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1、清华大学武康平老师高级微观经济学课件4效用最大化效用最大化l先验命题先验命题：任何人都希望最大化自己的效用而非最小任何人都希望最大化自己的效用而非最小。这是一个被广泛接受的命题，经济学继承和发展这一命题，效用最大化问题得到了越来越深入的研究。一方面，人们的欲望无止境，没有满足的时候，经济学无法对如何满足人们无止境的欲望问题作出解释。另一方面，任何人都处在一定的客观环境中，其选择行为必然受到一定的限制。比如，商品需要用钱来买。受到的种种限制虽然影响选择，但也使得效用最大化问题有了解决途径服从约束条件的效用最大化。l效用最大化效用最大化：理性消费者正是在服从种种限制的情况下理性消费者正是在服从种种
2、限制的情况下,选选择自己最满意的消费方案择自己最满意的消费方案。l前提假设前提假设：消费集合 ，价格体系 ，消费者收入 r。2(一一)预算约束预算约束l条件限制条件限制：客观条件限制、主观条件限制客观条件限制客观条件限制：是指政策法规、生理、环境等非经济因素对消费选择的制约。这些制约因素划出了消费者的消费集合 X。因此，客观条件限制可表示为 xX。经济条件限制经济条件限制：主要是价格与收入等经济因素对消费选择的制约，可表示为 p x r。理性消费者不偷、不抢、不骗，可赊账或借款消费。但这不意味着可免费消费，天下没有免费的午餐。赊账和借款相当于收入扩大，然后在扩大的收入限制下进行消费选择，并没有
3、没有摆脱经济条件的限制。l预算约束预算约束：是指客观条件和经济条件对消费选择共同构成的制约，可表示为：(x X)(p x r)。效用最大化效用最大化3n定理 在消费集合 X 为下有界闭子集的情况下，对任何价格体系 p 0 及收入 r，预算集合预算集合 (p,r)都是有界闭集，从而是紧集是紧集。1.预算集合预算集合l预算集合预算集合(budget set)：由预算约束确定的消费选择范围，它是 X 的子集 (p,r)=xX:p x r。l预算线预算线(budget line)：是指超平面 p x=r。Xp x=r(预算线预算线)(一一)预算约束预算约束效用最大化效用最大化(p,r)42.最低生活保
4、障最低生活保障l最低生活保障制度最低生活保障制度：为了保证消费者在收入限制下能选择到商品，消费者收入不应低于最低收入标准。最低收入标准最低收入标准：I(p)=inf p x:xX，即消费集合X 中的最低支出(这是在价格体系 p 下来谈的)。最低生活保障最低生活保障：r I(p)，即这是一种让收入不低于 I(p)的制度。条件 r I(p)也可叫做最低收入条件最低收入条件或最低支出条件最低支出条件。n定理 设 X 为消费集合，p 为价格体系，r 为消费者收入。如果 X 且 r I(p)，则预算集合非空，即 (p,r)；如果 X 是非空下有界闭集，p0 且 r I(p)，则(p,r)是非空有界闭集。
5、(一一)预算约束预算约束效用最大化效用最大化5l效用最大化效用最大化：消费者在预算集合中选择最满意的消费向量。l马歇尔需求马歇尔需求：预算集合中消费者认为是最好的消费方案。这是消费者最终决定的消费方案，即是消费者的需求需求(向量向量)。l需求集合需求集合D(p,r)：预算集合(p,r)中消费者认为最好的消费方案的全体，即 D(p,r)=x(p,r):(z(p,r)(z x)。(二二)马歇尔需求马歇尔需求n定理 马歇尔需求集合中任何两种方案都无差异：(x,yD(p,r)(x y)。证明证明：任意给定 x,yD(p,r)。xD(p,r)&y(p,r)y x。yD(p,r)&x(p,r)x y。因此
