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1、自动控制原理-王建辉(4)素材东北大学自动控制原理课程组2第第4章章 根轨迹法根轨迹法学习重点学习重点v了解根轨迹的基本特性和相关概念了解根轨迹的基本特性和相关概念v了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则类原则v掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中根轨迹的绘制过程中v学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能统的性能v了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系了解根轨迹形状与系统性能指标之间的关系东北大学自动控制原理课程组3第第4章章 根轨迹法
2、根轨迹法根轨迹法根轨迹法 一种由一种由开环开环开环开环传递函数求传递函数求闭环闭环闭环闭环特征根的简便方法。特征根的简便方法。它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部它是一种用图解方法表示特征根与系统参数的全部数值关系的方法。数值关系的方法。19481948年，由伊文思（年，由伊文思（W.R.EvansW.R.Evans）提出。）提出。根轨迹法的任务根轨迹法的任务 由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。法确定闭环极点。东北大学自动控制原理课程组44.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹根轨迹 系统开环传递函数的某一个参数从
3、零系统开环传递函数的某一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在在 S S 平面上的变化轨迹。平面上的变化轨迹。东北大学自动控制原理课程组5例例4.1二阶系统的根轨迹二阶系统的根轨迹闭环传递函数闭环传递函数特征方程特征方程闭环极点闭环极点4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念东北大学自动控制原理课程组6 研究开环放大系数研究开环放大系数K K与闭环特征根的关系。当取不同与闭环特征根的关系。当取不同K K值值时，算得闭环特征根如下：时，算得闭环特征根如下：K K0 00 0-2-20.50.5-1-1-1-11 1-1+j-1+j-1-j-1-j
4、2 2-1+j-1+j-1-j-1-j-1+j-1+j-1-j-1-j4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念东北大学自动控制原理课程组74.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念K K由由00变化时，闭环特征根在变化时，闭环特征根在S S平面上移动的平面上移动的轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。根轨迹直观地表示了根轨迹直观地表示了参数参数K K变化时，闭环特变化时，闭环特征根的变化，并且还征根的变化，并且还给出了参数给出了参数K K对闭环特对闭环特征根在征根在S S平面上分布的平面上分布的影响。影响。东北大学自动控制原理课程组8根轨迹方程根轨迹
5、方程控制系统结构图控制系统结构图开环传递函数开环传递函数4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念东北大学自动控制原理课程组9式中：式中：开环零点；开环零点；开环极点。开环极点。闭环系统特征方程式为闭环系统特征方程式为或可写作或可写作4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念东北大学自动控制原理课程组10这这个个方方程程式式表表达达了了开开环环传传递递函函数数与与闭闭环环特特征征方方程程式式的的关关系系，该该方方程程的的解解即即为为闭闭环环特特征征根，因此该式又称为根，因此该式又称为根轨迹方程根轨迹方程。上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨迹
6、方程又可分别表示成：形式，则根轨迹方程又可分别表示成：4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念东北大学自动控制原理课程组11幅值条件：幅值条件：4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念东北大学自动控制原理课程组12辐角条件：（充分必要条件）辐角条件：（充分必要条件）4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念式中：式中：开环有限零点到开环有限零点到s s点的矢量辐角；点的矢量辐角；开环极点到开环极点到s s点的矢量辐角；点的矢量辐角；满足幅值条件和辐角条件的满足幅值条件和辐角条件的s s值，就是特征方程式的值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。根，也就是闭环极点。东北大学自动控制原理
7、课程组134.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念因因为为在在0范范围围内内连连续续变变化化，总总有有一一个个值值能能满满足足幅幅值值条条件件。所所以以，绘绘制制根根轨轨迹迹的的依据是辐角条件。依据是辐角条件。利用幅值条件计算利用幅值条件计算 值比较方便，它可值比较方便，它可以作为计算以作为计算 值的依据。值的依据。东北大学自动控制原理课程组144.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则绘制根轨迹的一般步骤绘制根轨迹的一般步骤（1 1）求出）求出 和和 时的特征根；时的特征根；（2 2）根根据据绘绘制制法法则则大大致致画画出出 时时的的根根轨轨迹迹草图；草图；（3 3）利利用用辐辐角角条条件
