计计值和对的三阶阶矩和四四阶矩的的初始估估计值，而这一一初始值值我们可可以通过过对ARRMA(Assymmmetrric)GARRCH模模型残差差符合正正态分布布的情况况进行最最大似然然估计得得到。这这样我们们就可以以得到有有效的参参数估计计值和残差差序列。4、极值值理论极值理论论是测量量极端市市场条件件下风险险损失的的一种方方法，它它具
17、有超超越样本本数据的的估计能能力，并并可以准准确地描描述分布布尾部的的分位数数。它主主要包括括两类模模型：BBMM模模型（BBlocck MMaxiima Metthodd）和PPOT模模型（PPeakks ooverr Thhressholld），两类模模型的主主要区别别有：11、极值值数据的的获取方方法上的的区别，BMMM模型通通过对数数据进行行分组，然后在在每个小小组中选选取最大大的一个个构成新新的极值值数据组组，并以该数数据组进进行建模模；POOT模型型则通过过事先设设定一个个阀值，把所有有观测到到的超过过这一阀阀值的数数据构成成的数据据组，以以该数据据组作为为建模的的对象，两个模模型
18、的共共同点是是只考虑虑尾部的的近似表表达，而而不是对对整个分分布进行行建模。2、两两个模型型分别采采用极值值理论中中的两个个不同的的定理作作为其理理论依据据，同时时也因为为获取极极值数据据的不同同方法导导致两个个模型分分别采用用不同的的分布来来拟合极极值数据据。3、BMMM模型是是一种传传统的极极值分析析方法，主要用用于处理理具有明明显季节节性数据据的极值值问题上上，POOT模型型是一种新新型的模模型，对对数据要要求的数数量比较较少，是是现在经经常使用用的一类类极值模模型。44、BMMM模型型主要用用于对未未来一段段较长的的时间内内的VaaR和EES预测测，而PPOT则则可以进进行单步步预测，
19、给出在在未来一一段小的的时间内内VaRR和ESS的估计计值。55、BMMM模型型的前提提条件是是样本独独立同分分布，PPOT模模型的前前提条件件是超限限发生的的时间服服从泊松松分布，超限彼彼此相互互独立，服从GGPD（genneraalizzed Parretoo diistrribuutioon）分分布,且且超限与与超限发发生的时时间相互互独立。样本独独立同分分布可以以保证PPOT模模型的前前提条件件。4.1 BMMM模型的的理论基基础假设表示示我们采采用BMMM方法法获得的的极值数数据组，其中nn表示每每个子样样本的大大小，则则有下面面的极限限定理成成立定理1：（Fiisheer aand
20、 Tipppettt (19228), Gnnedeenkoo (19943)）假设是一一个独立立同分布布的随机机变量序序列，如如果存在在常数，以及及一个非非退化的的分布函函数，使得成立立，则分布函函数一定定属于下下面的三三种标准准的极值值分布：Frecchett： Weeibuull： Guumbeel： 从图1可可以清楚楚的Frrechhet分分布用来来描述那那些极值值无上界界有下界界的分布布，Weeibuull分分布用来来描述极极值分布布有上界界，无下下界的分分布，GGumbbel分分布用来来描述极极值无上上界也无无下界的的分布。我们通通常见到到的很多多分布函函数都可可以根据据他们尾尾部
21、的状状况划分分到上面面的三种种极值分分布分布布中去，例如：学生分分布、帕帕累托分分布（PPareeto disstriibuttionn）、对对数Gaammaa分布、Cauuchyy diistrribuutedd根据尾尾部特征征可以划划分到FFrecchett分布中中去；均均匀分布布和Beeta分分布的尾尾部分布布可以收收敛到WWeibbulll分布；正态分分布、GGammma分布布和对数数正态分分布的尾尾部分布布都收敛敛到Guumbeel分布布。 图形1：标准FFrecchett、Weeibuull和和Gummbell分布图图但是，在在实际应应用中对对于一个个给定得得极值序序列，我我们应该
22、该如何在在这三种种极值分分布中做做出选择择呢。一种理理想的方方法是通通过参数数的形式式把三种种极值分分布统一一的表示示成一个个分布函函数，这这样我们们就可以以在利用用最大似似然估计计的时候候，把该该参数也也一块估估计出来来，让数数据去决决定它们们的选择择，这将将极大的的增加模模型估计计的准去去性。这这里我们们采用 Jennkinnsonn annd MMisees 的的方法，把三种种分布表表示成如如下单参参数的形形式： （111）其中，这这一表达达形式也也被称为为广义极极值分布布函数（GGeneerallizeed eextrremee vaaluee diistrribuutioon），当时
