《高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学圆锥曲线练习题及答案历年高考试题.doc（62页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品文档2021年高考数学试题分类汇编圆锥曲线一、选择题1.2021全国卷理设双曲线a0,b0的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，那么该双曲线的离心率等于( )A B2 C D解：设切点，那么切线的斜率为.由题意有又解得: .2.2021全国卷理椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，假设,那么=(A). (B). 2 (C). (D). 3解:过点B作于M,并设右准线,故.又由椭圆的第二定义,得.应选A3.2021浙江理过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为假设，那么双曲线的离心率是 ( )A B C D答案：C 【解析】对于，那么直线方程为，直线与两渐近线
2、的交点为B，C，那么有，因4.2021浙江文椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点假设，那么椭圆的离心率是 A B C D5D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查，既表达了几何与向量的交汇，也表达了数形结合的巧妙应用【解析】对于椭圆，因为，那么6.2021北京理点在直线上，假设存在过的直线交抛物线于两点，且，那么称点为“点，那么以下结论中正确的选项是 A直线上的所有点都是“点 B直线上仅有有限个点是“点 C直线上的所有点都不是“点 D直线上有无穷多个点点不是所有的点是“点【解析】此题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力
3、. 属于创新题型. 此题采作数形结合法易于求解，如图，设，那么，第8题解答图消去n,整理得关于x的方程 1恒成立，方程1恒有实数解，应选A.7.(2021山东卷理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，那么双曲线的离心率为( ).A. B. 5 C. D.【解析】:双曲线的一条渐近线为,由方程组,消去y,得有唯一解,所以=,所以,应选D.答案:D.【命题立意】:此题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,那么解方程组有唯一解.此题较好地考查了根本概念根本方法和根本技能.8.(2021山东卷文)设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和
4、轴交于点A,假设OAF(O为坐标原点)的面积为4,那么抛物线方程为( ).A. B. C. D. 【解析】: 抛物线的焦点F坐标为,那么直线的方程为,它与轴的交点为A,所以OAF的面积为,解得.所以抛物线方程为,应选B.答案:B.【命题立意】:此题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一.9.2021全国卷文双曲线的渐近线与圆相切，那么r=A B2 C3 D6答案：A解析：此题考查双曲线性质及圆的切线知识
5、，由圆心到渐近线的距离等于r，可求r=10.2021全国卷文直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点。假设,那么k=(A) (B) (C) (D)答案：D解析：此题考查抛物线的第二定义，由直线方程知直线过定点即抛物线焦点2，0，由及第二定义知联立方程用根与系数关系可求k=。11.2021安徽卷理以下曲线中离心率为的是A B C D解析由得，选B12.2021安徽卷文以下曲线中离心率为的是A. B. C. D. 【解析】依据双曲线的离心率可判断得.选B。13.2021安徽卷文直线过点-1，2且与直线垂直，那么的方程是A B. C. D. 【解析】可得斜率为即，选A。14.2021江西卷文设和
6、为双曲线()的两个焦点, 假设，是正三角形的三个顶点,那么双曲线的离心率为 A B C D3答案：B【解析】由有,那么,应选B.15.2021江西卷理过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，假设，那么椭圆的离心率为 A B C D答案：B【解析】因为，再由有从而可得，应选B16.2021天津卷文设双曲线的虚轴长为2，焦距为，那么双曲线的渐近线方程为 A B C D【解析】由得到，因为双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性质和运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。17.(2021湖北卷理)双曲线的准线过椭圆的焦点，那么直线与椭圆至多有一个交点的
7、充要条件是A. B. C. D. 【解析】易得准线方程是 所以 即所以方程是联立可得由可解得A18.2021四川卷文双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点 A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是2，0和2，0，且或.不妨去，那么，.19.2021全国卷理直线与抛物线相交于两点，为的焦点，假设，那么A. B. C. D. 解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,那么,那么, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 应选D20.2021全国卷理双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，
8、假设,那么的离心率为A B. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 应选A21.2021湖南卷文抛物线的焦点坐标是【 B 】A2，0 B- 2，0 C4，0 D- 4，0解:由,易知焦点坐标是，应选B. 22.2021辽宁卷文圆C与直线xy0 及xy40都相切，圆心在直线xy0上，那么圆C的方程为A (B) (C) (D) 【解析】圆心在xy0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可 答案B23.2021宁夏海南卷理双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为A B2 C D1解析：