8、件，对对根根轨轨迹迹的的某某些些重重要要部部分分精精确确绘制绘制。东北大学自动控制原理课程组154.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.1 4.2.1 绘制根轨迹的一般法则绘制根轨迹的一般法则1 1起点（起点（）时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为上上式式即即为为开开环环系系统统的的特特征征方方程程式式。所所以以，当当 =0 0时时，闭环极点也就是开环极点。闭环极点也就是开环极点。东北大学自动控制原理课程组164.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 2.2.终点终点（）当当 时，闭环系统的特征方程式等效为时，闭环系统的特征方程式等效为上上式式表表明明，当当
9、时时，闭闭环环极极点点也也就就是是开开环环有有限限零零点。点。今今设设 为为m阶阶方方程程，故故有有m个个开开环环有有限限零零点点决决定定了了闭闭环环极极点点的的位位置置，尚尚有有n-m个个闭闭环环极极点点，随随着着 ，它们都趋向无限远（无限零点）它们都趋向无限远（无限零点）。东北大学自动控制原理课程组174.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 3.3.根轨迹分支数和它的对称性根轨迹分支数和它的对称性 根根轨轨迹迹分分支支数数取取决决于于闭闭环环系系统统的的特特征征方方程程式式中中s s的最高次项，即为的最高次项，即为max(n,m)条。条。闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，闭环系统的特
10、征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴故根轨迹都对称于实轴。东北大学自动控制原理课程组184.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹 根根轨轨迹迹左左侧侧的的实实数数零零、极极点点到到根根轨轨迹迹的的矢矢量量辐辐角角总总为为零零；复复平平面面上上的的所所有有零零、极极点点是是共共轭轭的的，它它们们到到实实轴轴上上根根轨轨迹迹的的矢矢量量辐辐角角之之和和也也总总为为零零。根根轨轨迹迹右右侧侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180180。结结论论：在在实实轴轴上上根根轨轨迹迹分分支支存存在在的的区区间间的的右右侧侧，开开
11、环环零、极点数目的总和为奇数。零、极点数目的总和为奇数。东北大学自动控制原理课程组194.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 证明：证明：设设 为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目，由辐角条件由辐角条件 整理得整理得 所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足东北大学自动控制原理课程组204.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例如下图所示，对于根轨迹例如下图所示，对于根轨迹 ；对根轨迹对根轨迹 ；对根轨迹；对根轨迹 。它们都是奇数。它们都是奇数。东北大学自动
12、控制原理课程组214.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 5 5分离点和会合点分离点和会合点 两两条条或或两两条条以以上上的的根根轨轨迹迹分分支支在在 s s 平平面面上上相相遇遇又又立立即即分开的点称为分离点（或会合点）。分开的点称为分离点（或会合点）。在在下下图图上上画画出出了了两两条条根根轨轨迹迹。我我们们把把a a点点叫叫做做分分离离点点，b b点点叫叫做做会会合合点点。它它们们表表示示当当 ，特特征征方方程程式式会会出现重根。出现重根。东北大学自动控制原理课程组224.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 分离点（会合点）的坐标分离点（会合点）的坐标由下列方程所决定由下列方程所决定
13、整理得整理得东北大学自动控制原理课程组234.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 说明：说明：用用分分离离点点方方程程式式求求解解后后，需需将将所所求求结结果果代代入入特特征征方方程程式式中中验验算算。只只有有当当与与之之对对应应的的值值为为正正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。东北大学自动控制原理课程组24n如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，如果实轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。则在此区间上必有分离点。n如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。则在此区间
14、上必有会合点。4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 东北大学自动控制原理课程组254.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-2已知开环传递函数为已知开环传递函数为式中，式中，求分离点和会合点。，求分离点和会合点。解解由已知：由已知：东北大学自动控制原理课程组264.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 代入分离点和会合点方程，有代入分离点和会合点方程，有由此得分离点和会合点分别为由此得分离点和会合点分别为东北大学自动控制原理课程组274.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 该系统的根轨迹图如下图所示。该系统的根轨迹图如下图所示。东北大学自动控制原理课程组284.2 根轨迹的绘制法