23、，表示FFrecchett分布，当时，表示wweibbulll分布，当时表表示Guumbeel分布布。在定理11的基础础上，对对于给定定一个金金融资产产的残差差序列，我们就就可以首首先分组组求最大大值得到到的极值值序列记记为。为为了表达达上的简简洁，用用和代替公式式（111）中的的和，则可可以序列列的近似似分布函函数： （112）其中。然然后，我我们要对对参数进进行最大大似然估估计，这这需要得得到随机机变量的的概率密密度函数数，通过过概率分分布函数数（122）对求求导，我我们得到到随机变变量的概概率密度度函数： （113）其中。通通过似然然函数就就可以得得到各参参数的估估计值：（14）在各参数
24、数估计值值给定的的基础上上，我们们就可以以利用极极值分布布函数计计算不同同下的分位数值，如用表表示这一一分位数数，则在个周期期内出现的极极值收益益会超过这这一阀值的预预期数量量有且仅仅有一次次。表达达形式为为： （115）注：关于于参数的的置信区区间的确确定我们们在后面面给出其其计算方方法。4.2 POOT模型型的理论论基础假设序列列的分布布函数为为，定义义为随机机变量超超过门值值的条件分分布函数数，它可可以表示示为： （16）根据条件件概率公公式我们们可以得得到： （177）定理2：（Piickaand (19975), BBalkkemaa annd dde HHaann (119744)
25、）对对于一大大类分布布（几乎乎包括所所有的常常用分布布）条件件超量分分布函数数，存在一一个使得得： （12）当时，；当时，。分布布函数被被称作广广义的PPareeto分分布。图2：广广义Paaretto分布布在，取0.3，00，-0.3的图图形从图形上上我们可可以看到到的不同同取值确确定了尾尾部的厚厚度，越越大则尾尾部越厚厚，越小小尾部越越薄，从从函数我我们还可可以得到到当时，的最大大取值为为，有上上界。LLee andd Saaltoogluu（20003）在金融融资产收收益时间间序列上上直接使使用EVVT时，由于序序列的尖尖峰后尾尾，使得得确定出出来的一一定是大大于零的的，但是是在我们们的
26、模型型中，我我们对残残差序列列进行极极值分析析，因此此我们得得到的不不一定大大于零。根据公式式（122）我们们可以得得到广义义的Paaretto分布布的概率率密度函函数：因此对于于给定的的一个样样本，对对数似然然函数可可以表示示为： （13）在POTT模型中中另一个个重要的的问题，那就是是如何确确定我们们定理22中的阀阀值，它它的确定定非常重重要，它它是正确确估计参参数和的前提提。如果果阀值选选取的过过高，会会导致超超额数据据量太少少，使估估计出来来的参数数方差很很大；如如果阀值值选取的的过低，则不能能保证超超量分布布的收敛敛性，使使估计产产生大的的偏差。Danniellssoon eet a
27、al（119977）、dde VVriees（119977）和DDupuuis（19998）给给出了对对阀值的估估计方法法，一般般有两种种：一是是根据HHilll图，令令表示独独立同分分布的顺顺序统计计量。尾尾部指数数的Hiill统统计量定定义为：Hilll图定义义为点构构成的曲曲线，选选取Hiill图图形中尾尾部指数数的稳定定区域的的起始点点的横坐坐标K所所对应的的数据作作为阀值值。二是根根据样本本的超额额限望图，令，样样本的超超限期望函函数定义义为： （144）超限期望望图为点点构成的的曲线，选取充充分大的的作为阀阀值，它它使得当当时为近似似线性函函数。另另外，如如果超限限期望图图当时是向
28、上上倾斜的的，说明明数据遵遵循形状状参数为为正的GGPD分分布，如如果超限期望图图当时是是向上倾倾斜的，说明数数据来源源于尾部部较短的的分布，如果如如果超限限期望图图当时是是水平的的，则说说明该数数据来源源于指数数分布。这一判判断方法法是根据据广义PPareeto分分布在参参数的时时候，它它超限期望函函数是一一个线性性函数。 （155）注：因为为对于广广义Paaretto分布布只存在在阶矩，如果则则存在一一阶矩，否则一一阶矩将将不存在在，就没没有办法法计算超超限期望函函数。当确定以以后，；利用用的观测测值，根根据公式式（133）进行行最大似似然估计计得到和和。同时时，我们们得到的的观测值值中比
