《常微分方程初值问题的数值解法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《常微分方程初值问题的数值解法.pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。增广贤文古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志。苏轼第七章 常微分方程初值问题的数值解法 -学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第 n+1 个
2、y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第 n+1 个 y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用 Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种 R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长 h，取节点0,(0
3、,1,.,)nttnh nM，且MtT，则初值问题000(,),()yf t y ttTy ty 的数值解法的一般形式是 1(,.,)0,(0,1,.,)nnnn kF tyyyhnMk 百学须先立志。朱熹非淡泊无以明志，非宁静无以致远。诸葛亮 显示单步法 7.2.1 显示单步法的一般形式 1(,),(0,1,.,1)nnnnyyhty hnM 定理 7.2.1 设增量函数(,)nnty h在区域00(,)|,|,0Dt y httTyhh 内对变量 y 满足 Lipschitz 条件，即存在常数 K，使对 D 内任何两点1(,)t u h和2(,)t u h，不等式1212|(,)(,)|t
4、 u ht u hK uu成立，那么，若单步法的局部截断误差1nR与1(1)php同阶，即11()pnRO h，则单步法的整体截断误差1n与ph同阶，即1()pnO h。(且称单步法为 p 阶方法)7.2.2 Runge-Kutta 方法(显式单步法)1111111(,)(,)(2,3,.,)(2,3,.,)(0,1,.,1)Nnniiinniininijjjiiijjyyhc kkf tykf ta h yhb kiNab iNnM N 级 R-K 方法的局部截断误差为111()()NnnniiiRy ty thc k，其中12,.Nk kk中的ny都换成()ny t。一级一阶R-K（Eul
5、er方法）1(,)nnnnyyhf ty 231()()2nnhRy tO h 二级 R-K 11 12212221()(,)(,)nnnnnnyyh c kc kkf tykf ta h ya hk 良辰美景奈何天，便赏心乐事谁家院。则为你如花美眷，似水流年。汤显祖云路鹏程九万里，雪窗萤火二十年。王实甫最高阶数是二阶，需满足条件122 210102cca c 3342211()()()()644nnnyaaRh yth y tfO h 1c 2c 2a 改进 Euler 法 1/2 1/2 1 中点公式 0 1 1/2 Heun(休恩)方法 1/4 3/4 2/3 四级 R-K 经典 R-K
6、 方法（四阶）112341213243(22)6(,)11(,)2211(,)22(,)nnnnnnnnnnhyykkkkkf tykf th yhkkf th yhkkf th yhk 三、本章思考题 问题：使用数值解法求解初值问题时步长 h 由什么决定 答：步长 h 的选择应由两个条件决定：1、要使求解过程绝对稳定 2、要使每个节点处的整体截断误差1n按模不超过给定的界限。四、本章测验题 题目：用梯形公式求得的近似解为22kkhyh 证明：天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德载物。易经勿以恶小而为之，勿以善小而不为。刘备梯形公式为1,1,12kkkkkkhyyfx yfxy 将,f x yy 代入上式，得：11()2kkkkhyyyy 解得：21110222222kkkkhhhyyyyhhh 因01y,故22kkhyh