15、则根轨迹的绘制法则 6根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。当当nm时时，则则有有（n-m)条条根根轨轨迹迹分分支支终终止止于于无无限限零零点点。这这些些趋趋向向无无穷穷远远的的根根轨轨迹迹分分支支的的渐渐近近线由与实轴的线由与实轴的夹角夹角和和交点交点来确定。来确定。东北大学自动控制原理课程组294.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 无无穷穷远远处处的的特特征征根根，到到S平平面面上上所所有有开开环环有有限限零零点点和和极极点点的矢量辐角都相等，均为的矢量辐角都相等，均为，即，即独立的渐近线只有（独立的渐近线只有（n-m）条。）条
16、。（1）渐近线的倾角）渐近线的倾角代入辐角条件得代入辐角条件得即渐近线的倾角为即渐近线的倾角为东北大学自动控制原理课程组304.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 当当 时，时，即得，即得（2）渐近线的交点）渐近线的交点由幅值条件由幅值条件东北大学自动控制原理课程组314.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 令令上上式式中中等等式式两两边边的的项项系系数数相相等等，即即得得渐渐近近线线的的交点交点由于由于 和和 是实数或共轭复数，故是实数或共轭复数，故 必为实数，必为实数，因此因此渐近线交点总在实轴上渐近线交点总在实轴上。东北大学自动控制原理课程组324.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法
17、则 例例4-3 4-3 设开环传递函数为设开环传递函数为试确定其根轨迹渐近线。试确定其根轨迹渐近线。解解 （1 1）计算渐近线倾角。）计算渐近线倾角。因为因为 ,所以所以可得渐近线倾角为可得渐近线倾角为东北大学自动控制原理课程组334.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 因为因为 ；所以渐近线交点为所以渐近线交点为（2）计算渐近线交点。）计算渐近线交点。东北大学自动控制原理课程组344.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 7根轨迹的出射角和入射角根轨迹的出射角和入射角出出射射角角：根根轨轨迹迹离离开开S S平平面面上上开开环环极极点点处处的的切切线与实轴的夹角。线与实轴的夹角。入入射射角角
18、：根根轨轨迹迹进进入入S S平平面面上上开开环环零零点点处处的的切切线与实轴的夹角。线与实轴的夹角。东北大学自动控制原理课程组354.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-4已知开环传递函数为已知开环传递函数为试计算起点（试计算起点（-1+j1）的斜率。）的斜率。东北大学自动控制原理课程组36把以上诸值代入辐角条件，即得起点（把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为）的出射角为4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 解解令令稍稍为为增增大大，在在（-1+j1）附附近近的的特特征征根根应应满满足足辐辐角条件，即角条件，即解得解得东北大学自动控制原理课程组374.2 根轨
19、迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 同理可得同理可得入射角入射角的计算公式为的计算公式为通过这个例子，可以得到计算通过这个例子，可以得到计算出射角出射角的公式为的公式为东北大学自动控制原理课程组384.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 8根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴相相交交时时，特特征征方方程程式式的的根根，此此时时系系统统处处于于临临界界稳稳定定状状态态，令令此此时时的的。由由此此可可计计算算对对应应的的临界放大系数临界放大系数值。值。确定交点的方法：确定交点的方法：（1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式；（2 2）利用劳斯判据）利用劳斯判据。东北大学
20、自动控制原理课程组394.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-5设有开环传递函数为设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。假设假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中解解 方法（方法（1 1）根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为东北大学自动控制原理课程组404.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 则得则得 亦即亦即解得：解得：，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹的起点；，对应根轨迹与虚轴相交。，对应根轨迹与虚轴相交。交点处的（临界放大系数）为
21、交点处的（临界放大系数）为 东北大学自动控制原理课程组414.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 方法（方法（2 2）用劳斯判据计算交点和临界放大系数用劳斯判据计算交点和临界放大系数劳斯表劳斯表特征方程特征方程东北大学自动控制原理课程组424.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 在第一列中，令在第一列中，令行等于零，则得临界放大系数行等于零，则得临界放大系数根轨迹与虚轴的交点可根据根轨迹与虚轴的交点可根据行的辅助方程求得，即行的辅助方程求得，即令上式中令上式中，即得根轨迹与虚轴的交点为，即得根轨迹与虚轴的交点为东北大学自动控制原理课程组434.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 9根轨迹