6、，x y。无差异曲线无差异曲线(p,r)效用最大化效用最大化X61.关于马歇尔需求的基本问题关于马歇尔需求的基本问题l几个基本问题几个基本问题需求是否存在？即需求集合 D(p,r)是否非空。如果需求集合是空集，那么效用最大化就是空谈。需求是否唯一？即在 D(p,r)非空的情况下，D(p,r)是否是单点集？如果 D(p,r)不是单点集，那么就会引起消费选择上的不确定，会让消费者“眼花缭乱”。消费者是否不把收入用完就能实现效用最大化？这是一个有关效用最大化理论是否符合实际现象的重要问题。l两个重要集合：回答以上问题，需要用到下面两个集合。价格收入集合价格收入集合：集合集合的内部的内部 ：(二二)马
7、歇尔需求马歇尔需求效用最大化效用最大化72.存在性与唯一性存在性与唯一性(二二)马歇尔需求马歇尔需求效用最大化效用最大化n定理 如果 X 是非空下有界闭集，连续，(p,r)，则需求集合D(p,r)是非空闭集，从而马歇尔需求存在。另外，如果 X 是凸集且 弱凸，则D(p,r)是凸集。l需求集映需求集映：从上述存在性定理可知，理性消费者的马歇尔需求确定了一个从 到 X 的对应对应(取值为非空集合的集值映射)D:X，称为消费者的需求对应需求对应或需求集映需求集映。n定理 假定 X 是非空下有界凸闭集，(p,r)，偏好 连续。如果 严格凸，则D(p,r)是单点集，即需求唯一存在。如果 内部严格凸且D(
8、p,r)X，则D(p,r)是单点集。83.瓦尔拉定律瓦尔拉定律(二二)马歇尔需求马歇尔需求效用最大化效用最大化n定理 设 是无满足的凸偏好，则对(p,r)及 xD(p,r)，必有 p x=r。这一事实叫做瓦尔拉定律瓦尔拉定律，可记为 pD(p,r)=r。证明证明：用反证法，假定 xD(p,r)使得 p x r。在连接 x 与 y 的直线段上必有一点 z 使得 p z=r，故 z(p,r)。的凸性保证了 z x，这与 xD(p,r)相矛盾。可见，反证法假定不成立。l瓦尔拉定律的意义瓦尔拉定律的意义：为了效用最大化，必须把钱花光。l实际事实实际事实：人们不会把钱花光！其实，货币也是商品。当把货币加
9、入到商品行列时，瓦尔拉定律正表明，为了效用最大化，消费者不会把钱花光。z(p,r)预算线预算线94.零阶齐次性零阶齐次性(二二)马歇尔需求马歇尔需求效用最大化效用最大化n定理 对任何(p,r)及任何正实数 t，都有D(t p,t r)=D(p,r)。证明：这是因为预算集合不受影响。l零阶齐次性的意义零阶齐次性的意义：价格和收入的同比例变动不改变人们的选择，不影响人们的生活水平。消费者方面消费者方面：收入来自要素报酬。所有商品价格同比例上涨，意味着消费者收入同比例上升。生产者方面生产者方面：以后要讲述的生产者理论也会说明，所有商品价格的同比例上升不影响生产选择，产品供应和要素需求不会变化，而生产
10、者的利润要同比例上升。通胀效应通胀效应：所有商品价格同比例上升，既不改变消费选择，也不改变生产选择，反而使企业利润同比例上升。10l偏好的严格凸性的重要作用偏好的严格凸性的重要作用：让消费者需求得以唯一确定。n定理 在假设HC和HP下，对任何(p,r)，消费者的需求集合D(p,r)都是单点集，故可以写成：D(p,r)=(p,r)。l定义 在假设HC和HP下，由需求集映D:X 唯一确定的映射 :X 叫做(马歇尔)需求映射需求映射，其分量函数 h(p,r)叫做(马歇尔)需求函数需求函数(h=1,2,)：(三三)需求映射与需求函数需求映射与需求函数n定理 在假设HC和HP下，需求映射:X 具有下述性
