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1、第 1 页 共 201 页新编高考数学解题技巧 &孙子兵法第 1 计 芝麻开门 点到成功计名释义七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 阿里巴巴用“芝麻开门” ，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了. 数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了. 典例示范例题将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnC)1(，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出 rnxrnCC1)()1( ，其中 x . 令
2、221)(6032nnn Ca，则 nalim. 分析 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在 “点”上打主意. 莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点 1的主意. 第 2 页 共 201 页解 将等式rnxrnCC1)()1( 与右边的顶点三角形对应（图右） ，自然有21)(rnC2)1(xn1rn对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1对一般情况讲，就是 x = r+1 这就是本题第 1 空的答案. 插语 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点
3、明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出 x = r+1. 第 2 道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项 31. 解 在三角形中先找到了数列首项 31，并将和数列601312na中的各项依次“以点连线” （图右实线） ，实线所串各数之和就是 an . 这个 an，就等于首项 31左上角的那个 21. 因为 21在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左” ，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是 0. 因此得到nalim21这就是本题第 2 空的答案. 点评 解题的关键是“以
4、点破门” ，这里的点是一个具体的数 31，采用的方法是以点串线三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数 21就是问题的答案. 事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从 201这个数开始，向左下连第 3 页 共 201 页线（无穷射线） ，所连各数之和（的极限）就是 201这个数的左上角的那个数 12. 用等式表示就是 1240612链接 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有 4 分的小题，而是一个 10分以上的大题. 有关解答附录如下 . 法 1 由rnrnrnCC11)()( 知，可用合项的办法，将 na的和式逐步合项. 221)(302nnna112212432 )
5、()()(51 nnnn CCC1122432 )(nnn112)(nCC 1)(nC)(22法 2 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即 231241302 )(5 nnn CCa根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项1)(n，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为 2，故1)(nnCa，从而21)1(2limli nnn Ca第 4 页 共 201 页法 3 （2）将 1rx代入条件式，并变形得rnrnrnCC)1()1(1取 ,1r令 ,3,n得1223)1(3C13234)1(2C，143245)(0 1121)(
6、nnnCC112)()( nnCC以上诸式两边分别相加，得 )1(2nan2说明 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀 . 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义. 对应训练1如图把椭圆1625yx的长轴 AB 分成 8 份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1，P2，P7 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+ +|P7F|=_.2如图所示，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，P，Q 分别是侧棱 AA1，CC1 上的点，且A1P=CQ，则四棱锥 B1A1PQC1 的体积与多面体 ABCPB1Q 的体积比值为
7、. 参考解答1找“点”椭圆的另一个焦点 F2. 连接 P1F2 、P2F2 、P7F2，由椭圆的定义 FP5+P5 F2 = 2a =10第 5 页 共 201 页如此类推 FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 710 = 70由椭圆的对称性可知，本题的答案是 70 的一半即 35.2找“点”动点 P、Q 的极限点. 如图所示，令 A1P = CQ = 0. 即动点 P 与 A1 重合，动点 Q 与 C 重合.则多面体蜕变为四棱锥 CAA1B1B，四棱锥蜕化为三 棱锥 CA1B1C1 .显然 31 1 CBAVV 棱柱 . 1 CBAV BA1 = 2于是
8、奇兵天降答案为 2.点评 “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.第 2 计 西瓜开门 滚到成功计名释义比起“芝麻”来， “西瓜”则不是一个“点” ，而一个球. 因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”. 球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.第 6 页 共 201 页数学命题是二维的. 一是知识内容，二是思想方法 . 基本的数学思想并不多，只有五种：函数方程思想，数形结合思想，划分讨论思想，等价交换思想， 特殊
9、一般思想. 数学破题，不妨将这五种思想“滚动” 一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.典例示范题 1 对于 R 上可导的任意函数 f（x） ，若满足（x1）f （x ）0，则必有A. f（ 0） f（2）0 （ f (1)对应选项 C，D （右图下拱曲线） . 则满足条件(x-1) f （x） 0.探索 本题涉及的抽象函数 f (x)，没有给出解析式，只给出了它的一个性质：(x-1) f （x）0 ，并由此可以判定 f (0)+ f (2) f (1). 自然，有这种性质的具体函数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.第 8 页 共 201 页变题 以下函数 f (x)，具有性质(x-1)
10、f （x）0 从而有 f (0)+ f (2) 2 f (1)的函数是A. f（x）= (x-1)3 B. f（x ）= (x-1) 21C. f（x ）= (x-1) 35D. f（x）= (x-1) 2056解析 对 A，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；对 B，f (0)无意义；对 C，f (0)= -1， f (2) =1，f (1)=0，不符合要求；答案只能是 D. 对 D， f (0)= 1， f (1) =0，f (2)=1.且 f （x）= 2056(x-1) 205 使得 (x-1) f(x) =(x-1) 2056(x-1) 20510.说
11、明 以 x=1 为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数. 如 f（x ）=(x-1) 12mn，其中m，n 都是正整数，且 nm.点评 解决抽象函数的办法，切忌 “一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“ 一般特殊思想” 在解题中具体应用.题 2 已知实数 x，y 满足等式 36942yx ，试求分式 5xy的最值。分析 “最值”涉及函数， “等式”连接方程，函数方程思想最易想到.解一 （函数方程思想运用）令 kxy5y = k (x-5) 与方程 36942yx联立消 y，得： 0590)4( 222kx 根据 x 的范围 3,应用根的分布得 不等式组：第 9
12、页 共 201 页03)49(203065)(9) )29(4022kkkf解得 21k即 21 5xy 21即所求的最小值为 21，最大值为 21.插语 解出 21 5xy 21，谈何易！十人九错，早就应该“滚开” ，用别的思想方法试试.解二 （数形结合思想运用）由 36942yx得椭圆方程 1492yx，5xyk看成是过椭圆上的点（x，y ） ，(5 ，0)的直线斜率（图右）.联立 )5(36942xky得 0362590)94(2 kxk令 0得 21，故 5xy的最小值为 21，最大值为 21.插语 这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了. 因此，滚动开门，不仅要善于“滚到” ，还要
13、善于“滚开”.点评 “西瓜开门”把运动学带进了考场解题. 滚动能克服解题的思维定势.解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动” ，在知识链接上要“滚动” ，在基本技能第 10 页 共 201 页技巧上也要“滚动”. 总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.对应训练1.若动点 P 的坐标为(x,y)，且 lgy，lg|x|，lg 2xy成等差数列，则动点 P 的轨迹应为图中的 ( )2.函数 y=1- 21x (-1x0,a+2b+cac C.b2ac 且 a0 D.b2ac 且 a0且 yx.选项 B 中无 x0 的图像，均应否定；当 x=yR+时，lg 2xy无意义，否定 A,选 C【点评】 上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：当 x0且 yx 时，由 lgy+lg 2xy=2lg|x|，化简可得(x+y)(2x-y)=0. y=-x 或y=2x(x0,y0).2.【思考】 分析各选项，仅解析式符号有区别. 定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两