9、双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A24.2021宁夏海南卷理设抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。假设AB的中点为2，2，那么直线的方程为_.解析：抛物线的方程为，答案：y=x25.2021陕西卷文过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为A B2 CD2答案:D.解析:,圆心到直线的距离，由垂径定理知所求弦长为 应选D.26.2021陕西卷文“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆的A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 (D) 既不充分也不必要条件答案:C. 解析:将方程转化为 , 根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足所以，
10、应选C.27.2021四川卷文双曲线的左、右焦点分别是、，其一条渐近线方程为，点 A. 12 B. 2 C. 0 D. 4【解析】由渐近线方程为知双曲线是等轴双曲线，双曲线方程是，于是两焦点坐标分别是2，0和2，0，且或.不妨去，那么，.28.2021全国卷文设双曲线的渐近线与抛物线相切，那么该双曲线的离心率等于A B2 C D【解析】本小题考查双曲线的渐近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，根底题。解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，应选择C。29.2021全国卷文椭圆的右焦点为F,右准线，点，线段AF交C于点B。假设,那么=
11、(A) (B) 2 (C) (D) 3【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，根底题。解:过点B作于M,并设右准线,故.又由椭圆的第二定义,得.应选A30.2021湖北卷文双曲线b0的焦点，那么b=A.3 B. C. D.【解析】可得双曲线的准线为,又因为椭圆焦点为所以有.即b2=3故b=.故C.31.2021天津卷理设抛物线=2x的焦点为F，过点M，0的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，那么BCF与ACF的面积之比=A B C D【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系，和综合运算数学的能力，中档题。解析：由题知，又由A、B、M三点共线有
12、即，故，应选择A。32.2021四川卷理双曲线的左右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，那么=A. B. C .0 D. 4【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义，根底题。同文8解析：由题知，故，应选择C。解析2：根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程，那么左、右焦点坐标分别为，再将点代入方程可求出，那么可得，应选C。33.2021四川卷理直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是A.2 B.3 C. D.【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，综合题。解析：直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故此题
13、化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，应选择A。解析2：如以下图，由题意可知34.2021宁夏海南卷文圆：+=1，圆与圆关于直线对称，那么圆的方程为A+=1 B+=1C+=1 D+=1 【解析】设圆的圆心为a，b，那么依题意，有，解得：，对称圆的半径不变，为1，应选B。35.2021福建卷文假设双曲线的离心率为2，那么等于A. 2 B. C. D. 1解析解析 由，解得a=1或a=3，参照选项知而应选D.36.2021重庆卷理直线与圆的位置关系为 A相切 B相交但直线不过圆心 C直线过圆心D相离【解析】圆心为到直线，即的距离，而，选B。37.2021重庆
14、卷理以为周期的函数，其中。假设方程恰有5个实数解，那么的取值范围为 ABCD【解析】因为当时，将函数化为方程，实质上为一个半椭圆，其图像如下图，同时在坐标系中作出当得图像，再根据周期性作出函数其它局部的图像，由图易知直线与第二个椭圆相交，而与第三个半椭圆无公共点时，方程恰有5个实数解，将代入得令由同样由与第二个椭圆由可计算得综上知38.2021重庆卷文圆心在轴上，半径为1，且过点1，2的圆的方程为 A B C D解法1直接法：设圆心坐标为，那么由题意知，解得，故圆的方程为。解法2数形结合法：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为0，2，故圆的方程为解法3验证法：将点1，2代入四个选择支，排除B
15、，D，又由于圆心在轴上，排除C。39.2021年上海卷理过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，被圆分成四局部如图，假设这四局部图形面积满足那么直线AB有 A 0条 B 1条 C 2条 D 3条【解析】由，得：，第II，IV局部的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，应选B。二、填空题1.2021四川卷理假设与相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，那么线段AB的长度是 【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识，综合题。解析：由题知，且，又，所以有，。2.2021全国卷文假设直线被两平行线