22、的走向根轨迹的走向 如如果果特特征征方方程程的的阶阶次次 ，则则一一些些根根轨轨迹迹右右行行时时，另一些根轨迹必左行另一些根轨迹必左行。说明：把特征方程式改为说明：把特征方程式改为式式中中：是是一一个个常常数数，它它是是各各特特征征根根之之和和。这这表表明明，随着随着值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。东北大学自动控制原理课程组444.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 根轨迹绘制法则归纳如下：根轨迹绘制法则归纳如下：（1 1）起点（起点（）。开环传递函数的极点即根轨迹）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。的起点。（2 2）终点（终点（
23、）。根轨迹的终点即开环传递函数）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括的零点（包括 个有限零点和个有限零点和个无限零点）个无限零点）。（3 3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为，根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。（4 4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。极点之和应是奇数。东北大学自动控制原理课程组454.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（5 5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程 （6 6）根轨迹的渐近线。）根轨迹的渐近线。渐近线的倾角渐近线的倾
24、角 渐近线交点渐近线交点 东北大学自动控制原理课程组464.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（9 9）根轨迹走向。）根轨迹走向。如果特征方程的阶次如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行右行时，另一些根轨迹必左行。（8 8）根轨迹与虚轴交点。把）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式代入特征方程式，即，即可解出交点处的临界可解出交点处的临界值和交点坐标。值和交点坐标。入射角入射角出射角出射角（7 7）根轨迹的出射角与入射角。）根轨迹的出射角与入射角。东北大学自动控制原理课程组474.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.2 4.2.2 自动控制系统的
25、根轨迹自动控制系统的根轨迹1.1.二阶系统二阶系统设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为东北大学自动控制原理课程组484.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 二阶系统的根轨迹图如右图所示。二阶系统的根轨迹图如右图所示。如果要使得系统的阻尼比为如果要使得系统的阻尼比为 则从原点作阻尼线则从原点作阻尼线0R,交根轨迹于交根轨迹于R（见右图）。（见右图）。开环放大系数开环放大系数 应为应为 上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同参数相同 东北大学自动控制原理课程组494.2 根轨迹的
26、绘制法则根轨迹的绘制法则 2 2开环具有零点的二阶系统开环具有零点的二阶系统 二二阶阶系系统统增增加加一一个个零零点点时时，系系统统结结构构图图如如下下图图所所示示。它的开环传递函数为它的开环传递函数为东北大学自动控制原理课程组504.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 由由下下图图知知，复复平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是一一个个圆圆（证证明明详详见见教教材材）。这个圆与实轴的交点即为这个圆与实轴的交点即为分离点和会合点：分离点和会合点：本本例例说说明明：正正向向通通道道内内适适当当引引进进零零点点，将将使使根根轨轨迹迹向向左左偏偏移移，能改善系统动态品质。能改善系统动态品质。时的根轨迹图
27、时的根轨迹图 东北大学自动控制原理课程组514.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 3.三阶系统三阶系统二二阶阶系系统统附附加加一一个个极极点点的的系系统统的的结结构构图图如如下下图图所所示。它的开环传递函数为示。它的开环传递函数为在在时，分离点为时，分离点为和和。因为在。因为在-1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为之间不可能有根轨迹，故分离点应为。东北大学自动控制原理课程组524.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 当当时，根轨迹与虚轴交点为时，根轨迹与虚轴交点为对应的根轨迹放大系数为对应的根轨迹放大系数为考虑到考虑到，于是得临界开，于是得临界开环放大系数为环放大系数为根轨迹绘于右图。
28、根轨迹绘于右图。本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。东北大学自动控制原理课程组534.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4 4具有时滞环节的系统具有时滞环节的系统假设假设,时滞系统的结构如图所示时滞系统的结构如图所示,其开环传递函数为其开环传递函数为闭环系统的特征方程式为闭环系统的特征方程式为东北大学自动控制原理课程组544.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 假假设设特特征征根根，则则满满足足特特征征根根的的幅幅值值和和辐辐角角条条件
