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1、万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹人不知而不愠，不亦君子乎？论语 第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()(1)2()3()/3;(4)()(0)()/2(0)();hhhhhf x dxA fhA fA f hf x dxA fhA fA f hf x dxff xf xf x dxh ff hahff h 解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对
2、于 m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。（1）若101(1)()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 令()1f x，则 1012hAAA 令()f xx，则 110A hAh 令2()f xx，则 3221123hh Ah A 从而解得 011431313AhAhAh 令3()f xx，则 3()0hhhhf x dxx dx 101()(0)()0A fhA fA f h 故101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h成立。令4()f xx，则 丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。杜甫良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤
3、显祖4551012()52()(0)()3hhhhf x dxx dxhA fhA fA f hh 故此时，101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 故101()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度。（2）若21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 令()1f x，则 1014hAAA 令()f xx，则 110A hAh 令2()f xx，则 32211163hh Ah A 从而解得 011438383AhAhAh 令3()f xx，则 22322()0hhhhf x dxx dx 101()(0)(
4、)0A fhA fA f h 故21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h成立。令4()f xx，则 百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语22452264()5hhhhf x dxx dxh 510116()(0)()3A fhA fA f hh 故此时，21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 因此，21012()()(0)()hhf x dxA fhA fA f h 具有 3 次代数精度。（3）若1121()(1)2()3()/3f x dxff x
5、f x 令()1f x，则 1121()2(1)2()3()/3f x dxff xf x 令()f xx，则 120123xx 令2()f xx，则 22122123xx 从而解得 120.28990.5266xx 或120.68990.1266xx 令3()f xx，则 11311()0f x dxx dx 12(1)2()3()/30ff xf x 故1121()(1)2()3()/3f x dxff xf x不成立。因此，原求积公式具有 2 次代数精度。（4）若20()(0)()/2(0)()hf x dxh ff hahffh 令()1f x，则 0(),hf x dxh 好学近乎知
6、，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸万两黄金容易得，知心一个也难求。曹雪芹2(0)()/2(0)()h ff hahffhh 令()f xx，则 200221()21(0)()/2(0)()2hhf x dxxdxhh ff hahffhh 令2()f xx，则 23002321()31(0)()/2(0)()22hhf x dxx dxhh ff hahffhhah 故有 33211232112hhaha 令3()f xx，则 340024441()41111(0)()/2(0)()12244hhf x dxx dxhh ff hhffhhhh 令4()f xx，则 450025551()5111
7、1(0)()/2(0)()12236hhf x dxx dxhh ff hhffhhhh 故此时，201()(0)()/2(0)(),12hf x dxh ff hhff h 因此，201()(0)()/2(0)()12hf x dxh ff hhff h 具有 3 次代数精度。2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。旧唐书魏征列传吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎？与朋友交而不信乎？传不习乎？论语120121091260(1),8;4(1)(2),10;(3),4;(4)4sin,6;xxdx nxedx nxxdx ndn
8、解：21(1)8,0,1,()84xnabhf xx 复化梯形公式为 781()2()()0.111402kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 7781012()4()2()()0.111576kkkkhSf af xf xf b 121(1)(2)10,0,1,()10 xenabhf xx 复化梯形公式为 9101()2()()1.391482kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 99101012()4()2()()1.454716kkkkhSf af xf xf b(3)4,1,9,2,(),nabhf xx 复化梯形公式为 341()2()()17.227742kkhT