16、所截得的线段的长为，那么的倾斜角可以是 其中正确答案的序号是 .写出所有正确答案的序号【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离，考查数形结合的思想。解：两平行线间的距离为，由图知直线与的夹角为，的倾斜角为，所以直线的倾斜角等于或。故填写或3.2021天津卷理假设圆与圆a0的公共弦的长为，那么_。【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系，根底题。解析：由知的半径为，由图可知解之得4.2021湖北卷文过原点O作圆x2+y26x8y20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，那么线段PQ的长为 。【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得5.2021重庆卷文椭圆的
17、左、右焦点分别为，假设椭圆上存在一点使，那么该椭圆的离心率的取值范围为 . 解法1，因为在中，由正弦定理得那么由，得，即设点由焦点半径公式，得那么记得由椭圆的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2 由解析1知由椭圆的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.6.2021重庆卷理双曲线的左、右焦点分别为，假设双曲线上存在一点使，那么该双曲线的离心率的取值范围是 解法1，因为在中，由正弦定理得那么由，得，即，且知点P在双曲线的右支上，设点由焦点半径公式，得那么解得由双曲线的几何性质知，整理得解得，故椭圆的离心率解法2 由解析1知由双曲线的定义知，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.7.20
18、21北京文椭圆的焦点为，点P在椭圆上，假设，那么 ；的大小为 .【解析】此题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 属于根底知识、根本运算的考查. ，又， 又由余弦定理，得， ，故应填.8.2021北京理设是偶函数，假设曲线在点处的切线的斜率为1，那么该曲线在处的切线的斜率为_.【解析】此题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于根底知识、根本运算的考查.取，如图，采用数形结合法，易得该曲线在处的切线的斜率为.故应填.9.2021北京理椭圆的焦点为，点在第11题解答图椭圆上，假设，那么_；的小大为_. 【解析】此题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦
19、距之间的关系以及余弦定理. 属于根底知识、根本运算的考查. ，又，又由余弦定理，得，故应填.10.2021江苏卷如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，那么该椭圆的离心率为 .【解析】 考查椭圆的根本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，那么在椭圆上，解得：11.2021全国卷文圆O：和点A1，2，那么过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 。解析：由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别
20、是5和，所以所求面积为。12.2021广东卷理巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，那么椭圆的方程为 【解析】，那么所求椭圆方程为.13.(2021年广东卷文)以点2，为圆心且与直线相切的圆的方程是 .【答案】【解析】将直线化为,圆的半径,所以圆的方程为14.2021天津卷文假设圆与圆的公共弦长为，那么a=_. 【解析】由，两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 ，利用圆心0，0到直线的距离d为，解得a=1【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。考察了同学们的运算能力和推理能力。15.2021四川卷文抛物线的焦
21、点到准线的距离是 .【解析】焦点1，0，准线方程，焦点到准线的距离是216.2021湖南卷文过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线， 切点分别为A，B，假设O是坐标原点，那么双曲线线C的离心率为 2 . 解: , 17.2021福建卷理过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，假设线段AB的长为8，那么_解析：由题意可知过焦点的直线方程为，联立有，又。18.2021辽宁卷理以知F是双曲线的左焦点，是双曲线右支上的动点，那么的最小值为 。【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F(4,0), 于是由双曲线性质|PF|PF|2a4 而|PA|PF|AF|5 两式相加得|PF
22、|PA|9,当且仅当A、P、F三点共线时等号成立.【答案】919.2021四川卷文抛物线的焦点到准线的距离是 .【解析】焦点1，0，准线方程，焦点到准线的距离是220.2021宁夏海南卷文抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，假设为的中点，那么抛物线C的方程为 。【解析】设抛物线为y2kx，与yx联立方程组，消去y，得：x2kx0，k22，故.21.(2021湖南卷理)以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为60 ，那么双曲线C的离心率为 .【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是是虚半
23、轴长，是焦半距，且一个内角是，即得，所以，所以，离心率22.2021年上海卷理、是椭圆0的两个焦点，为椭圆上一点，且.假设的面积为9，那么=_.【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。23.2021上海卷文是椭圆的两个焦点，为椭圆上的一点，且。假设的面积为9，那么 .【解析】依题意，有，可得4c2364a2，即a2c29，故有b3。三、解答题1.(2021年广东卷文)本小题总分值14分椭圆G的中心在坐标原点,长轴在轴上,离心率为,两个焦点分别为和,椭圆G上一点到和:的圆心为点.(1)求椭圆G的方程(2)求的面积(3)问是否存在圆包围椭圆G?请说明理由.【解析】1设椭圆
