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1、优质文本第二章：有理数一、有理数的意义(yy)及相关概念 知识梳理1.正、负数的概念像1、1.2，.这样的大于零的数叫做正数;在正数的前面加上号的数叫做负数. 0既不是正数也不是负数.我们常常用正数和负数表示一些相反意义的量.2.有理数的定义及分类整数和分数统称为有理数.有理数的分类：n 按符号分:有理数n 按定义分:有理数3.数轴：画一条水平的直线，在直线上取一点表示零叫做原点选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。三要素：原点、单位长度、正方向。易混淆点：单位长度可任意选取。n 有理数与数轴(shzhu)的关系任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示。n 数轴的
2、判断方法要判断是否为数轴，应抓住它的三要素：原点，正方向，单位长度，三者缺一不可。n 数轴的表示方法数轴上表示数的点可用大写字母标出，写在数轴上方相对应点的上面，原点用O表出，它表示数0，数轴上的点对应的数用小写字母表示.写在数轴下方.数轴上原点位置根据需要来确定，不一定在中间，在同一数轴上，单位长度要相同。n 比拟大小数轴 数轴从左至右依次增大，所以先在数轴确定两个或多个数的位置，然后按它的特点进行判断。数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。 比拟两个负数的大小 三大步骤：1先分别写出两负数的绝对值；2比拟这两个绝对值的大小；3绝对值大的反而小。有
3、理数大小的比拟法那么： 正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两负数绝对值大的反而小。4.相反数代数定义：只有符号不同的两个数，我们称其中一个为另一个的相反数，这两数也互称为相反数。 0的相反数是0。几何定义： 两个互为相反数的数在数轴上分别到原点的距离相等。5.绝对值代数(dish)定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。用式子表示为： 几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作“|a|。 易错知识辨析1.自然数,非负数,非正数,非零有理数所代表的数中零的位置;2.数轴上到任一点距离相等的点所表示的数有两个,他们不一定互为
4、相反数;3.互为相反数的两个数不一定一正一负,绝对值等于本身的数是非负数,绝对值等于它的相反数的数是 非正数.4.原点代表的有理数为零,并不代表没有,它代表的是一个基准值. 课堂精讲例题【例1 】训练重点:关注零在有理数中的地位,强化有理数是带符号的数的思想.1.以下说法： 零是正数 零是整数 零是最小的有理数 零是最小的自然数 零是最大的负数 零是非负数 零是偶数其中正确的说法为 。 2体育课上全班女生进行百米测验达标成绩为18秒,下面是第一小组8名女生的成绩记录,其中“+表示成绩大于18秒,“表示成绩小于18秒这个小组女生的达标率是( ) A25%B37.5%C50%D75% 3.七名同学
5、的体重以48kg为标准,超过即为正,缺乏记为负,记录如下编号1234567与标准体重的差(kg)-3.0+1.5+0.80+0.3+1.2+0.5A. 最接近标准体重(tzhng)的学生体重是多少?并说明这个有理数的意义.B. 按体重的轻重排列时,恰好居中的是哪位同学? 4观察下面依次排列的一列数,它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数,并写出第150个数.(1)1,-,-,-,-,_,_,_,第150个数是_;(2)1,-,-,-,-,-,-_,_,_,第150个数是_;(3)1,-,-,1,-,-_,_,_,第150个数是_.【课堂训练题】1如果表示有理数, 那么以下说法中正确的选项是
6、 (A) 和一定不相等 (B) 一定是负数 (C) 和一定相等 (D) 一定是正数 2.是 A整数 B分数 C有理数 D以上都不对 3.大于3.5，小于2.5的整数共有 个。 A6 B5 C4 D3 4.写出三个有理数，使它们满足：是负数；是整数；能被2、3、5整除。答：_。5.某公司今年第一季度收入与支出情况如表所示单位：万元月份一月二月三月收入324850支出121310请问：(1)该公司今年第一季度总收入与总支出各多少万元？ (2)如果收入用正数表示，那么总收入与总支出应如何表示？ (3)该公司第一季度利润为多少万元？ 【例2】训练重点:数轴上的点与数的关系,点与点的距离与点的关系,初步
7、形成数形结合的思想1数轴上原点右边4.8厘米处的点表示(biosh)的有理数是32，那么，数轴左边18厘米处的点表示的有理数是_。 2.一数轴上的A点到原点的距离为2.，那么数轴上到A点的距离为3的点所表示的数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.借助数轴列式答复以下问题(1) 与原点相距的点表示的数是什么?(2) 与-3相距的点表示的数是什么?(3) 一个点A表示的数为-,把A点向左移动2个单位后所得的点对应的数为什么?(4) 两个点A,B分别表示的数为-1，,有一个点C到这两个点的距离相等,那么点C表示的数为什么? 【课堂训练题】1画一条数轴,并在数轴上找出比-大,且比小的整数点