9、f af xf b 复化辛普森公式为 33410122()4()2()()17.322226(4)6,0,()4sin636kkkkhSf af xf xf bnabhf x 复化梯形公式为 勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃561()2()()1.035622kkhTf af xf b 复化辛普森公式为 5561012()4()2()()1.035776kkkkhSf af xf xf b 3。直接验证柯特斯教材公式（2。4）具有 5 交代数精度。证明：柯特斯公式为 01234()7()32()12()32()7()90babaf x
10、dxf xf xf xf xf x 令()1f x，则 01234()907()32()12()32()7()90babaf x dxbaf xf xf xf xf xba 令()f xx，则 2222012341()()217()32()12()32()7()()902bbaaf x dxxdxbabaf xf xf xf xf xba 令2()f xx，则 23333012341()()317()32()12()32()7()()903bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令3()f xx，则 34444012341()()417()32()12()32(
11、)7()()904bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令4()f xx，则 古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮45555012341()()517()32()12()32()7()()905bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令5()f xx，则 56666012341()()617()32()12()32()7()()906bbaaf x dxx dxbabaf xf xf xf xf xba 令6()f xx，则 012340()7()32()12()32()7
12、()90hbaf x dxf xf xf xf xf x 因此，该柯特斯公式具有 5 次代数精度。4。用辛普森公式求积分10 xe dx并估计误差。解：辛普森公式为 ()4()()62baabSf aff b 此时，0,1,(),xabf xe 从而有 1121(14)0.632336See 误差为 4(4)04()()()1802110.00035,(0,1)1802ba baR ffe 5。推导下列三种矩形求积公式：223()()()()();2()()()()();2()()()()();224bababaff x dxba f abaff x dxba f bbaabff x dxba
13、 fba 好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。中庸云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫证明：(1)()()()(),(,)f xf afxaa bQ 两边同时在,a b上积分，得()()()()()bbaaf x dxba f afxa dx 即 2()()()()()2(2)()()()(),(,)baff x dxba f abaf xf bfbxa bQ 两边同时在,a b上积分，得()()()()()bbaaf x dxba f afbx dx 即 22()()()()()2()(3)()()()()(),(,)22222baff x dxba f bbaabababfabf xff
14、xxa bQ 两连边同时在,a b上积分，得 2()()()()()()()22222bbbaaaabababfabf x dxba ffxdxxdx 即 3()()()()();224baabff x dxba fba 6。若用复化梯形公式计算积分10 xIe dx，问区间0,1应人多少等分才能使截断误差不超过51102若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间0,1应分多少等分 解：采用复化梯形公式时，余项为 2()(),(,)12nbaRfh fa b 又10 xIe dxQ 故(),(),0,1.xxf xefxe ab 221()()1212neRfhfh 老当益壮，宁移白首之心；穷且
15、益坚，不坠青云之志。唐王勃老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志。唐王勃若51()102nRf，则 25610he 当对区间0,1进行等分时，1,hn 故有 510212.856en 因此，将区间 213 等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时，余项为 4(4)()()(),(,)1802nba hRffa b 又(),xf xeQ(4)4(4)4(),1()|()|28802880 xnfxeeRfhfh 若51()102nRf，则 45144010he 当对区间0,1进行等分时 1nh 故有 1541440(10)3.71ne 因此，将区间 8 等分时可以满足误差要求。7。如
16、果()0fx，证明用梯形公式计算积分()baIf x dx所得结果比准确值I大，并说明其几何意义。解：采用梯形公式计算积分时，余项为 3()(),12TfRbaa b 又()0fxQ且ba 0TR 穷则独善其身，达则兼善天下。孟子百川东到海，何时复西归？少壮不尽力，老大徒伤悲。汉乐府长歌行又1TRT Q IT 即计算值比准确值大。其几何意义为，()0fx为下凸函数，梯形面积大于曲边梯形面积。8。用龙贝格求积方法计算下列积分，使误差不超过510.10203202(1)(2)sin(3)1.xe dxxxdxxx dx 解：102(1)xIe dx k()0kT()1kT()2kT()3kT 0