29、为件为与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则根轨迹绘制法则要有所变化。要有所变化。东北大学自动控制原理课程组554.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 时滞系统的根轨迹绘制法则：时滞系统的根轨迹绘制法则：（1）起点（起点（）。当）。当时，除开环极点时，除开环极点是起点外，是起点外，也是起点。也是起点。（2）终终点点（）。当当时时，除除开开环环有有限限零零点点是终点外，是终点外，也是终点。也是终点。（3）根根轨轨迹迹数数目目及及对对称称性性。根根轨轨迹迹有有无无限限多多条条分分支支。根轨迹对称于实轴。根轨迹对称于实轴。（4
30、）实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹。实实轴轴上上根根轨轨迹迹右右侧侧的的开开环环零零、极点之和为奇数。极点之和为奇数。东北大学自动控制原理课程组564.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（5）分离点与会合点。分离点与会合点。（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为渐近线。水平线，与虚轴交点为东北大学自动控制原理课程组574.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（7 7）出射角与入射角。）出射角与入射角。（8）根轨迹与虚轴交点。根轨迹与虚轴交点。临界根轨迹放大系数临界根轨迹放大系数 东北大学自动控制原理课程组584.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（9）复平面上的根轨迹。复平面上的根轨迹。由辐角条件
31、，假设由辐角条件，假设 得得例4-6 设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为 试绘制其根轨迹。试绘制其根轨迹。东北大学自动控制原理课程组594.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 解解（1）起起点点 为为：；其其他他起起点点为为 ，其渐近线为，其渐近线为 （2）终点终点 为：为：，其渐近线同上。，其渐近线同上。（3）在实轴的在实轴的 区间有根轨迹。区间有根轨迹。（4）分离点位置按式分离点位置按式（4-25）计算，得计算，得东北大学自动控制原理课程组604.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 由此算得由此算得当当时时，得得，。因因根根轨轨迹迹位位于于 间，故分离点是间，故分离点是。（5
32、）根轨迹与虚轴交点。当根轨迹与虚轴交点。当 ，得，得 由此得由此得 对应的临界根轨迹放大系数为对应的临界根轨迹放大系数为同理可计算同理可计算 时的时的 和和 值值。根据以上计算结根据以上计算结果作的根轨迹如下图所示。果作的根轨迹如下图所示。东北大学自动控制原理课程组614.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 当当滞滞后后时时间间很很小小时时，根根轨轨迹迹与与虚虚交交点点的的值值将将很很大大，临临界界根根轨轨迹迹放放大大系系数数也也是是很很大大。这这时时时时滞滞环环节节的的影影响响减减弱弱。因因此此，对对于于滞滞后后时时间间为为毫毫秒秒级级的的元元件件，我我们们常常把把它它的的传传递递函函数数
33、近近似似地地认认为为，即即把把它它等等效效成成为为一个惯性元件。一个惯性元件。东北大学自动控制原理课程组624.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.3 4.2.3 零度根轨迹零度根轨迹 零零度度根根轨轨迹迹：根根轨轨迹迹的的辐辐角角条条件件不不是是 ，而而是是 的情况。的情况。图图示示系系统统有有一一个个零零点点在在S右半平面，它的传递函数为右半平面，它的传递函数为东北大学自动控制原理课程组634.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 它的闭环特征方程式为它的闭环特征方程式为 亦即亦即 幅值条件幅值条件辐角条件辐角条件由于辐角条件是偶数个由于辐角条件是偶数个 ，故名为零度根轨迹。，故
34、名为零度根轨迹。东北大学自动控制原理课程组644.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：零度根轨迹的绘制，改变了与幅角有关的规则：（1 1）实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹。实实轴轴上上根根轨轨迹迹右右侧侧的的零零点点、极极点点之之和和应是偶数。应是偶数。（2 2）根轨迹的渐近线。倾角根轨迹的渐近线。倾角（3 3）根轨迹的出射角与入射角。根轨迹的出射角与入射角。入射角入射角出射角出射角东北大学自动控制原理课程组654.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-7 4-7 试绘制下图示系统的根轨迹。试绘制下图示系统的根轨迹。解解（1）二个开环极点：二个开
35、环极点：，；一个有限零点：一个有限零点：和一个无限零点。和一个无限零点。东北大学自动控制原理课程组664.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则（2）实实轴轴上上根根轨轨迹迹。确确定定这这一一系系统统实实轴轴上上轨轨迹迹的的原原则则是是，它它右右侧侧的的零零、极极点点数数目目之之和和应应是是偶偶数数。因因为为只只有有这这样样，才能满足辐角条件。才能满足辐角条件。因此在实轴的因此在实轴的 和和区间存在根轨迹。区间存在根轨迹。（3）分离点与会合点分离点与会合点 分离点与会合点分别为分离点与会合点分别为 东北大学自动控制原理课程组674.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 根轨迹如下图所示。根轨迹如
36、下图所示。不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零不难证明，复平面上的轨迹是一个圆，圆心为有限零点点 ，半径为，半径为 。东北大学自动控制原理课程组684.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 4.2.4 4.2.4 参数根轨迹参数根轨迹参参数数根根轨轨迹迹（或或广广义义根根轨轨迹迹）：以以以以外外的的参参数数作作为为变变量的根轨迹，称为参数根轨迹。量的根轨迹，称为参数根轨迹。1.1.一个参数变化的根轨迹一个参数变化的根轨迹假假设设系系统统的的可可变变参参数数是是某某一一时时间间常常数数T T，原原特特征征方方程程式式变变为为式式中中，、分分别别为为等等效效的的开开环环传传递递函函数数分
