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1、第二部分 专题综合复习专题五 代数几何综合 专题分析专题分析 代数几何综合题是指需要综合运用代数、几何这两部分知识解决的问题，是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型.其题型可分为：方程与几何综合问题；函数与几何综合问题；动态几何中的函数问题；直角坐标系中的几何问题；几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题.解决这类问题需要灵活运用数学思想方法，如数形结合思想、数学建模思想、分类讨论思想、转化的思想、函数与方程思想等.专题分析 纵观广东省近八年中考数学压轴题都是“动态几何中的函数问题”，以图形的运动变化为背景；其背景图形可以是三角形、矩形、梯形、正方形，或抛物线；其运动方式可以是单点运动，双点运
2、动，线段运动，或平面图形运动；其问题的核心是：探索变量之间的对应关系（变化规律）或者探索变化过程中的某种瞬时状态.在“动态几何中的函数问题”中，自变量往往是图形运动的时间或者距离，因变量则往往是线段的长度或者封闭图形的面积.因此，线段长度和图形面积的表示就成为解决问题的关键.而图形的面积无非是底和高的乘积，所以，掌握线段长度的计算方法是解决动态问题的杀手锏.计算线段的长度的主要途径有四种：勾股定理、相似三角形的性质、直角三角形的边角关系以及坐标平面内两点间的距离.考点统计广东省省卷近八年中考统计：年份题号、分值图形背景运动方式问题的核心200622题、9分梯形单点运动探索变化过程中的某种瞬时状
3、态200722题、9分正方形双点运动求三角形面积与线段长度的函数关系式200822题、9分三角形平面图形运动求重叠部分面积与线段长度的函数关系式200922题、9分正方形单点运动求梯形面积与线段长度的函数关系式201022题、9分矩形双点运动探索变化过程中的某种瞬时状态201122题、9分抛物线单点运动求线段长度与运动时间的函数关系式201222题、9分抛物线单点运动求三角形面积与线段长度的函数关系式201325题、9分三角形平面图形运动求重叠部分面积与线段长度的函数解析式典例解析考点：利用勾股定理计算线段长度考点：利用勾股定理计算线段长度4（即M从D到A运动的时间段）试问为何值时，QWP；（
4、1）说明例1.（2010广东）如图1-1，图1-2所示，矩形ABCD的边长AB6，BC4，点F在DC上，DF2.动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动连结FM、MN、FN，当F、N、M不在同一条直线时，可得，过 PQW设动点M、N的速度都是1个单位秒，M、N运动的时间为三边的中点作秒试解答下列问题：（2）设0PQW为直角三角形？当在何范围时，PQW不为直角三角形？为何值时，线段MN最短？求此时MN的值（3）问当 图1-1 图1-2典例解析【方法点拨】（1）根据“有一个角是直角的三角形是直
5、角三角形”这一概念，第（2）问的解答需分类讨论.分类讨论，又称分情况讨论.当一个数学问题在一定的题设下，其结论并不唯一时，就需要将这一数学问题根据题设的特点和要求、按照一定的标准分为几种情况，在每一种情况中分别求解，最后再将各种情况下得到的答案进行归纳小结，综合得出结论.引起分类讨论的原因通常有：由数学概念引起的分类讨论；由数学运算要求引起的分类讨论；由图形位置不确定引起的分类讨论；由参数的变化引起的分类讨论.分类的原则：分类中的每一部分相互独立（即“不重”）；一次分类按同一个标准（即“不漏”）；分类讨论应逐级进行.（2）判断一个三角形是直角三角形的方法：证有一个角为90或两边互相垂直；勾股定
6、理逆定理；若三角形一边上的中线等于这条边的一半，则这个三角形是直角三角形.典例解析（1）证明：PQFN，PWMN QPW=PWF，PWF=MNF QPW=MNF 同理可得：PQW=NFM FMNQWP【解答】【分析】本题是双动点问题，是一道与矩形、相似三角形、勾股定理、二次函数最值相关的综合题.解题的关键是利用勾股定理计算运动过程中相关线段的长度.典例解析【解答】（2）解：FMNQWP当且仅当FMN为直角三角形时，QWP为直角三角形 过点N作NGDC于点G，则CG=BN=，NG=BC=4矩形ABCD中，AB6，BC4AD=BC=4，DC=AB=6CF=404AM=AD-DM=4-，FG=CF-
