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1、第十二章概率、随机变量及其概率分布12.2古典概型内容索引基础知识 自主学习题型分类 深度剖析审题路线图系列思想方法 感悟提高练出高分基础知识自主学习1.基本事件的特点(1)任何两个基本事件是 的；(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成 的和.2.古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.(1)所有的基本事件 ；(2)每个基本事件的发生都是 .互斥基本事件只有有限个等可能的知识梳理1 1答案3.如果1试验的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是 ，如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为P(A).4.古典概型的概率公
2、式P(A).答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.()(3)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型.()思考辨析答案(4)(教材改编)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 .()(5)从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.()(6)在古典概型中，如
3、果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为 .()答案1.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是_.解析解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，考点自测2 2解析答案123452.(2014陕西改编)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为_.解析解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，解析答案123453.(2015课标全国改编)如果3个正整数可作为
4、一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为_.解解析析从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10种不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，解析答案123454.(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为_.解析解析掷两个骰子一次，向上的点数共6636种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，解析答案123455.从1,2,3,4,5,6这6个数字中，任取2个数字相加
5、，其和为偶数的概率是_.解析解析从6个数字中任取2个数字的可能情况有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15种，其中和为偶数的情况有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,6)，共6种，12345解析答案返回题型分类深度剖析例例1袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球.(1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解解由于共
6、有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不同的摸法.又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号为基本事件的概率模型为古典概型.题型一基本事件与古典概型的判断解析答案(2)若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型？解解由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A：“摸到白球”，B：“摸到黑球”，C：“摸到红球”，又因为所有球大小相同，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，所以以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型.解析答案思维升华下列试验中，是古典概型的个数为_.向上抛一枚质地不均匀的
7、硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率.解析解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型.的基本事件都不是有限个，不是古典概型.符合古典概型的特点，是古典概型问题.1跟踪训练1解析答案例例2(1)(2015广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球.从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为_.题型二古典概型的求法解析答案(2)(2015江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，
8、1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_.设取出两只球颜色不同为事件A.解析答案(3)(2014四川)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；解析答案求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率.解解设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，解析答案1.本例(2)中，将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2,3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率.解解基本事件数仍为6.设
9、标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种，引申探究解析答案2.本例(2)中，条件不变改为有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率.解析答案思维升华将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：(1)两数中至少有一个奇数的概率；(2)以第一次向上的点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点(x，y)在圆x2y215的外部或圆上的概率.跟踪训练2解析答案例例3从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为_ kg；若要从体重在60,70)，70,8
10、0)，80,90三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为_.题型三古典概型与统计的综合应用解析答案思维升华(2014山东)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；所以样本中包含三个地区的个体数量分别是所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.跟踪训练3解析答案(2)若在这6件样品中随机抽取
11、2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.解析答案返回审题路线图系列典典例例(14分)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n90的概率是_.解析解析(m，n)(1,1)mnn.基本事件总共有6636(个)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,4)，(6,1)，(6,5)，共1234515(个).12345678910
12、1112131415解析答案5.如图，三行三列的方阵中有九个数aij(i1,2,3；j1,2,3)，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是_.123456789101112131415解析答案6.有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本，若将其随机地抽取并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是_.解析解析语文、数学只有一科的两本书相邻，123456789101112131415解析答案7.用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是_.解解析析由于只有两种颜色，不妨将其设为1和2，若只用一种颜色有11
13、1；222.若用两种颜色有122；212；221；211；121；112.所以基本事件共有8种.123456789101112131415解析答案8.连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，记“两次向上的数字之和等于m”为事件A，则P(A)最大时，m_.解解析析112,123,134,145,156,167,213,224,235,246,257,268依次列出m的可能的值，知7出现次数最多.7123456789101112131415解析答案9.设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，令平面向量a(m，n)，b(1，3).(1)求使得事件“ab”发生的概率；解解由
14、题意知，m1,2,3,4,5,6，n1,2,3,4,5,6，故(m，n)所有可能的取法共36种.ab，即m3n0，即m3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，123456789101112131415解析答案(2)求使得事件“|a|b|”发生的概率.解解|a|b|，即m2n210，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，123456789101112131415解析答案10.某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；解解由分层抽样定义知，故从
15、小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1.123456789101112131415解析答案(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，求抽到小学、中学各一所的概率.解解记“抽到小学、中学各一所”为事件A，123456789101112131415解析答案11.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于_.解析解析如图所示，从正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选4个顶点，可以看作随机选2个顶点，剩下的4个顶点构成四边形，有A、B，A、C，A、D，A、E，A、F，B、C，B、D，B、E，B、F，C、D，C、E，C、F，D、E，D、F
16、，E、F，共15种.若要构成矩形，只要选相对顶点即可，123456789101112131415解析答案123456789101112131415解析答案123456789101112131415即n29n80，(n1)(n8)0(n2)，因此n8，解析答案其展开式中的有理项共有3项，12345678910111213141513.一个袋子中装有六个大小形状完全相同的小球，其中一个编号为1，两个编号为2，三个编号为3.现从中任取一球，记下编号后放回，再任取一球，则两次取出的球的编号之和等于4的概率是_.解析解析基本事件数为6636，编号之和为4的有：10种，123456789101112131
17、415解析答案14.甲、乙两人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面数字(如果甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2,3)，写出甲、乙两人抽到的牌的所有情况；解解方片4用4表示，则甲、乙两人抽到的牌的所有情况为：(2,3)，(2,4)，(2,4)，(3,2)，(3,4)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4，2)，(4，3)，(4，4)共12种不同的情况.123456789101112131415解析答案(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的
18、牌的牌面数字比3大的概率是多少？解解甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4，123456789101112131415解析答案(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由.解解甲抽到的牌的牌面数字比乙大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4，2)，(4，3)，共5种情况.123456789101112131415解析答案15.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为 ，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的.(1)求袋中原有白球的个数；则n(n1)6，解得n3(舍去n2)，即袋中原有3个白球.123456789101112131415解析答案(2)求取球2次即终止的概率；解解设事件A为“取球2次即终止”.取球2次即终止，即乙第一次取到的是白球而甲取到的是黑球，123456789101112131415解析答案(3)求甲取到白球的概率.解解设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件Ai，i1,2,3,4,5，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.所以P(B)P(A1A3A5)P(A1)P(A3)P(A5)123456789101112131415解析答案返回