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1、3.1.2 3.1.2 空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算1.1.回回 顾顾1.回顾平面向量向量知识：平行向量或共线向量？怎样判定向量b与非零向量a是否共线？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量.由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使b=a,称平面向量共线定理.1.1.回回 顾顾2.必修必修平面向量平面向量，平面向量的一个重要定理，平面向量的一个重要定理平面向量基本定理：如果平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内两是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向个不共线的向量，那么对这一
2、平面内的任意一个向量量a，有且只有一对实数有且只有一对实数1、2，使，使a1e12e2.其中不共线向量其中不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量叫做表示这一平面内所有向量的一组的一组基底基底回回 顾顾aOBb结论结论：空间空间任意两个任意两个向量向量都可都可平移平移到到同一个平面同一个平面内内，成为同一平面内的向量，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及因此凡是涉及空间任意两个向量空间任意两个向量的问题，的问题，平面向平面向量量中有关结论仍中有关结论仍适用适用于它们于它们.ba一、空间向量数乘运算一、空间向量数乘运算1.1.实数实数 与空间向量与空间向量 的乘积的乘积 仍然是一个向量仍然是
3、一个向量.当当 时，时，当当 时，时，与向量与向量 方向相同；方向相同；与向量与向量 方向相同；方向相同；是零向量是零向量.当当 时，时，（1 1）方向：）方向：（2 2）大小：）大小：的长度是的长度是 的长度的的长度的 倍倍.2.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律空间向量的数乘运算满足分配律及结合律二、共线向量二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在如果表示空间向量的有向线段所在直线互直线互相平行或重合相平行或重合,则这些向量叫做共线向量则这些向量叫做共线向量(或或平行向量平行向量),),记作记作问题问题2 2：平面向量中，：平面向量中，的充要条件是：存在的充要条件是：存在唯一的实
4、数唯一的实数 ，使，使能否推广到空间向量中呢？能否推广到空间向量中呢？问题问题1 1：若：若则则所在直线有那些位置关系所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线零向量与任意向量共线.由此可判断空间中两直线由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题平行或三点共线问题 共线向量定理共线向量定理:对空间任意两个向量对空间任意两个向量 ，的充要条件是存在唯一实数的充要条件是存在唯一实数，使使性质性质性质性质判定判定判定判定 如图，如图，l l 为经过已知点为经过已知点A A且平行已且平行已知非零向量知非零向量 的直线，的直线，若点若点P P是直线是直线l l上任意一点，则上任意一点，则a a对空间任意
5、一点对空间任意一点O,O,所以所以即即 若在若在l l上取上取 则有则有 和和都称为空间直线的向量表示式，空间任都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由由此可判断空间任意三点共线此可判断空间任意三点共线。a al lA AB BP PO O由由 知存在唯一的知存在唯一的t t,满足满足因为因为 所以所以 特别的，当特别的，当t=t=时，时，则有则有进一步，进一步，t t1-t1-tP P点为点为A,B A,B 的中点的中点a al lA AB BP PO O判定空间中三点判定空间中三点A A、B B、C C共线的常用
6、方法：共线的常用方法：（1 1）只需得到存在实数）只需得到存在实数 ，使，使（2 2）对空间任意点）对空间任意点O O，存在实数，存在实数t,t,使使特别地，当特别地，当t=1/2t=1/2时，时，此时，点此时，点C C恰为线段恰为线段ABAB的的中点中点A A、B B、P P三点共线三点共线结论结论1:1:分析分析:证三点共线可证三点共线可尝试尝试用向量来分析用向量来分析.例例例例2 2三、共面向量三、共面向量:1.1.共面向量共面向量:平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.注意：注意：空间任意两个向量是共面的，但空间空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量
