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1、 能够运用正弦定理、余能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的些与测量和几何计算有关的实际问题实际问题.1.仰角和俯角仰角和俯角 与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线 的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线 在水平视线下方时叫俯角在水平视线下方时叫俯角(如图所示如图所示).2.方位角方位角 一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位方位 角角45，是指北偏东，是指北偏东45，即东北
2、方向，即东北方向.3.坡角坡角 坡面与水平面的夹角坡面与水平面的夹角(如图所示如图所示).4.坡比坡比 坡面的铅直高度与水平宽度之比，即坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i tan (i为坡比，为坡比，为坡角为坡角).1.从从A处望处望B处的仰角为处的仰角为，从，从B处望处望A处的俯角为处的俯角为，则，则、的关系为的关系为 ()A.B.C.90 D.180解析：解析：根据仰角和俯角的定义可知根据仰角和俯角的定义可知.答案：答案：B2.若若P在在Q的北偏东的北偏东44，则，则Q在在P的的 ()A.东偏北东偏北46 B.东偏北东偏北44 C.南偏西南偏西44 D.西偏南西偏南44解析：解析：由方位角
3、的定义可知，由方位角的定义可知，Q应在应在P的南偏西的南偏西44.答案：答案：C3.已知两座灯塔已知两座灯塔A和和B与海洋观察站与海洋观察站C的距离相等，灯塔的距离相等，灯塔 A在观察站在观察站C的北偏东的北偏东40，灯塔，灯塔B在观察站在观察站C的南偏东的南偏东 60，则灯塔，则灯塔A在灯塔在灯塔B的的 ()A.北偏东北偏东10 B.北偏西北偏西10 C.南偏东南偏东10 D.南偏西南偏西10解析：解析：如图所示，由已知如图所示，由已知ACB180406080，又又ACBC，AABC50，605010.灯塔灯塔A位于灯塔位于灯塔B的北偏西的北偏西10.答案：答案：B4.如图，在如图，在ABC
4、中，若中，若A120，AB5，BC7，则，则 SABC.解析：解析：在在ABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos120，即即4925AC25AC，解之得解之得AC3.SABC ABACsinA 53答案：答案：5.在在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯 角分别是角分别是30、60，则塔高为，则塔高为m.解析：解析：如图所示，设塔高为如图所示，设塔高为h m.由题意及图可知：由题意及图可知：(200h)tan60解得：解得：h m.答案：答案：解决该类问题的一般步骤：解决该类问题的一般步骤：(1)分析：理解题
5、意，分清已知与未知，画出示意图；分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量 集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得 数学模型的解；数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实 际问题的解际问题的解.特别警示特别警示(1)要计算距离就必须把这个距
6、离归结到一个要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点的一个基本出发点.(2)测量不可直接
7、到达的两点之间的距离，只要在这测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这两个点所在的平面上选取两个可以测量距离的点，两个点所在的平面上选取两个可以测量距离的点，测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量的测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量的两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解决问题决问题.(2009辽宁高考辽宁高考)如图如图所示，所示，A、B、C、D都在同一个都在同一个与水平面垂直的平面内，与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面测量船于水面A处测得处测得B点和点和D点的仰角分别为点的
8、仰角分别为75,30，于水，于水面面C处测得处测得B点和点和D点的仰角均为点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图试探究图中中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距的距离离(计算结果精确到计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449).思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记在在ACD中，中，DAC30，ADC60DAC30，所以所以CDAC0.1.又又BCD180606060，故故CB是是CAD底边底边AD的中垂线，的中垂线，所以所以BDBA.在在ABC中，中，即即AB因此，因此，BD 0.33 km.故故B、D的距离约为的距离约为0.3