29、阀阀值大的的个数，记为，根据公公式（117）用用频率代代替的值值，可以以得到在在时的表表达式： （116）对于给定定某个置置信水平平，可以以由的分分布函数数公式（15）可以得得到： （117）根据GPPD的条条件分布布函数公公式（115）可可以得到到： （188）4.3序序列的和置信区区间的估估计方法法：通常，对对于参数数置信区区间的估估计方法法，在大大样本的的情况下下我们可可以从似然比比率检验验（Likkeliihoood RRatiio TTestt）的思路中中获到。似然比比率检验验用来检检验两个个同类型型模型的的拟和程程度的好好坏。两两个同类类型模型型的似然然比率符符合分布布，它的的自由
30、度度等于复复杂模型型中新加加入的参参数的个个数。以以POTT模型为为例，要要估计参参数和在给定定置信水水平下的的置信区区间可以以通过下下式得到到：其中，和和为估计计的最优优值，表表示似然然函数。这样我我们就得得到了和和的联合合置信区区间，如如果我们们希望得得到的估估计值，则可以以根据公公式（117）反反解出带带入公式式（133）得到到，令,的置信信区间可可以通过过下式得得到：但是，于于超过阀阀值的极极值数据据量不会会很多，使的这这一估计计的渐进进效果可可能不佳佳。为此此，我们们引入BBoottstrrap方方法来获获得置信信区间的的估计。既然我我们得到到的序列列时独立立同分布布，就可可以每次次
31、独立从从中抽取取个点组组成新的的序列，用该序序列估计计和，重复复这一操操作，就就可以得得到一系系列的和和估计值值，求出出和的经验验分布，最后根根据经验验分布得得到和的置信信区间，并把和和的期望值值作为和和的估计计值。我们在在这里只只给出了了POTT模型中中置信区区间的求求法，其其他参数数的置信信区间可可以类似似的求得得。该方方法在确确定置信信区间的的同时，也是一一种检验验模型稳稳定性的的方法。5、实证证分析 我们们采用上海证券券交易所所公布的的日收益益综合指指数为原原始数据据（数据据来源：大智慧慧），样样本空间间选自119900年122月199日-20004年年9月330日。样本容容量为333
32、911个（使用用Eviiewss和Maatlaab软件件）。我我们定义义收益为为。我们的的实证过过程分为为四步，（11）用ARMMA(Asyymmeetriic)GGARCCH模型型对收益益序列进进行过虑虑得到近近似独立立同分布布的残差差序列；（2）用极值值理论对对这一残残差进行行分析，给出其其渐进分分布，并并估计出出相应的的和值。（33）比较较用似然然比率和和用Boootsstraap方法法给出和和值的置置信区间间的估计计。（44）整合合第一步步和第二二步的结结果，计计算收益益的和值。（55）利用用BMMM模型估估计值。5.1AARMAA(AAsymmmettricc)GAARCHH模型形形
33、式和参参数的确确定首先给出出收益序序列的描描述性统统计量（图1），可以以看到序序列具有有明显的的尖峰后后尾现象象，从JJB检检验可以以显著的的拒绝正正态性假假设。对对收益序序列进行行单位根根ADFF检验（见表11），因因为检验验的统计计量是，比显著著性水平平为1的临界界值还小小，所以以拒绝原原假设，序列不不存在单单位根，是平稳稳序列。图1：收收益序列列的描述述性统计计量ADF Tesst SStattisttic-23.645516 1% CCritticaal VValuue*-3.443544 5% CCritticaal VValuue-2.886299 10% Crritiicall
34、Vaaluee-2.556755*MaccKinnnonn crritiicall vaaluees ffor rejjecttionn off hyypotthessis of a uunitt rooot.表1：序序列的单单位根检检验可以进一一步分析析数据的的自相关关和偏相相关（见见表2）现象，发发现滞后后10期期，在999的的置信水水平下都都不能拒拒绝没有有自相关关和偏相相关的原原假设，为此可可以认为为收益序序列中不不存在AARMAA现象。这样，我我们就可可以直接接用序列列对常数数项作最最小二乘乘回归得得到残差差项，然后对残残差序列列进行AARCHH效应的的LM检检验（见见表3），发现现