11、质：效用最大化：(p,r)，xX，x (p,r)p x r；零阶齐次性：(p,r)，t 0，都有 (t p,t r)=(p,r)；瓦尔拉定律：(p,r)，都有 p(p,r)=r。效用最大化效用最大化11(四四)间接效用函数间接效用函数l“价格价格-收入收入”决定生活水平决定生活水平：价格与收入决定消费者的需求向量，而需求向量决定实际生活水平。因此，价格与收入共同决定消费者的实际生活水平。l间接效用函数间接效用函数：当偏好 是通过效用函数 u 来表达时，需求向量 (p,r)的效用值 u(p,r)便代表消费者生活水平。这就确定了一个函数：，叫做消费者的间接效用函数间接效用函数。间接效用是由价格和收
12、入决定的消费者效用水平。间接效用函数 反映了价格和收入同消费者的实际生活水平之间的关系，因而是代表实际生活水平的效用函数。效用最大化效用最大化12(五五)应用事例应用事例效用最大化效用最大化l两个实际问题两个实际问题问题问题1：销售税与所得税哪一种对消费者更为有利？国家向居民征税有两种办法，一种是征收销售税，另一种是征收所得税。假定不论采取哪种办法，居民纳税额一样。那么，哪一种征税办法对居民会更为有利些?问题问题2：涨价补贴对消费者是否有利涨价补贴对消费者是否有利？商品涨价，政府发放补贴。一种办法是不许涨价，把价格补贴发给生产者。另一种办法是允许涨价，把价格补贴发给消费者。哪一种补贴办法对消费
13、者会更为有利些？l假定假定：当前市场上，价格体系为 p，消费者收入为 r，消费者的选择为 xD(p,r)。13zx1.销售税与所得税的比较销售税与所得税的比较效用最大化效用最大化(五五)应用事例应用事例l销售税销售税：税率向量 t=(t1,t2,t)，ti 为购买一单位商品 i 的税额。按 t 征收销售税，相当于价格从 p升为p+t，于是需求从 xD(p,r)变到 yD(p+t,r)，纳税额为 T=t y。注意，y(p+t,r)(p,r)，故 y x。l所得税所得税：把销售税改为所得税，直接从收入r中扣除销售税情况下的税额T=t y，则预算集合变为(p,r-T)，消费者选择变为 zD(p,r-
14、T)。l比较比较：易见，y(p,r-T)，故 y z。这说明，虽然纳税额相同，但征收所得税要比征收销售税对居民更为有利一些。xy(p,r)(p,r)(p+t,r)(p,rT)y(p+t,r)14x2.价格补贴发放办法的比较价格补贴发放办法的比较效用最大化效用最大化(五五)应用事例应用事例l不许涨价不许涨价：把补贴发给生产者，不许商品涨价。这种情况下，消费者的选择为 xD(p,r)。l允许涨价允许涨价：把补贴发给消费者，允许商品涨价。假定涨价后，价格体系为q。消费者得到补贴后，收入从r 提高到s，需求向量从 x 变为 yD(q,s)。l补贴标准补贴标准：补贴后，要保证消费者仍可以按照原来的方案进
15、行消费，即补贴=q x p x，也即 q x=s。l比较比较：x(q,s)，故 x y。这说明，“涨价+补贴消费者”要比“不涨价+补贴生产者”对消费者更为有利一些。xy(p,r)(p,r)(q,s)15支出最小支出最小化化l先验命题先验命题：任何人都希望在不改变生活水平的情况下，让自己的消费支出达到最小而非最大。l支出最小化支出最小化：当消费者面临一种消费方案时，常常还要看有没有其他具有同样效用但支出更少的方案。理由理由：货币也是具有效用的商品，支付货币就是支付效用。以货币换商品，就是以效用换效用，理性消费者当然希望以较少的效用换得较多的效用。准确表述准确表述：在保证生活水平不降低的情况下，消