9、3 km.正、余弦定理在测高问题中的应用正、余弦定理在测高问题中的应用背景背景可可测测元元素素图图形形目目标标及解法及解法底部可底部可到达到达a、求求AB，ABatan底部不底部不可到达可到达a、求求AB，在在 ACD中用正中用正弦定理求弦定理求AD；ABADsin特别警示特别警示解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念角的概念.某人在塔的正东沿着南偏西某人在塔的正东沿着南偏西60的方向前进的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为为30，求塔高，求塔高.思路点拨思路点拨依题意画图
10、，某人在依题意画图，某人在C处，处，AB为塔高，他沿为塔高，他沿CD前进，前进，CD40米，此时米，此时DBF45，从，从C到到D沿沿途测塔的仰角，只有途测塔的仰角，只有B到测试点的距到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为离最短时，仰角才最大，这是因为tanAEB ，AB为定值，为定值，BE最小时，仰角最大最小时，仰角最大.要求出要求出塔高塔高AB，必须先求，必须先求BE，而要求，而要求BE，需先求，需先求BD(或或BC).课堂笔记课堂笔记在在BCD中，中，CD40，BCD30，DBC135，由正弦定理得，由正弦定理得BD 20 .过过B作作BECD于于E显然当人在显然当人在E处时，测得塔
11、的仰角最大，处时，测得塔的仰角最大，有有BEA30，在在RtBED中，中，BDE1801353015.BEDBsin1520 10(1).在在RtABE中，中，AEB30，ABBEtan30 (3 )(米米).故所求的塔高为故所求的塔高为 (3 )米米.1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义.2.根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形 中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正 弦定理或余弦定理解决弦定理或余弦定理解决.如图，为了解某海域
12、海底构造，在海平面内一如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的条直线上的A，B，C三点进行测量，已知三点进行测量，已知AB50 m，BC120 m，于，于A处测得水深处测得水深AD80 m，于，于B处测得水深处测得水深BE200 m，于，于C处测得水深处测得水深CF110 m，求，求DEF的余的余弦值弦值.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记作作DMAC交交BE于于N，交，交CF于于M.DFDEEF在在DEF中，由余弦定理，中，由余弦定理，cosDEF 高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测查，其
13、常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算接计算.而而09年宁夏、海南高考打破常规，并没有直年宁夏、海南高考打破常规，并没有直接给出测量数据让考生直接计算，接给出测量数据让考生直接计算，而是要求而是要求考生考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说是解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说是一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向.考题印证考题印证(2009宁夏、海南高考宁夏、海
14、南高考)(12分分)为了测量两山顶为了测量两山顶M、N间的距间的距离，飞机沿水平方向在离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内在同一个铅垂平面内(如示意如示意图图).飞机能够测量的数据有俯角和飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离间的距离.设计一个方案，包括：设计一个方案，包括：指出需要测量的数据指出需要测量的数据(用字母用字母表示，并在图中标出表示，并在图中标出)；用文字和公式写出计算用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤间的距离的步骤.【解解】方案一：方案一：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M、N点点的俯角的俯角1、1；B点到点
15、到M、N的俯角的俯角2、2；A、B间的距间的距离离d(如图所示如图所示).(6分分)第一步：计算第一步：计算AM.由正弦定理由正弦定理AM(8分分)第二步：计算第二步：计算AN.由正弦定理由正弦定理AN ；(10分分)第三步：计算第三步：计算MN.由余弦定理由余弦定理MN (12分分)方案二：方案二：需要测量的数据有：需要测量的数据有：A点到点到M、N点的俯角点的俯角1、1；B点到点到M、N点的俯角点的俯角2、2；A、B的距离的距离d(如图所示如图所示).(6分分)第一步：计算第一步：计算BM.由正弦定理由正弦定理BM ；(8分分)第二步：计算第二步：计算BN.由正弦定理由正弦定理BN ；(1
16、0分分)第三步，计算第三步，计算MN.由余弦定理由余弦定理MN (12分分)自主体验自主体验2009年年11月月13日，中国日，中国第四批护航编队第四批护航编队“马鞍山马鞍山”舰、舰、“温州温州”舰顺利抵达亚丁湾海域执行护航任务，在一次护舰顺利抵达亚丁湾海域执行护航任务，在一次护航过程位于航过程位于C处的处的“马鞍山马鞍山”舰接到位于其东偏南舰接到位于其东偏南15方向，相方向，相距距2海里的海里的A处某商船求救信号，称在其东偏北处某商船求救信号，称在其东偏北45方向，相距方向，相距(1)海里的海里的B处，一艘同行商船被海盗劫持，处，一艘同行商船被海盗劫持，并向北偏东并向北偏东30方向，以方向，
