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1、热工控制系统第二章(2)2.2.2 传递函数的基本概念传递函数的基本概念 传递函数的定义传递函数的定义：线性定常系统在零初线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。之比。设线性定常系统可以由下述设线性定常系统可以由下述n n阶线性常微分方阶线性常微分方程描述：程描述：式中：式中：c(t)c(t)是系统输出量，是系统输出量，r(t)r(t)是系统输入量，是系统输入量，a 和和b是与系统结构和参数有关的常系数。是与系统结构和参数有关的常系数。设设r(t)r(t)和和c(t)c(t)及其各阶系数在及其各阶系数在t=0t=0时的值均为时
2、的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令换，并令C(s)C(s)Lc(t)Lc(t)，R(s)=Lr(t)R(s)=Lr(t)，可得，可得s s的的代数方程为：代数方程为：于是，由定义得系统于是，由定义得系统传递函数为传递函数为：其中其中：传递函数的特点传递函数的特点:l传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常传递函数的概念适用于线性定常系统，它与线性常系数微分方程一一对应。系数微分方程一一对应。l物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可
3、适相同的传递函数。而研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。用于具有这种传递函数的各种系统。l传递函数与系统输入和初始条件无关。传递函数与系统输入和初始条件无关。l传递函数是传递函数是s的有理分式，对实际系统而言分母的阶的有理分式，对实际系统而言分母的阶次次n大于分子的阶次大于分子的阶次m，此时称为，此时称为n阶系统。阶系统。例例2-6 2-6 求下图所示系统的传递函数求下图所示系统的传递函数零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换可得零初始条件下，对上述方程中各项求拉氏变换可得：方法方法方法方法1 1 1 1：其中其中：综合以上各式可得系统传递函数为：综合以上各式可得系统传
4、递函数为：方法方法方法方法2(2(2(2(利用等效阻抗方法利用等效阻抗方法利用等效阻抗方法利用等效阻抗方法)：电阻电阻电阻电阻R R：电容电容电容电容C C：电感电感电感电感L L：基本元件的复阻抗可用传递函数表示为：基本元件的复阻抗可用传递函数表示为：基本元件的复阻抗可用传递函数表示为：基本元件的复阻抗可用传递函数表示为：前面系统用复阻抗表示可得：前面系统用复阻抗表示可得：其中其中：根据电路知识可得：根据电路知识可得：例例2-72-7 求上一节例求上一节例2-3机械系统与电路系统的传递机械系统与电路系统的传递 函数函数 和和 。解解：l 对机械系统对机械系统取拉氏变换可得取拉氏变换可得：因此
5、系统的传递函数为因此系统的传递函数为：l 对电路系统对电路系统取拉氏变换可得：取拉氏变换可得：因此系统的传递函数为因此系统的传递函数为：例例2-82-8 求如图所示液面系统的传递函数求如图所示液面系统的传递函数解解：原始微分方程为原始微分方程为：令初始条件为零，令初始条件为零，两边拉氏变换可得两边拉氏变换可得 消去中间变量消去中间变量 和和 ，可得：，可得：传递函数传递函数是研究线性系统动态特性的重要工具，是研究线性系统动态特性的重要工具，利用这一工具，可以大大简化对利用这一工具，可以大大简化对系统动态性能的分析系统动态性能的分析过程过程。例如对于初始条件为零的系统，不必先解微分。例如对于初始
6、条件为零的系统，不必先解微分方程，而是直接根据系统传递函数的某些特征，利用方程，而是直接根据系统传递函数的某些特征，利用传递函数的零点和极点来研究系统的性能。另一方面传递函数的零点和极点来研究系统的性能。另一方面也可以把对系统性能的要求，转换成对传递函数的要也可以把对系统性能的要求，转换成对传递函数的要求，从而为求，从而为系统的设计提供简便的方法系统的设计提供简便的方法。2.2.3 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数 任何一个复杂系统都是由有限个基本环节组任何一个复杂系统都是由有限个基本环节组合而成的。基本环节通常分为以下六种：合而成的。基本环节通常分为以下六种：（一）比例环节：（一）比
7、例环节：时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：式中 K 为增益特点：特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。输入输出量成比例，无失真和时间延迟。实例：实例：杠杆，气动阀门，电子放大器，齿轮，电杠杆，气动阀门，电子放大器，齿轮，电 阻阻(电位器电位器)，感应式变送器等。，感应式变送器等。（二）积分环节：（二）积分环节：时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：积分环节实例：积分环节实例：RC特点：特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入输出量与输入量的积分成正比例，当输入 消失，输出具有记忆功能。消失，输出具有记忆功能。实例：实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟电动机角速度与角度间的传
8、递函数，模拟 计算机中的积分器等。计算机中的积分器等。（三）惯性环节：（三）惯性环节：时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：当输入为单位阶跃函数时,有 ，可 得：式中：k为放大系数，T为时间常数。式中式中T为时间常数为时间常数 当当k=1时，输入为单位阶跃函数时时，输入为单位阶跃函数时,时域响应曲线和时域响应曲线和 零极点分布图如下：零极点分布图如下：1yt00.632T通过原点切线斜率为通过原点切线斜率为1/T特点：特点：含一个储能元件，对突变的输入含一个储能元件，对突变的输入,其输出不其输出不 能立即复现，输出无振荡。能立即复现，输出无振荡。实例：实例：RCRC网络，直流伺服电动机的传递
9、函数也包网络，直流伺服电动机的传递函数也包 含这一环节。含这一环节。（四）振荡环节：（四）振荡环节：时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：上述传递函数有两种情况：上述传递函数有两种情况：u 当当 时，可分为两个惯性环节相乘，即：时，可分为两个惯性环节相乘，即：传递函数有两个实数极点：传递函数有两个实数极点：u 若若 ，传递函数有一对共轭复数，可以写成：，传递函数有一对共轭复数，可以写成：设输入为设输入为 ，可得：，可得：式中：式中：阻尼比阻尼比 -自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）自然振荡角频率（无阻尼振荡角频率）特点：特点：环节中有两个独立的储能元件，并可环节中有两个独立的储能元件，并可
10、进行能量交换，其输出出现振荡。进行能量交换，其输出出现振荡。实例：实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递电路的输出与输入电压间的传递 函数。函数。y(t)t当当 取不同值时传递函数的单位阶跃响应曲线如下：取不同值时传递函数的单位阶跃响应曲线如下：（五）微分环节：（五）微分环节：特点：特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输输出量正比输入量变化的速度，能预示输 入信号的变化趋势。入信号的变化趋势。实例：实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递测速发电机输出电压与输入角度间的传递 函数即为微分环节。函数即为微分环节。理想微分：理想微分：一阶微分：一阶微分：二阶微分：二阶微分：（六）迟延环节：（六）迟延环节：时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：特点：特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固输出量能准确复现输入量，但须延迟一固 定的时间间隔。定的时间间隔。实例：实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学管道压力、流量等物理量的控制，其数学 模型就包含有延迟环节。模型就包含有延迟环节。还有一些其他环节如 等，我们以后会看到，这种环节是不稳定的。称为不稳定环节。此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