37、分子子、分分母母多多项项式，式，T的位置与原根轨迹放大系数的位置与原根轨迹放大系数完全相同。完全相同。东北大学自动控制原理课程组694.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 例例4-9 4-9 给定控制系统的开环传递函数为给定控制系统的开环传递函数为 试试作作出出以以为为参参变变量量的的根根轨轨迹迹，并并利利用用根根轨轨迹迹分分析析取取何何值值时时闭环系统稳定。闭环系统稳定。解解 闭环特征方程闭环特征方程改写为改写为 等效的开环传递函数为等效的开环传递函数为 该系统在绘制以为该系统在绘制以为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。东北大学自动
38、控制原理课程组70相应的根轨迹绘于右图。相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当由图可知，当 时时系统处于临界稳定状态。系统处于临界稳定状态。闭环系统稳定的范围：闭环系统稳定的范围：例例4-9系统的根轨迹系统的根轨迹本本例例说说明明，尽尽管管在在许许多多情情况况下下，都都是是绘绘制制常常义义根根轨轨迹迹，但但是是在在绘绘制制参参数数根根轨轨迹迹、研研究究正正反反馈馈系系统统、处处理理非非最最小小相相位位系系统统时时，都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。都有可能遇到绘制零度根轨迹的情形。4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 东北大学自动控制原理课程组714.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则 2.
39、几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）几个参数变化的根轨迹（根轨迹簇）在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系在某些场合，需要研究几个参数同时变化对系统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数统性能的影响。例如在设计一个校正装置传递函数的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时的零、极点时，就需研究这些零、极点取不同值时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时对系统性能的影响。为此，需要绘制几个参数同时变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，变化时的根轨迹，所作出的根轨迹将是一组曲线，称为根轨迹簇。称为根轨迹簇。东北大学自动控制原理课程组724.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则例例4
40、-104-10 一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以一单位反馈控制系统如图所示，试绘制以K和和为为参数的根轨迹。参数的根轨迹。解解 系统闭环特征方程为系统闭环特征方程为先令先令，则上式变为，则上式变为或写作或写作东北大学自动控制原理课程组734.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则令令据此作出据此作出对应的根轨迹，如下图对应的根轨迹，如下图a所示。所示。这是这是时，以时，以K为参变量的根轨迹。为参变量的根轨迹。其次考虑其次考虑，把闭环特征方程改写为，把闭环特征方程改写为 令令东北大学自动控制原理课程组74它它的的极极点点为为，零零点点为为0。不不难难证证明明，对对应应特特征征方方程程的的根根轨
41、迹为一圆弧，其方程为轨迹为一圆弧，其方程为4.2 根轨迹的绘制法则根轨迹的绘制法则例如令例如令K=9，则，则下图下图b为为K取不同值时所作的根轨迹簇。取不同值时所作的根轨迹簇。东北大学自动控制原理课程组754.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 根根轨轨迹迹绘绘出出以以后后，对对于于一一定定的的值值，即即可可利利用用幅幅值值条条件件，确确定定相相应应的的特特征征根根（闭闭环环极极点点）。如如果果闭闭环环系系统统的的零零点点是是已已知知的的，则则可可以以根根据据闭闭环环系系统统零零、极极点点的的位位置置以以及及已已知的输入信号，分析系统的暂态特性。知的输入信号，分析系统
42、的暂态特性。用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤用根轨迹法分析控制系统的步骤:1.1.画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图画出系统的根轨迹图2.2.在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置在根轨迹上确定闭环零、极点的位置3.3.根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能根据系统闭环零极点的分布分析系统的性能东北大学自动控制原理课程组764.3.1 在根轨迹上确定特征根在根轨迹上确定特征根 根据已知的根据
43、已知的 值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可值，在根轨迹上确定特征根的位置时，可以采用试探法。以采用试探法。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 1.1.取试验点取试验点 2.2.连接连接 与开环零极点与开环零极点东北大学自动控制原理课程组77对于对于 的系统，可先在实轴上选实验点，的系统，可先在实轴上选实验点，找出闭环实极点后再确定闭环复极点。找出闭环实极点后再确定闭环复极点。例例4-11 系统开环传函为系统开环传函为试确定试确定 的闭环极点。的闭环极点。解解 闭环特征方程为闭环特征方程为4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 东北大学自