24、G的方程为： 半焦距为c; 那么 , 解得 , 所求椭圆G的方程为：.(2 )点的坐标为 3假设，由可知点6，0在圆外， 假设，由可知点-6，0在圆外； 不管K为何值圆都不能包围椭圆G.2.2021全国卷理本小题总分值12分 如图，抛物线与圆相交于、四个点。 I求得取值范围； II当四边形的面积最大时，求对角线、的交点坐标分析：I这一问学生易下手。将抛物线与圆的方程联立，消去，整理得抛物线与圆相交于、四个点.考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以II考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入的 方法处理本小题是一个较好的切入点 设四个交点的坐标分别为、。
25、那么由I根据韦达定理有，那么 令，那么 下面求的最大值。方法一：利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中虽不要求，但在处理一些最值问题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数，但要注意取等号的条件，这和二次均值类似。 当且仅当，即时取最大值。经检验此时满足题意。方法二：利用求导处理，这是命题人的意图。具体解法略。下面来处理点的坐标。设点的坐标为：由三点共线，那么得。以下略。3.2021浙江理此题总分值15分椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为 I求椭圆的方程； II设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值解析：I由题意得所求的椭圆方程为，II不
26、妨设那么抛物线在点P处的切线斜率为，直线MN的方程为，将上式代入椭圆的方程中，得，即，因为直线MN与椭圆有两个不同的交点，所以有，设线段MN的中点的横坐标是，那么，设线段PA的中点的横坐标是，那么，由题意得，即有，其中的或；当时有，因此不等式不成立；因此，当时代入方程得，将代入不等式成立，因此的最小值为14.2021浙江文此题总分值15分抛物线：上一点到其焦点的距离为 I求与的值； II设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于点，过点作的垂线交于另一点假设是的切线，求的最小值解析由抛物线方程得其准线方程：，根据抛物线定义点到焦点的距离等于它到准线的距离，即，解得抛物线方程为：，将代
27、入抛物线方程，解得由题意知，过点的直线斜率存在且不为0，设其为。那么，当 那么。联立方程，整理得：即：，解得或，而，直线斜率为，联立方程整理得：，即： ，解得：，或，而抛物线在点N处切线斜率：MN是抛物线的切线， 整理得，解得舍去，或，5.2021北京文本小题共14分双曲线的离心率为，右准线方程为。求双曲线C的方程；直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值.【解析】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，
28、 由得判别式, ,点在圆上，.6.2021北京理本小题共14分双曲线的离心率为，右准线方程为求双曲线的方程；设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.【解法1】此题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等根底知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的根本思想方法，考查推理、运算能力由题意，得，解得， ，所求双曲线的方程为.点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得，切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，且，设A、B两点的坐标分别为，那么，且，. 的大小为.【解法2】同解法1.点在圆上，圆在点处的切线方程为，化简得.由及得 切线与双曲线C交于不同的两点A、B，且，设A
29、、B两点的坐标分别为，那么， 的大小为.且，从而当时，方程和方程的判别式均大于零.7.2021江苏卷此题总分值10分在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点A2，2，其焦点F在轴上。1求抛物线C的标准方程；2求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；3设过点的直线交抛物线C于D、E两点，ME=2DM，记D和E两点间的距离为，求关于的表达式。【解析】 必做题本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等根本知识，考查运算求解能力。总分值10分。 8.(2021山东卷理)本小题总分值14分设椭圆E: a,b0过M2， ，N(,1)两点，O为坐标原点，I求椭圆E的方程；II是否存在圆心在原点的
30、圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？假设存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，假设不存在说明理由。解:1因为椭圆E: a,b0过M2， ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为2假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,那么=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,
31、B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取=. 当时,. 当AB的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |的取值范围为即: 【命题立意】:此题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程确实定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.9. (2021山东卷文)本小题总分值14分设,在平面直角坐标系中,向量,向量,动点的轨迹为E.1求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;2,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并
