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1、三角形的四心及性质一.重心定义：三角形三边中线的交点！性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的 距离与三条边的长成反比。2.三角形重心性质定理的应用三角形重心性质定理的应用求线段长 例例1如图3所示，在RtABC中，A=30，点D是斜边AB的中点，当G是RtABC的重心GEAC于点E，若BC=6cm，则GE=cm。解解：RtABC中，A=30，BC=6AB=BC=12，D是斜边AB的中点，CD=AB=6G是RtABC的重心，CG=CD=4 由CD=AD，A=30，GCE=30RtGCE中，GCE=30，CG
2、=4，GE=CG=2（cm）求面积例例2在ABC中，中线AD、BE相交于点O，若BOD的面积等于5，求ABC的面积。解解：O是ABC的重心，AOOD=21SAOBSBOD=21即SAOB=2SBOD=10SABD=SAOB+SBOD=10+5=15又AD是ABC的中线SABC=2SABD=30。练习练习：1.如图5，ABC中，AD是BC边上的中线，G是重心，如果AG=6，那么线段DG=。2.如图6，在ABC中，G是重心，点D是BC的中点，若ABC的面积为6cm2，则CGD的面积为。二.内心定义：三角形内切圆的圆心就是三角形的 内心，也是三角形角平线的交点。性质：1.三角形的内心到三边的距离相等
3、，等于内切圆的半径。三、外心定义：三角形外接圆的圆心，也是三角形三边中垂线的交点。性质：1、外心到三角形各个顶点的距离相等。2、锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边上，与斜边的中点重合；钝角三角形的外心在三角形外。四、垂心定义：三角形三边高线的交点。三角形的垂心定理三角形的垂心定理：在三角形ABC中，求证：它的三条高交于一点。证明：如图：作BE于点E，CFAB于点F，且BE交CF于点H，连接AH并延长交BC于点D。现在我们只要证明ADBC即可。因为CFAB，BE所以 四边形BFEC为圆内接四边形。四边形AFHE为圆内接四边形。所以FAH=FEH=FEB=FCB由FAH=FCB得四边形AFDC为圆内接四边形所以AFC=ADC=90即ADBC。点评：以上证明主要应用了平面几何中的四点共圆的判定与性质。