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1、全等三角形中的截长补短问题.o已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.求证：BAD+BCD=180图1-1o证明：证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2图图1-2oBD平分ABC，DE=DF，o在RtADE与RtCDF中，oRtADERtCDF(HL),DAE=DCF.图图2-1o又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，o即BAD+BCD=180图1-2o已知，如图3-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD.o求证：BAP+BCP=180.图3-1o分析：分析：与例1相类似，证两个角的和是1
2、80，可把它们移到一起，让它们是邻补角，即证明BCP=EAP，因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造.图图3-1o证明：证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点E，如图3-2o1=2，且PDBC，PE=PD，o在RtBPE与RtBPD中，图图3-2oRtBPERtBPD(HL),BE=BD.oAB+BC=2BD，AB+BD+DC=BD+BE，AB+DC=BE即DC=BE-AB=AE.o在RtAPE与RtCPD中,oRtAPERtCPD(SAS),PAE=PCDo又BAP+PAE=180,BAP+BCP=180图3-2o已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.o求证：AB=AC+CD.图4-
3、1o分析：分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.o证明：方法一（补短法）图证明：方法一（补短法）图4-2o延长AC到E，使DC=CE，则CDECED，如图4-2oACB2E，oACB2B，BE，o在ABD与AED中,oABDAED（AAS）,AB=AE.o又AE=AC+CE=AC+DC，AB=AC+DC.图4-2o方法二（截长法）图方法二（截长法）图4-3o在AB上截取AF=AC，如图4-3o在AFD与ACD中,oAFDACD（SAS）,DF=DC，AFDACD.o又ACB2B，FDBB，FD=FB.oAB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD.o o上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路进行分析。让掌握学生掌握好“截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮助。图4-3