44、动控制原理课程组78由图可知：在由图可知：在 有一实根，设其为有一实根，设其为:4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 实根求法：实根求法：1.试探法试探法 2.作图法作图法由由求得求得 的一个特征根为的一个特征根为东北大学自动控制原理课程组79设另外两个复根为：设另外两个复根为：由特征方程得由特征方程得:根据代数方程根与系数的关系有：根据代数方程根与系数的关系有：可求得二共轭复根可求得二共轭复根:4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 东北大学自动控制原理课程组804.3.2 用根轨迹法分析系统的性能用根轨迹法分析系统的性能4.3 用根轨迹
45、法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 用根轨迹法分析控制系统：用根轨迹法分析控制系统：定性分析稳定性分析。定性分析稳定性分析。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。定量分析暂态响应分析，定量计算性能指标。控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹控制系统的性能是由闭环零、极点的位置决定的。根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的是闭环特征根随参数变化的轨迹，根轨迹法分析系统性能的最最大优点大优点就是可以就是可以直观直观地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。地看出系统参数变化时，闭环极点的变化。选择适当的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系选择适当
46、的参数，使闭环极点位于恰当的位置，获得理想的系统性能。统性能。东北大学自动控制原理课程组81(1)(1)闭环系统有两个负实极点闭环系统有两个负实极点暂暂态态过过程程主主要要决决定定于于离离虚虚轴轴近近的的极点。极点。一般当时一般当时 ，可忽略极点，可忽略极点的影响。的影响。4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按由根轨迹求出闭环系统极点和零点的位置后，就可以按第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。第三章所介绍的方法来分析系统的暂态品质。东北大学自动控制原理课程组824.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统
47、的暂态特性 假设假设 不变不变随着阻尼角随着阻尼角 的改变，极点将沿着以的改变，极点将沿着以 为半径的圆弧移动。为半径的圆弧移动。(2)(2)闭环极点为一对复极点闭环极点为一对复极点由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 决定系统的暂态特性。决定系统的暂态特性。东北大学自动控制原理课程组834.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 假设假设 不变不变则随着则随着 增大，极点将沿矢量方向延伸。增大，极点将沿矢量方向延伸。等阻尼线等阻尼线东北大学自动控制原理课程组844.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时
48、间。是表征系统指数衰减的系数，它决定系统的调节时间。有有相相同同的的系系统统，将将有有相相同同的的衰衰减减速速度度和和大大致致相相同同的的调调节节时间。时间。等衰减系数线等衰减系数线东北大学自动控制原理课程组854.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 (3)(3)闭环系统有一对复极点外加一个实极点闭环系统有一对复极点外加一个实极点系统超调量减小，调节时间增长系统超调量减小，调节时间增长一对复极点和一个实极点一对复极点和一个实极点 当当实实极极点点与与虚虚轴轴的的距距离离比比复复极极点点实实部部与与虚虚轴轴的的距距离离大大5倍倍以以上上时时，可可以以不不考考虑虑这这一一
49、负负极极点点的的影影响响，直直接接用用二二阶阶系系统统的的指指标标来来分分析系统的暂态品质。析系统的暂态品质。东北大学自动控制原理课程组86一对复极点和一个零点一对复极点和一个零点 4.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 （4）闭环系统有一对复极点外加一个零点）闭环系统有一对复极点外加一个零点将增大系统超调量将增大系统超调量但是，如果但是，如果，则可以不计零点的影响，直接用则可以不计零点的影响，直接用二阶系统的指标来分析系统的暂二阶系统的指标来分析系统的暂态品质。态品质。东北大学自动控制原理课程组874.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 （
50、5）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为）闭环系统中一对相距很近的实极点和零点称为偶子。偶子。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。偶子对系统暂态响应的影响很小，可以忽略不计。用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以用根轨迹法分析系统暂态品质的最大优点是可以看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统看出开环系统放大系数（或其它参数）变化时，系统暂态品质怎样变化。暂态品质怎样变化。东北大学自动控制原理课程组884.3 用根轨迹法分析系统的暂态特性用根轨迹法分析系统的暂态特性 4.3.3 开环零点对系统根轨迹的影响开环零点对系统根轨迹的影响 增加开环零点将引起系统根轨迹形状的变化，