7、CG=4-，AN=6-若FMN=90，则即整理得，方程无实根即解得，（舍去）.即解得，当时，PQW为直角三角形；FMN90.若FNM=90，则若MFN=90，则，x4时，PQW不为直角三角形.当0 x典例解析【解答】（3）又当x=5时，MN最短为OxAMNBPC图2典例解析典例解析考点：利用坐标平面内两点间的距离计算线段长度考点：利用坐标平面内两点间的距离计算线段长度例2.（2011广东）如图2，抛物线 与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作
8、PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.典例解析【解答】【分析】本题是单动点问题，是一道与一次函数、二次函数、平行四边形、菱形相关的综合题.解题的关键是利用坐标平面内两点间的距离计算运动过程中相关线段的长度.（1）抛物线与y轴交于A点把B(3,2.5)代入y=解得，直线AB的解析式为y=设直线AB的解析式为y=A(0,1)过点A
9、的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BCx轴，垂足为点C(3，0)B(3,2.5)典例解析【解答】（2）PNx轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，且P点的坐标为典例解析【解答】（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有解得t1=1,t2=2又在RtMPC中，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形故又在RtMPC中，故MNMC，此时四边形BCMN不是菱形.，NPNP=4，当t=1时，所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形.故当t=2时，MPMP=2，典例解析【方法点拨】设直角坐标平面内有两点若AB/轴，则AB=；若AB/y轴，则AB=若AB与两坐标轴都不平行，则可构造
10、全等三角形或利用勾股定理求AB.【变式】（2012深圳）如图3，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由典例解析【解答】（1）抛物线经过A(4，0)、B(1，0)，设函数解析式为：y=a（x4）（x1）又由抛物线经过C（2，6），6=a（24）（21），解得：a=1 经过A、B、C三点的抛物线解析式为：y=（x4）（x1），即y=x23x4（2）证明：设
11、直线BC的函数解析式为y=kx+b，点E的坐标为（0，2）AE=CE，解得：由题意得：直线BC的解析式为y=2x+2典例解析【解答】（3）相似.理由如下：设直线AD的解析式为y=k1x+b1，直线AD的解析式为y=x+4.，解得：点F的坐标为（），则又AB=5，又ABF=CBA，解得：则 联立直线AD与直线BC的函数解析式可得：ABFCBA以A、B、F为顶点的三角形与 ABC相似。典例解析典例解析考点：利用相似三角形的性质或直角三角形的边角关系计算线段长度考点：利用相似三角形的性质或直角三角形的边角关系计算线段长度例3.（2013广东）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=A
12、C=6，在三角板DEF中，FDE=90,DF=4,DE=.将这副直角三角板按如图4-1所示位置摆放,点B与点F重合,直角边BA与FD在同一条直线上.现固定三角板ABC,将三角板DEF沿射线BA方向平行移动,当点F运动到点A时停止运动.(1)如图4-2,当三角板DEF运动到点D与点A重合时,设EF与BC交于点M,则EMC=_度；(2)如图4-3，在三角板DEF运动过程中,当EF经过点C时,求FC的长;(3)在三角板DEF运动过程中,设BF=,两块三角板重叠部分面积为 ,求 与 的函数解析式,并求出对应的 取值范围.【方法点拨方法点拨】图形位置不确定时，需根据图形在不同位置时的特征图形位置不确定时
13、，需根据图形在不同位置时的特征进行分类讨论进行分类讨论.寻找运动过程中的特殊位置（临界点）是正确分类的寻找运动过程中的特殊位置（临界点）是正确分类的关键关键.15 典例解析【解答】【分析】本题是一道与二次函数、相似三角形、直角三角形相关的综合题.解题的关键是利用相似三角形的性质及直角三角形的边角关系求线段长.（2）在RtCFA中,AC=6,ACF=E=30,=6FC=图4-4(3)如图(4),设过点M作MNAB于点N,MNDE即则MNDE,NMB=B=45,NB=NM,NF=NB-FB=MN-xFMNFED,时,如图(4),设DE与BC相交于点G当即;则DG=DB=4+x典例解析【解答】图4-