16、费者谋求消费支出达到最少。这就是说，消费者首先确定一个效用水平，然后在不低于这个效用水平的前提下，使消费支出达到最小。希克斯从支出最小化出发，分析了消费者的选择，给出了今天称谓的希克斯需求希克斯需求概念。16(一一)支出约束支出约束l支出最小化思路支出最小化思路：假定消费者面临的消费选择为 xX，商品价格体系为 p。于是，消费方案 x 的支出为 p x。消费者是否选定 x，取决于是否有其他不比 x 差但支出较小的方案 yX。如果有这样的 y，就不会选 x。至于是否选定 y，又取决于是否有不比 x 差但支出比 y 小的 zX。这种选择要一直进行下去，直至选不出其他不比 x 差而支出能进一步减少的
17、可行消费方案。l支出集合支出集合：可以看出，上述选择过程中，每次都在集合 E(x)=yX:y x 中进行选择。这个集合 E(x)就称为消费者在方案 x 处的支出集合支出集合。l支出约束支出约束：yE(x)，即必须在 x 处的支出集合中选择。支出最小支出最小化化支出集合支出集合xE(x)Xpw=px17le(p,x)与与 I(p)的比较的比较e(p,x)是 E(x)上的最小支出。I(p)是 X 上的最小支出。e(p,x)I(p)。l等效用必等支出等效用必等支出：对任何 及 x,y X，x y e(p,x)=e(p,y)。l支出函数实则是效用水平的函数支出函数实则是效用水平的函数：1.支出函数支出
18、函数支出最小支出最小化化xE(x)Xpw=px(一一)支出约束支出约束l支出函数支出函数le(p,x)的意义的意义：e(p,x)是为了达到 x 所代表的生活水平所必须的最低消费支出。低于这个支出，生活水平必然下降。ypy=e(p,x)pz=I(p)支出集合支出集合z18l支出太小问题支出太小问题：p x*=e(p,x)=I(p)支出没有变小的余地支出没有变小的余地：已经是整个消费集合上的最小支出，意味着 x*X，从而可能出现如下图所示的情况：(y*X)(y*x*)&(p y*=px*)。2.最低支出限制最低支出限制支出最小支出最小化化支出集合支出集合x*E(x)X(一一)支出约束支出约束x*失
19、去最优意义失去最优意义：本来 x*是 x 所代表的生活水平上的最优消费选择，但它现在失去了意义：同样支出下还有更优的方案 y*。l解决办法解决办法：实行最低支出限制最低支出限制，即要求 e(p,x)I(p)。符合该限制条件的消费方案的全体是集合 X(p)：X(p)=xX:e(x,p)I(p)xy*无差异曲线无差异曲线X193.支出函数的性质支出函数的性质支出最小支出最小化化(一一)支出约束支出约束l性质性质1 支出函数是关于价格和效用水平的函数。l性质性质2(关于价格)任意给定 xX。对任何 ，都有 e(p,x)+e(q,x)e(p+q,x)。对任何 及实数 t 0，都有 e(t p,x)=t
20、 e(p,x)。e(p,x)是价格 p 的凹函数。l性质性质3(关于效用水平)任意给定 。对任何 x,yX，只要 x y，就有 e(p,x)=e(p,y)。对任何 x,yX，只要 x y，就有 e(p,x)e(p,y)。n定理(支出函数的效用性质支出函数的效用性质)对于理性消费者(X,)来说，在任何给定的价格体系 p 0 下，都有下述事实成立：20(二二)希克斯需求希克斯需求支出最小支出最小化化l希克斯需求向量希克斯需求向量：支出集合 E(x)中支出最小的向量 x*。x*与价格体系 p 有关：不同的价格，不同的 x*。x*可能是多值的：同一价格下，可能有多个 x*。x*的确定：x*E(x)&p