32、求出该圆的方程;(3),设直线与圆C:(1R2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.解:1因为,所以, 即.当m=0时,方程表示两直线,方程为;当时, 方程表示的是圆当且时,方程表示的是椭圆; 当时,方程表示的是双曲线.(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 那么使=,即,即, 且,要使, 需使,即,所以, 即且, 即恒成立.所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为, 所求的圆为.当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.综上, 存在圆心在原
33、点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1R2)相切于A1, 由2知, 即 ,因为与轨迹E只有一个公共点B1,由2知得,即有唯一解那么=, 即, 由得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,由 中,所以, B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.【命题立意】:此题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.10.2021江苏卷本小题总分值1
34、6分在平面直角坐标系中，圆和圆.1假设直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；2设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。总分值16分。(1)设直线的方程为：，即由垂径定理，得：圆心到直线的距离，结合点到直线距离公式，得：化简得：求直线的方程为：或，即或(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：，即：因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。由垂径定理，
35、得：圆心到直线与直线的距离相等。故有：，化简得：关于的方程有无穷多解，有：解之得：点P坐标为或。11.2021全国卷文本小题总分值12分椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为求a,b的值；C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？假设存在，求出所有的P的坐标与l的方程；假设不存在，说明理由。解析：此题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解：设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为
36、 故 ， 由 得 ，=C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 知C的方程为+=6. 设 () C 成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 , =, 代入解得，此时 于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.12.2021广东卷理本小题总分值14分曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域含边界为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合1假设点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；2假设曲线与有公共点，试求的最小值解xAxBD：1联立与得，那么中点，设线段的中点坐标为，那么，
37、即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，那么，即，中点的轨迹方程为.2曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，那么的最小值为.13.2021安徽卷理本小题总分值13分点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为.I证明: 点是椭圆与直线的唯一交点；II证明:构成等比数列.解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等根底知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题总分值13分。解：I方法一由得代入椭圆,得.将代入上
38、式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P.(方法二)显然P是椭圆与的交点，假设Q是椭圆与的交点，代入的方程，得即故P与Q重合。方法三在第一象限内，由可得椭圆在点P处的切线斜率切线方程为即。因此，就是椭圆在点P处的切线。根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线的唯一交点。II的斜率为的斜率为由此得构成等比数列。14.2021安徽卷文本小题总分值12分椭圆ab0的离心率为，以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+2相切，求a与b；设该椭圆的左，右焦点分别为和，直线过且与x轴垂直，动直线与y轴垂直，交与点p.求线段P垂直平分线与的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型。【思路】1由椭圆建立a、b等量关系，再根据直线与椭圆相切求出a、b.2依据几何关系转化为代数方程可求得，这之中的消参就很重要了。【解析】1由于 又 b2=2,a2=3因此，.2由1知F1，F2两点分别为-1，0，1,0，由题意可设P1，t.t0.那么线段PF1中点为，设M(x、y那么消去参数t得,其轨迹为抛物线除原点15.2021江西卷文本小题总分值14分如图，圆是椭圆的内接的内切圆, 其中为椭圆的左顶点.1求圆的半径;2过点作圆的两条切线交椭圆于两点，G证明：直线与圆相切解: 1设，过圆心作