35、当取比较较大的值值时的相相伴概率率仍然有有，小于于显著水水平，拒拒绝原假假设，残残差序列列存在高高阶ARRCH效效应，即即有GAARCHH效应。表2：样样本数据据的自相相关和偏偏相关表表ARCHH Teest:F-sttatiistiic1.98861441Probbabiilitty0.04443440Obs*R-ssquaaredd15.8856884 Proobabbiliity0.04444776表3：AARCHH效应的的LM统统计量检检验根据上面面的分析析，我们们可以确定定在第一一步中所所采用的的模型公公式（119），并对其其进行正正态最大大似然估估计（见表4）。 （19）Coeff
36、ficcienntStd. Errrorrz-SttatiistiicProbb. C9.433E-0059.033E-0051.044420060.29964 Varriannce EquuatiionC1.477E-0061.066E-00713.99563390.00000ARCHH(1)0.477973340.0110344546.33724400.00000(RESSID0)*ARCCH(11)-0.113388430.01164556-8.113355990.00000GARCCH(11)0.722315520.00052443137.915590.00000表4：公公式(119)
37、最最大似然然估计的的结果从表中可可以看到到，正如如我们所所预见的的那样，预测不不到收益益的负方方向变动动可以导导致更大大的波动动率出现现，正方方向变动动会使波波动率下下降。和和都大于于零表明明过去时时刻的波波动对未未来价格格波动有有着正向向缓解作作用，从从而可以以有效的的解释了了波动率的聚类类性现象象。下面我我们以最最大似然然估计的的结果为为初始值值按照前前面所介绍的的方法进进行GMMM估计计，其结果如如下表：最大似然然估计1.477E-0060.47797334-0.113388430.722315529.433E-0050.00027GMM估估计4.688E-0080.6550888-0.
38、44733330.77725448.333E-0041.900E-006表5：最最大似然然估计和和GMMM估计比比较在GMMM估计值值与最大大似然估估计值的的比较中中，我们们可以清清楚的看看到，GGMM估估计明显显的增加加了非对对称项系系数的绝绝对值，使收益益的正负负向变动动对波动动率表动动的不同同影响更更加明显显。另外外，在最最大似然然估计中中，这意意味不存存在有限限的方差差，而在在GMMM估计中中，保证证了的方方差有限限性。GMMM估计在在没有分分布的情情况下给给出了参参数的取取值，并并有效的的降低了了目标函函数的取值。把GMMM估计值值代入公公式（119），由收益益序列得得到残差差序列（
39、见图22），从图像像上可以以看出序序列变的的更平稳稳，波动动率聚类类现象明明显下降降，更接接近于独独立同分分布。对对其进行行一阶，二阶自自相关和和偏相关关性检验验和LjuungBoxx检验，结果都都在很高高的水平平上拒绝绝原假设设，表示示残差序序列以没没有ARRMA现现象和条条件异方方差现象象。图2：收收益序列列R和残残差序列列ARCHH Teest:F-sttatiistiic2.755E-005 Proobabbiliity0.99958118Obs*R-ssquaaredd2.755E-005 Proobabbiliity0.99958117表6：序序列的AARCHH检验5.2PPOT模
40、模型的应应用基于极值值理论中中POTT模型，我们需需要利用用充分大大的阀值，对超超限分布进进行GPPD拟合合，根据据公式（14），得到到超限期望图图（见图图3）。发现样样本的平平均超限限函数图图在时近似直直线，具具有明显显的Paaretto分布布特征。当时数据据超过阀阀值的个个数；当当时；当时，我们的的总样本本个数，在允许的的情况下下选取110左左右的数数据（DDuMoouchhel（19883）作为极极值数据据组是比比较合适适的选择择，否则则可能不能能抓住序序列尾部部分布的的特征，样本内内过度拟拟合，样样本外不不适用。为此，我们分分别给出出阀值取取0.88，0.9的情情况下，利用最最大似然然