21、 x*=e(p,x)。l希克斯需求集合希克斯需求集合：H(p,x)=yE(x):(zE(x)(p y p z)。对任何 及 x,yX，若 x y，则 H(p,x)=H(p,y)。对任何 及 xX，若H(p,x)，则 pH(p,x)=e(p,x)。l希克斯需求法则希克斯需求法则：希克斯需求与价格反向变动。即对任何固定的 zX，当价格体系从 p 变至 q 时，必有下述事实成立：(xH(p,z)(yH(q,z)(p q)(x y)0)证明证明：注意，x,yE(z)。xH(p,z)说明 p x p y；yH(q,z)说明 q x q y。因此，p x q x p y q y，即(p q)(x y)0。
22、21n存在性定理 如果消费集合 是下有界非空闭子集，并且偏好关系 连续，则对任何价格向量 p 0 及任何 xX，都有 H(p,x)。因此，理性消费者的希克斯需求必然存在。n唯一性定理 设消费集合 X 是凸集，偏好 连续且严格凸，则对服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX，希克斯需求集合H(p,x)中最多只有一种消费方案。l推论(唯一存在性)在假设 HC 和 HP 下，对任何 p 0 及任何 xX(p)，希克斯需求唯一存在，即H(p,x)是单点集。n保效性定理 设消费集合 X 是凸集，偏好 连续，则对服从最低支出限制的任何价格向量 p 和消费方案 xX，希克斯需求集合H(p,x)中
23、的每种方案都与 x 无差异。1.存在唯一性存在唯一性(二二)希克斯需求希克斯需求支出最小支出最小化化222.希克斯需求映射希克斯需求映射(二二)希克斯需求希克斯需求支出最小支出最小化化l价格消费集合价格消费集合：(p 0)&(e(p,x)I(p)是希克斯需求唯一存在的必要条件，满足这一条件的组合(p,x)的全体，记作，叫做价格消费集合价格消费集合，即 。l希克斯需求映射希克斯需求映射：在假设 HC 和 HP 下，从希克斯需求集合可确定希克斯需求映射 h:X：H(p,x)=h(p,x)(p,x)。l希克斯需求映射的性质希克斯需求映射的性质零阶齐次性零阶齐次性：(p,x)(t 0)(h(t p,x
24、)=h(p,x)效用不变性效用不变性：(p,x)(h(p,x)x)反向变动性反向变动性：同一效用水平上的希克斯需求与价格反向变动，即(p,x),(q,x)，(p q)(h(p,x)h(q,x)0。23(三三)效用与支出的对偶效用与支出的对偶支出最小支出最小化化l对偶问题对偶问题：效用最大化 VS 支出最小化n对偶定理 设消费集合 X 是 的下有界非空凸闭子集，是无满足的连续凸偏好。则对任何(p,r)和(p,x)，都有：效用最大时，支出最小：(zD(p,r)(zH(p,z)。支出最小时，效用最大：(zH(p,x)(zD(p,e(p,x)。l对偶定理的意义对偶定理的意义：马歇尔需求与希克斯需求一致
25、，消费最优化问题既可用效用最大化求解，也可用从支出最小化求解。l需求专指需求专指：马歇尔需求马歇尔需求。今后，直接从效用最大化出发，来研究消费者的需求。x24消费者均衡消费者均衡l消费者均衡消费者均衡：消费实现最优化的状态。需求向量 x*D(p,r)正代表消费最优化状态，故也叫做消费者均衡消费者均衡。l问题问题：消费者如何实现均衡？l假设假设：为了回答如何实现均衡的问题，这里先列出后面需要用到的几个假设。理性消费者：X 满足假设HC，连续+凸+无满足。偏好 的效用函数 u:X R 满足假设 HU。均衡 x*在消费集合内部实现，即 x*D(p,r)X。价格体系 p 0，消费者收入 r 0。l效用
