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1、数值分析上机实验报告1数值分析上机实验报告1.用 Newton 法求方程X7-X4+14=0在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代 6次或误差小于 0.00001） 。1.1 理论依据：设函数在有限区间a，b 上二阶导数存在，且满足条件 上 的 惟 一 解在 区 间平 方 收 敛 于 方 程所 生 的 迭 代 序 列 迭 代 过 程由则 对 任 意 初 始 近 似 值 达 到 的 一 个中 使是其 中上 不 变 号在 区 间 ,0)(3,210,)()(x|)(,(|,|,)(|)(|.4;03,.2)(10 . baxfxkfx Newtonbabfamircfabcf
2、xbfkkk 令 0)9.1(. 0)8(423642)( 16779.,.,83564 ff xxxf ff故以 1.9 为起点 9.1)(0xfkk如此一次一次的迭代，逼近x的真实根。当前后两个的差#includemain()double x2,f,f1;double x1=1.9; /取初值为 1.9dox2=x1;f=pow(x2,7)-28*pow(x2,4)+14;f1=7*pow(x2,6)-4*28*pow(x2,3);x1=x2-f/f1; while(fabs(x1-x2)=0.00001|x1 x0=1.9; eps=0.00001; M=100; x=Newton(f,
3、df,x0,eps,M); vpa(x,7)1.5 问题讨论：1.使用此方法求方解，用误差来控制循环迭代次数，可以在误差允许的范围内得到比较理想的计算结果。此程序的不足之处是，所要求解的方程必须满足上述定理的四个条件，但是第二和第四个条件在计算机上比较难以实现。2.Newton 迭代法是一个二阶收敛迭代式，他的几何意义 Xi+1 是 Xi 的切线与 x 轴的交点 ,故也称为切线法。它是平方收敛的，但它是局部收敛的，即要求初始值与方程的根充分接近，所以在计算过程中需要先确定初始值。3.本题在理论依据部分，讨论了区间(0.1,1.9)两端点是否能作为 Newton 迭代的初值，结果发现 0.1 不
4、满足条件，而 1.9 满足，能作为初值。另外，该程序简单，只有一个循环，且为顺序结构，故采用 do-while 循环。当然也可以选择 for和 while 循环。42.已知函数值如下表：x 1 2 3 4 5f(x) 0 0.693147181.0986123 1.38629441.6094378x 6 7 8 9 10f(x) 1.79175951.9459101 2.079445 2.19722462.3025851f(x) f(1)=1 f(10)=0.1试用三次样条插值求 f(4.563)及 f(4.563)的近似值。2.1 理论依据 332211111 1()()() ()()(66
5、66j j jj jjj j j jxxhxhxSMyMyMhh 这里 ，所以只要求出 ，就能得出插值函数 S（x） 。11jjj j求 的方法为：jM01112211NNNdMd 这里100 11111 16()(,21)(jjjjjjNNNj jj jjydhyjhh 最终归结为求解一个三对角阵的解。5用追赶法解三对角阵的方法如下： 11221 221 11n nnbcalA LUbcla 1,nLdUx Ld即 若 记 则 由 得， 121nnlld 111nnx 综上可得求解方程 Ax=d 的算法： 111 111,23,2ii iiiiiiniiiblblcdlncxx 2.2 C
6、语言程序代码：#include#includevoid main()int i,j,m,n,k,p;double q10,p10,s4,g4,x0,x1,g0=1,g9=0.1;double s1010;double a10,b10,c10,d10,e10,x10,h9,u9,r9;double f10=0,0.69314718,1.0986123,1.3862944,1.6094378,1.7917595,1.9459101,2.079445,2.1972246,2.3025851;printf(“请依次输入 xi:n“);for(i=0;i=1;i-)xi-1=(bi-1-si-1i*xi
7、)/ai-1;printf(“M%d=%lfn“,i,xi-1);printf(“可得 s(x)在区间4,5上的表达式;n“);printf(“将 x=4.563 代入得：n“);7x0=5-4.563;x1=4.563-4;s4=x3*pow(x0,3)/6+x4*pow(x1,3)/6+(f3-x3/6)*(5-4.563)+(f4-x4/6)*(4.563-4);g4=-x3*pow(x0,2)/2+x4*pow(x1,2)/2-(f3-x3/6)+(f4-x4/6);printf(“计算结果：f(4.563)的函数值是：%lfnf(4.563)的导数值是：%lfn“,s4,g4);2.
8、3 运行结果：2.4 问题讨论1. 三次样条插值效果比 Lagrange 插值好，没有 Runge 现象，光滑性较好。2. 本题的对任意划分的三弯矩插值法可以解决非等距节点的一般性问题。3. 编程过程中由于定义的数组比较多，需要仔细弄清楚各数组所代表的参数，要注意各下标代表的含义，特别是在用追赶法计算的过程中。83.用 Romberg 算法求 .)01.(sin)75(3214. 允 许 误 差dxx3.1 理论依据：Romberg 算法的计算步骤如下：（1）先求出按梯形公式所得的积分值 (0)1()2baTfb（2）把区间 2 等分，求出两个小梯形面积之和，记为 ，即(1)T(1)()()4
9、faf这样由外推法可得 , 。(0)2T(1)2(0)(1)(0)1() 4T（3）把区间再等分（即 等分） ，得复化梯形公式 ，由 与 外推2 (2)1T(1)(2)T可得 ， ，如此，若已算出 等分的复化梯形(2)(1)(1)24T(1)(0)(0)234Tk公式 ，则由 Richardson 外推法，构造新序列()1k， m=1,2,l, k=1,2,l-m+1,()(1)()14mkkT最后求得 。(0)1l（4） 或 #includedouble f(double x) /计算 f(x)的值 double z;z=pow(3,x)*pow(x,1.4)*(5*x+7)*sin(x*x
10、);return(z);main() double t2020,s,e=0.00001,a=1,b=3;int i,j,l,k;t01=(b-a)*(f(b)+f(a)/2; /下为romberg 算法t11=(b-a)*(f(b)+2*f(b+a)/2)+f(a)/4;t02=(a*t11-t01)/(4-1);j=3;for(l=2;fabs(t0j-1-t0j-2)=e;l+) for(k=1,s=0;k=0;i-,j+)tij=(pow(4,j-1)*ti+1j-1-tij-1)/(pow(4,j-1)-1);if(t01e)printf(“t=%0.6fn“,t01);elseprintf(“用 Romberg 算法计算函数所得近似结果为：nf(x)=%0.6fn“,t0j-1);3.3 运行结果：