17、1 2 3 因此0.713727I 20(2)sinIxxdx k()0kT()1kT 0 610 1 710 2110 因此0I 320(3)1Ixx dx k()0kT()1kT()2kT()3kT()4kT()5kT 0 1 2 3 4 5 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖百学须先立志。朱熹因此10.2075922I 9。用2,3n 的高斯-勒让德公式计算积分 31sin.xexdx 解：31sin.xIexdx 1,3,xQ令2tx，则 1,1t 用2n 的高斯勒让德公式计算积分 0.5555556(0.7745967)(0.7745967)0.888
18、8889(0)10.9484Ifff 用3n 的高斯勒让德公式计算积分 0.3478548 (0.8611363)(0.8611363)0.6521452 (0.3399810)(0.3399810)10.95014Iffff 10 地球卫星轨道是一个椭圆，椭圆周长的计算公式是 22201()sin,cSada 这是a是椭圆的半径轴，c 是地球中心与轨道中心（椭圆中心）的距离，记 h 为近地点距离，H 为远地点距离，R=6371（km）为地球半径，则(2)/2,()/2.aRHhcHh 我国第一颗地球卫星近地点距离 h=439(km)，远地点距离 H=2384(km）。试求卫星轨道的周长。解：
19、6371,439,2384RhHQ 从而有。2220(2)/27782.5()/2972.541()sinaRHhcHhcSada k()0kT()1kT()2kT 0 1 2 人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。刘鹗先天下之忧而忧，后天下之乐而乐。范仲淹1.56464648708()ISkm 即人造卫星轨道的周长为 48708km 11。证明等式 3524sin3!5!nnnnL 试依据sin()(3,6,12)nnn的值，用外推算法求的近似值。解 若()sin,f nnn 又3511sin3!5!xxxxQL 此函数的泰勒展式为 353524()sin11()()3!5!3!5!f
20、 nnnnnnnnnLL()knT 当3n 时,sin2.598076nn 当6n 时,sin3nn 当12n 时,sin3.105829nn 由外推法可得 n()0nT()1nT()2nT 3 6 9 故3.14158 12。用下列方法计算积分31dyy，并比较结果。(1)龙贝格方法；(2)三点及五点高斯公式；其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。论语以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。管子牧民(3)将积分区间分为四等分，用复化两点高斯公式。解 31dyIy(1)采用龙贝格方法可得 k()0kT()1kT()2kT()3kT()4kT 0 1 2 3 4 故有1.098613I (2
21、)采用高斯公式时 31dyIy 此时1,3,y 令,xyz则 1,1,x 111,21(),2Idxxf xx 利用三点高斯公式，则 0.5555556 (0.7745967)(0.7745967)0.8888889(0)1.098039Ifff 利用五点高斯公式，则 0.2369239 (0.9061798)(0.9061798)0.4786287 (0.5384693)(0.5384693)0.5688889(0)1.098609Ifffff(3)采用复化两点高斯公式 将区间1,3四等分，得 12341.522.5311.522.5IIIIIdydydydyyyyy 良辰美景奈何天，便赏心
22、乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖谋事在人，成事在天！增广贤文作变换54xy，则 11111,51(),5(0.5773503)(0.5773503)0.4054054Idxxf xxIff 作变换74xy，则 12121,71(),7(0.5773503)(0.5773503)0.2876712Idxxf xxIff 作变换94xy，则 13131,91(),9(0.5773503)(0.5773503)0.2231405Idxxf xxIff 作变换114xy，则 14141,111(),11(0.5773503)(0.5773503)0.1823204Idxxf xxIff 因
23、此，有 1.098538I 13.用三点公式和积分公式求21()(1)f xx在1.0,1.1x，和处的导数值，并估计误差。()f x的值由下表给出：x F(x)解：21()(1)f xx 我尽一杯，与君发三愿：一愿世清平，二愿身强健，三愿临老头，数与君相见。白居易良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖由带余项的三点求导公式可知 200122102220121()3()4()()()231()()()()261()()4()3()()23hfxf xf xf xfhhfxf xf xfhhfxf xf xf xfh 又012()0.2500,()0.2268,()0
24、.2066,f xf xf xQ 001210220121()3()4()()0.24721()()()0.21721()()4()3()0.1872fxf xf xf xhfxf xf xhfxf xf xf xh 又21()(1)f xxQ 524()(1)fxx 又1.0,1.2xQ()0.75f 故误差分别为 230231232()()2.5 103()()1.25 106()()2.5 103hR xfhR xfhR xf 利用数值积分求导，设()()xfx 11()()()kkxkkxf xf xx dx 由梯形求积公式得 11()()()2kkxkkxhx dxxx 人不知而不愠，不亦君子乎？论语非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮从而有 11()()()()2kkkkhf xf xxx 故 011012212()()()()2()()()()xxf xf xhxxf xf xh 又1111()()()kkxkkxf xf xx dxQ 且1111()()()kkxkkxx dxhxx 从而有 1111()()()()kkkkf xf xhxx 故02201()()()()xxf xf xh 即 011202()()0.464()()0.404()()0.434xxxxxx 解方程组可得 012()0.247()0.217()0.187xxx