14、6当时,如图(6)，AF=6x，AHF=E=30图4-5当时,如图(5)即综上所述，当时，当时，当时，设AC与EF交于点H，AH=典例解析典例解析考点：利用相似三角形的性质求面积关系考点：利用相似三角形的性质求面积关系例4（2012广东）如图5，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC 图5【方法点拨】在动态几何中求三角形面积与线段长度之间的函数关系式：可利用底与高的积求解；利用“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”这一性质求解.另外，求三角形面积的最大值，实际上是求对应函数的最大值.（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），
15、过点E作直线 平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）当x=0时，y=9，则：C（0，9）；典例解析【解答】【分析】本题是一道与二次函数、相似三角形、圆相关的综合题.解题的关键是利用“相似三角形的面积之比等于相似比的平方”求函数关系式.；（2）EDBC，（1）已知：抛物线y=x2 x9；x2x9=0，得：x1=3，x2=6，当y=0时，则：A（3，0）、B（6，0）；AB=9，OC=9AEDABC，m2（0m9）s=（
16、）2，即：=（）2，得：典例解析【解答】则：SEDC=SAECSAED=m2+m=（m）2+CDE的最大面积为，此时，AE=m=，BE=ABAE=过E作EFBC于F，则RtBEFRtBCO，得：=，即：=EF=；（3）SAEC=AEOC=m，SAED=s=m2；典例解析【变式】图6 ，对角线AC、BD交于H，平行于线段BD的两条直线MN、RQ同时从点A出发沿AC方向向点C匀速平移，分别交等腰梯形ABCD的边于M、N和R、Q，分别交对角线AC于F、G；当直线RQ到达点C时，两直线同时停止移动记等腰梯形ABCD被直线MN扫过的图形面积为S1、被直线RQ扫过的图形面积为S2，若直线MN平移的速度为1
17、单位/秒，直线RQ平移的速度为2单位/秒，设两直线移动的时间为x秒（2012珠海）如图6，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=，DC=，高CE=（1）填空：AHB=_；AC=_；（2）若S2=3S1，求x；（3）设S2=mS1，求m的变化范围【分析】本题是线段运动问题，是一道与等腰梯形、相似、一元二次方程、二次函数相关的综合题.利用相似三角形的性质求面积之比，从而列出方程、求得函数关系式是解题的关键.典例解析【解答】图6-1（1）如图，过点C作CKBD交AB的延长线于K，四边形DBKC是平行四边形，四边形ABCD是等腰梯形，CDAB，CK=BD，BK=CD=+=4AK=AB+BK=3BD=A
18、C，AC=CK，AK=2=CE，BK=EK=CE是高，K=KCE=ACE=CAE=45，ACK=90，AHB=ACK=90，=4；AC=AKcos45=4故答案为：故答案为：AHB=_；AC=_904典例解析【解答】图6-2图6-3（2）直线移动有两种情况：0 x及x2当当0 x时，时，当当x2时，时，SCRQ=2()2=8(2x)2，MNBD，AMNARQ，ANFQG，=4，S2=4S13S1；CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3，ABCD，ABHCDH，CH=DH=AC=1，AHBH=41=3，CG=42x，ACBD，SBCD=41=2，RQBD，CRQCDB，ABCE=32=6，SABD=MNBD，S2=3S1，x的值为的值为2；AMNADB，S1=x2，S2=88（2x）2，88（2x）2=3x2，解得：解得：x1=（舍去），（舍去），x2=2，典例解析【解答】当0 x时，m=4，综上所述，m的变化范围为：3m4x2时，当（3）由（2）得：S2=mS1，=+=36（m=12）2+4，m随的增大而增大，当x=时，m最大，最大值为4，当x=2时，m最小，最小值为3，m是的二次函数，当x2时，即当时，