17、以10海里每小时速度逃窜，海里每小时速度逃窜，“马鞍马鞍山山”舰最快速度为舰最快速度为10 海里海里/小时，请你设计一套小时，请你设计一套“马鞍马鞍山山”舰追击海盗船只的方案，使舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山马鞍山”舰能最快截获舰能最快截获海盗船，包括：海盗船，包括：“马鞍山马鞍山”舰航行的速度及方向；舰航行的速度及方向；追上海盗船所用时间追上海盗船所用时间.解：解：如图，设如图，设“马鞍山马鞍山”舰以舰以10 海里海里/小时速度追击，小时速度追击，t小时后在小时后在D处截获海盗船处截获海盗船.则则CD10 t海里，海里，BD10 t海里，在海里，在ABC中，由余弦定理中，由余弦定理得得BC
18、2AB2AC22ABACcosA(1)222(1)2cos1206，BC 海里海里.又又sinABCABC45，B点在点在C点的正东方向上，点的正东方向上，CBD9030120.在在BCD中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得sinBCDBCD30，“鞍山舰鞍山舰”沿北偏东沿北偏东60的方向行驶的方向行驶.又在又在BCD中，中，CBD120，BCD30，D30，BDBC，即，即10t .t 小时小时15分钟分钟.综上所述，综上所述，“马鞍山马鞍山”航沿北偏东航沿北偏东60方向，以方向，以10 海里海里/小时的速度航行，小时的速度航行，15分钟后能截获海盗船分钟后能截获海盗船.1.一船向正北航行，
19、看见正西方向有相距一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一 灯塔在船的南偏西灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西75，则这，则这 只船的速度是每小时只船的速度是每小时 ()A.5海里海里B.5 海里海里 C.10海里海里 D.10 海里海里解析：解析：如图，依题意有如图，依题意有BAC60，BAD75，所以所以CADCDA15，从而从而CDCA10，在直角三角形，在直角三角形ABC中，可得中，可得AB5，于是这只船的速度是，于是这只船的速度是 10
20、(海里海里/小时小时).答案：答案：C2.某人向正东方向走某人向正东方向走x km后，向右转后，向右转150，然后朝新方向，然后朝新方向 走走3 km，结果他离出发点恰好是，结果他离出发点恰好是 km，那么，那么x的值为的值为()A.B.2 C.或或2 D.解析：解析：如图所示，设此人从如图所示，设此人从A出发，则出发，则ABx，BC3，AC ，ABC30，由正弦定理由正弦定理 ，得得CAB60或或120，当当CAB60时，时，ACB90，AB2 ；当当CAB120时，时，ACB30，AB .答案：答案：C3.如图所示，为了测量某障碍物两侧如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定间的
21、距离，给定 下列四组数据，不能确定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是间距离的是 ()A.，a，bB.，a C.a，b，D.，b.解析：解析：选项选项B中由正弦定理可求中由正弦定理可求b，再由余弦定理可，再由余弦定理可确定确定AB.选项选项C中可由余弦定理确定中可由余弦定理确定AB.选项选项D同同B类似类似.答案：答案：A4.甲、乙两楼相距甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角米，从乙楼底望甲楼顶的仰角 为为60，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲、，则甲、乙两楼的高分别是乙两楼的高分别是 .解析：解析：如图，依题意有如图，依题意有甲楼的高度甲楼的高度AB20
22、tan6020 米，又米，又CMDB20米，米，CAM60，所以，所以AMCM 米，故乙楼的高米，故乙楼的高度为度为CD20 米米.答案：答案：20 米，米，米米5.(2010保定模拟保定模拟)在在ABC中，若中，若a3 ，cosC ，SABC4 ，则，则b.解析：解析：cosC ，sinC ，又又SABC4 ，即，即 absinC4 ，b2 .答案：答案：26.如图，港口如图，港口B在港口在港口O正东正东120海海 里处，小岛里处，小岛C在港口在港口O北偏东北偏东60 方向，港口方向，港口B北偏西北偏西30方向上方向上.一艘科学考察船从港口一艘科学考察船从港口O出发，出发，沿北偏东沿北偏东3
23、0的的OA方向以方向以20海里海里/小小 时的速度驶离港口时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口，一艘快艇从港口B出发，以出发，以60海里海里/小时的速度驶向小岛小时的速度驶向小岛C，在，在C岛装运补给物资后给考察船岛装运补给物资后给考察船 送去送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问小时，问 快艇驶离港口快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：解：设快艇驶离港口设快艇驶离港口B后，最后，最少要经过少要经过x小时，在小时，在OA上的点上的点D处与考察船相遇处与考察船相遇.如图，连结如图，连结CD.则快艇沿线段则快艇沿线段BC，CD航行航行.在在OBC中，中，BOC30，CBO60，BCO90.又又BO120，BC60，OC60 .故快艇从港口故快艇从港口B到小岛到小岛C需要需要1小时小时.在在OCD中，中，COD30，OD20 x，CD60(x2).由余弦定理知，由余弦定理知，CD2OD2OC22ODOCcosCOD，602(x2)2(20 x)2(60 )2220 x60 cos30，解得，解得x3或或x .x1，x3.答：答：快艇驶离港口快艇驶离港口B后，最少要经过后，最少要经过3小时才能和考察船相遇小时才能和考察船相遇.