41、估计得得到各参参数、的取值和95的置信信区间（见表77），以及在在这些参参数下的的QQQ图和分分布图（见图44和图五五），从图图形中我我们可以以看到极极值分布布有效拟拟合了我我们的样样本分布布，只有有个别地地方出现现异常现现象。且且在和两种情情况下的的拟合效效果没有有明显的的区别，为此在在后面我我们只给给出时的的图形。下界0.1550.3331.8222.4660.1660.3221.8112.466估计值0.22290.36671.96672.79910.25540.37731.95582.8118上界0.3440.4222.1553.3990.3880.4332.1443.500区间长度度
42、0.1990.0990.3330.9330.1660.1110.2331.044表7：参参数的最最大似然然估计和和95置信区区间图3：序序列的超限期期望图图4：和和时的QQQ图图图5：和和极值分分布与经经验分布布的比较较对于的估估计 EEmbrrechhetss（19999）认为金金融序列列的的取取值范围围在3到到4之间间，而我我们这里里计算出出来的，几乎不不落在的的区域内内，这主要是是因为我我们对金金融序列列用ARRMA(Assymmmetrric)GARRCH模模型进行行了过滤滤，得到到的序列列在一定定程度上上消除了了的尖峰峰后尾现现象，使使得估计计出来的的值偏小小，这与Embbrecch
43、etts的结结论并不不矛盾。另外在在QQQ图中，我们可可以看到到在0.99的的分为数数之前拟拟合效果果非常好好，在后后面出现现了个别别的异常常值，这这不会影影响我们们对的估估计，因因为只关心00.999分为数数之前的的分布情况况，而不不受到00.999分为数数之后分分布情况况的影响响。但是是的估计计由于受受到0.99分分为数之之后分布布情况的的影响，所以这这会对的的估计造造成一定定的误差差，这也也是为什什么我们们在表77中看到到的955估计计区间明明显比的955估计计区间要要宽的原原因之一一。下面我们们采用BBoottstrrap的的方法来来确定各各参数的的置信区区间，首首先在序序列中进进行3
44、3390次次重复抽抽取得到到一个包包含33390个个数据的的新样本本，利用用这些新新样本估估计、和取值，重重复上述述10000次，则得到四四个估计计序列，其中每个个序列中中包含了了10000关于于某个参参数的估估计值，我们把把他看作作是一个个样本，把这些些样本与与前面估估计出来来的参数数区间相相比较，如图66左其中方方形区域域是、单参数数确定的的95置信区区间，椭椭圆形区区域是、的955联合合置信区区间，图图形中的的散点表表示每次次估计出出来的、的值构构成的点点。从图图形中我我们可以以看到大大概有55的点点落在了了95的联合合置信区区间的外外面，但但是当我我们考虑虑单参数数置信区区间时发发现在
45、区区域以外外的点大大大超过过了5，这表表明单参参数估计计的置信信区间存存在一定定的问题题，类似似的现象象我们还还可以在在和的估计计中（见见图6右右）看到到，联合置置信区间间比较准准确的捕捕获了数数据的特特性，单单参数置置信区间间的表示示方法就就有较大大的误差差。图6：单单参数和和联合置置信区间间，以及及boootsttrapp的估计计点图7：BBoottstrrap方方法得到到的、和的经验验分布图图另外，从从四个参参数估计计序列我我们可以以得到四四个参数数的经验验分布（见图77），通通过线性性插值的的方法得得到参数数的估计计值和995的的置信区区间（见见表8），用BBoottstrrap方方法
46、估计计的置信信区间明明显比最最大似然然估计得得到的置置信区间间要宽，这可能能是因为为我们的的样本与与广义PPareeto分分布并不不是完全全符合，且样本本数量有有限，最大似似然估计计的估计计值是无无偏的，但不是是最小方方差的，造成的的估计的的误差，但是两两种方法法估计出出来的参参数值比比较接近近，特别别是对和和的估计计的误差差都在以以上，没没有明显显的差别别，只需需要对使使用似然然比率计计算出的的置信区区间坐适适当的调调整。下界0.08890.31181.80062.37720.08850.31151.78892.3448估计值0.22220.37701.96662.79910.24420.37771.95552.8116上界0.35510