7、任意三个向量既可能共面，也可能不共面既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果由平面向量基本定理知，如果 ，是平面内的两个不共线的向量，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数，有且只有一对实数 ，使使 如果空间向量如果空间向量 与两不共线向量与两不共线向量 ，共面，那么可共面，那么可将三个向量平移到同一平面将三个向量平移到同一平面 ，则有，则有 那么什么情况下三个向量共面呢？那么什么情况下三个向量共面呢？反过来，对空间任意两个不共线的向量反过来，对空间任意两个不共线的向量 ，如，如果果 ，那么向量，那么向量 与向
8、量与向量 ,有什么有什么位置关系？位置关系？C2.共面向量定理共面向量定理：如果两个向量：如果两个向量 ，不共线不共线，则向量则向量 与向量与向量 ，共面的充要共面的充要条件是条件是存在实数对存在实数对x,y使使推论推论:空间一点空间一点P P位于平面位于平面ABCABC内的充要条件是存在内的充要条件是存在有序实数对有序实数对x,yx,y使使C对空间任一点对空间任一点O,O,有有填空：填空：1-x-yxyC C 式称为空间平面式称为空间平面ABCABC的向量表示式，空间中任意的向量表示式，空间中任意平面由空平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定间一点及两个不共线的向量唯一确定.由此可判断空
9、间任意四点共面由此可判断空间任意四点共面P与与A,B,C共面共面1.下列下列说明正确的是：说明正确的是：(A)在平面内共线的向量在空间不一定共线在平面内共线的向量在空间不一定共线(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线在空间共线的向量在平面内不一定共线(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线在平面内共线的向量在空间一定不共线(D)在空间共线的向量在平面内一定共线在空间共线的向量在平面内一定共线2.下列说法正确的是：下列说法正确的是：(A)平面内的任意两个向量都共线平面内的任意两个向量都共线(B)空间的任意三个向量都不共面空间的任意三个向量都不共面(C)空间的任意两个向量都共面空间的任意两个向量
10、都共面(D)空间的任意三个向量都共面空间的任意三个向量都共面1下列命题中正确的个数是()若a与b共线，b与c共线，则a与c共线向量a、b、c共面即它们所在的直线共面若ab，则存在惟一的实数，使ab.A1B2 C3 D0解析：中若b0，则a与c不一定共线中共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面中若b0，a0，则不存在.答案：D解析：由共面向量定理知，要证明解析：由共面向量定理知，要证明P P、A A、B B、C C四点共面，只要四点共面，只要证明存在有序实数对（证明存在有序实数对（x,yx,y）使得）使得例例1.1.已知已知A A、B B、C C三点不共
11、线，对于平面三点不共线，对于平面ABCABC外的任外的任一点一点O O，确定在下列各条件下，点，确定在下列各条件下，点P P是否与是否与A A、B B、C C一一定共面？定共面？利用共面向量的推论是证明四点共面的依据利用共面向量的推论是证明四点共面的依据考点二考点二证明四点共面证明四点共面例例2例1 如图，在空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，求证：BMNADC证证明明三三个个向向量量共共面面的的常常用用方方法法：(1)设设法法证证明明其其中中一一个个向向量量可可表表示示成成另另两两个个向向量量的的线线性性组组合合；(2)寻寻找平面找平面，证证明明这这些向量与平面些向量与平面平
12、行平行向量共面问题向量共面问题考点三考点三例例例例3 3【思思路路点点拨拨】利利用用向向量量共共面面的的充充要要条条件件或或向向量共面的定量共面的定义义来来证证明明(例例2)如图，已知平行四边形如图，已知平行四边形ABCD,从平从平面面AC外一点外一点O引向量引向量 ,求证：求证：四点四点E、F、G、H共面；共面；平面平面EG/平面平面AC.例例2(课本例课本例)已知已知 ABCD，从平面从平面AC外一点外一点O引向量引向量 求证：求证：四点四点E、F、G、H共共面；面；证明：证明：四边形四边形ABCD为为（）（）代）代入入所以所以 E、F、G、H共面。共面。共线向量共线向量 共面向量共面向量定义定义向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫做共面向量叫做共面向量.定理定理推论推论运用运用判断三点共线，或两判断三点共线，或两直线平行直线平行判断四点共线，或直线判断四点共线，或直线平行于平面平行于平面小结小结共面共面