26、最大化问题效用最大化问题：max u(x)s.t.px=r用拉格朗日乘数法求解：拉氏乘数 。边际方程：25(一一)实现均衡的一阶条件实现均衡的一阶条件消费者均衡消费者均衡n定理(必要条件必要条件)设理性消费者的效用函数 u:X R 在 X 内部可微且(xX)(u(x)0)。对任何价格向量 p 0、收入r及向量 x*X，若 x*D(p,r)，则存在实数 0 使得(x*,)满足边际方程，即u(x*)=p&p x*=r。n定理(充分条件充分条件)设消费集合 X 是 的凸子集，效用函数 u(x)连续、拟凹且在 X 内部连续可微。对任何价格向量 p 0、收入 r 及消费向量 x*X，若存在实数 0 使得
27、(x*,)满足边际方程，即 u(x*)=p&p x*=r，则 x*D(p,r)。n推论：在假设 HC、HP、HU 下，对于 x*X，我们有：261.边际效用均等法则边际效用均等法则(一一)实现均衡的一阶条件实现均衡的一阶条件消费者均衡消费者均衡l边际效用均等法则：消费者实现均衡的特征是，把一单位货币收入不论用于购买哪种商品以增加消费，所增加的效用都是一样的。拉氏乘数 正是均衡时货币收入的边际效用。即l消费调整消费调整：增加 i 的消费，减少 j 的消费，方可提高效用。减少 i 的消费，增加 j 的消费，方可提高效用。272.商品替代调整法则商品替代调整法则(一一)实现均衡的一阶条件实现均衡的一
28、阶条件消费者均衡消费者均衡l商品替代调整法则：消费者实现均衡的特征是，任何两种商品之间的边际替代率都等于相应的价格比，即l边际替代率边际替代率 ：增加消费 h 的收获。l市场交换率市场交换率 ：增加消费 h 的代价。l消费调整消费调整：增加 h 的消费，减少 k 的消费，方可提高效用。减少 h 的消费，增加 k 的消费，方可提高效用。28(二二)内部均衡与边界最差现象内部均衡与边界最差现象l内部消费与边界消费内部消费与边界消费：一阶条件要求消费在消费集合内部进行。内部消费的优点是可沿任何方向对消费进行调整，边界消费则没有这种优点。若要调整边界消费，必须考虑调整方向是否可行。因此，一般情况下，边
29、界消费总要比内部消费边界消费总要比内部消费差些差些，这就是边界消费最差现象边界消费最差现象，它将作为一个假设。l边界最差假设边界最差假设：(xX)(y X)(x y)。这是生活水平较高的体现。那种有食无衣、有衣无食的生活正是最差的边界生活。此假设下，均衡必在消费集合内部：有食有衣。n内部均衡定理 假定理性消费者(X,)服从边界最差假设。则对于任何(p,r)，都有 D(p,r)X。进而如果 还内部严格凸，则需求映射:X 得以确定且对任何(p,r)，都有(p,r)X。消费者均衡消费者均衡29(三三)Lagrange乘数的意义乘数的意义消费者均衡消费者均衡l设 x*=(p*,r*)X，p*0，(x*
30、,*)满足边际方程：u(x*)=*p*&p*x*=r*。假设HC、HP和HU成立。l间接效用函数 可看成函数 L(x,p,r)=u(x)+*(r-p x)与需求映射(p,r)的复合：。因此，我们有：l结合u(x*)=*p*，可知 。由于 p*和 r*都是任意给定的，因此可把此公式直接写成下述定理的形式：n定理 在假设HC、HP 和HU下，对任何(p,r)，如果(x,)满足边际方程，即 u(x)=p&p x=r，则 。l拉氏乘数是货币的边际效用拉氏乘数是货币的边际效用货币的价格货币的价格影子价格影子价格。30此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