8、. 2根据下面给出的数轴,解答以下问题:-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5A B(1)A、B两点之间的距离是多少?(2)画出与点A的距离为2的点(用不同于A、B的字母在所给的数轴上表示) (3)数轴上,线段AB的中点表示的数是多少? 3. 有理数a、b在数轴上对应点的位置如下图，那么以下不等式正确的选项是 A.ab B.-a-b C.b o D.a o【例3 】 训练重点:相反数,绝对值的意义,进一步理解有理数,提高运用数的能力.1. ，那么a是_数；，那么a是_数。 2.(1)+5的相反数是5，5的相反数是5，那么(n me)数x的相反数是_，数x的相反数是_； 数的相反数
9、是_；数的相反数是_。2因为到点2和点6距离相等的点表示的数是4，有这样的关系，那么到点100和到点999距离相等的数是_；到点距离相等的点表示的数是_；到点m和点n距离相等的点表示的数是_。3点4和点9之间的距离为5个单位，有这样的关系，那么点10和点之间的距离是_；点m和点n数n比m大之间的距离是_。4数5的绝对值是5，是它的本身；数5的绝对值是5，是它的相反数；以上由定理非负数的绝对值等于它本身，非正数的绝对值等于它的相反数而来。由这句话，正数a的绝对值为_；负数b的绝对值为_；负数1+a的绝对值为_，正数a+1的绝对值_。 3(1)如果x-2=2,求x,并观察数轴上表示x的点与表示1的
10、点的距离 (2)在(1)的启发下求适合条件x-13的所有整数x的值 【课堂训练题】1.以下说法中正确的选项是 A.正数的绝对值一定大于负数的绝对值 B.相反数等于它本身的数只有零C.一个有理数不是正数就一定是负数 D.绝对值等于它本身的数只有零. 2.假设，那么的取值不可能是 A. 0 B. 1 C.2 D.-2 3.绝对值大于1而小于4的整数(zhngsh)有 ，这些整数之和为 。4.假设a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2，那么mcd的值为 。5.假设b-3=0,那么a= ,b= ,ab= . 【稳固练习】1. 2.文具店、书店和玩具店依次座落在一条东西走向的大街上，文具店在书
11、店西边20米处，玩具店位于书店东边100米处，小明从书店沿街向东走了40米，接着又向东走了60米，此时小明的位置在 A.文具店 B.玩具店C.文具店西40米处 D.玩具店西60米处 3.在0，8，+10，+19，+3，3.4, 中整数的个数是 A.6 B.5 C.4 D.34.下面是具有相反意义的量，请用箭头标出其对应关系5如图,数轴上的点 ABO、CD分别表示-5、-1.5、0、2.5、6,答复以下问题.(1)O、C以及BD两点间的距离各是多少?(2)你能发现所得的距离与这两点所对应的数的差有什么关系吗?并请说出这个关系;(3)假设数轴上任意两点 AB所表示的数是a、b,请你用一个式子表示这
12、两点间的距离. 6. 假设(jish)，那么 ;假设，那么 ;假设，那么 ;假设，那么 ;假设，那么 ; 假设，那么 ;假设，那么 。 7数轴上点A表示数-1,假设|AB|=3,那么点B所表示的数为_8.假设，那么 。 9. (1) ，且b0,b0 B 假设a0，那么a-b0 C假设a0,b0D假设,假设，那么 3.a，b是有理数那么a+b与b这两个数比拟大小的结果是( ) A. B. C. D.大小关系取决于a 4.假设，且，求a-b+c的值。【课堂训练题】1.计算：116+(-25)+24+(-32) 216-(-)-(+)3-(-)+(-)-(+) 4(-2.39)+(+3.75)+(-
13、7.61)+(-1.57)2.假设m0,且,那么m+n_0(填“或“=) 3. 那么(n me)a取的数是( )A B C D 4.下表为今年雨季某防汛小组测量的某条河流在一周内的水位变化情况单位：米星 期一二三四五六日水位变化/米+0.25+0.52-0.18+0.06-0.13+0.49+0.10注：正号表示比前一天上升，负号表示比前一天水位下降（1） 假设本周日到达了警戒水位73.4米，那么本周一水位是多少？上周末的水位是多少？（2） 本周哪一天河流水位最高，哪一天水位最低？它们位于警戒水位之上还是之下？（3） 与上周相比，本周末河流水位是上升还是下降了？【例2】训练重点: 能准确地进行
14、有理数的乘除法,乘方的运算,运用运算法那么进行简单数的推理1.计算：1 27 37(-8)(- )0(-4.25) 4 2.假设，必有 A. B. C.、b同号 D.、b异号3.假设0x1，那么x、x2的大小关系是 A. xx2 B.xx2 C.x2x D. x2x【课堂训练题】1.计算：1(-1.5)-0.5 23(-81)(-16) 4(-5)25125(-2)165， 6， 2.设、b为任意(rny)两个有理数，且=，那么 A.或或b=0 B.或C.且 D.、b同号或b=0 3.假设、b为有理数，且=0，那么一定有 A.=0 B.=0且b C.=b=0 D.=0或b=0 4.假设x为任何
15、有理数，那么一定是_数，一定是_数；假设，那么一定是_数，一定是_数。【例3】训练重点:能准确地进行有理数的混合运算,综合运用运算法那么进行简单数的推理1.计算1 23 4-2.假设，且，那么 A. B. C. D.3.x,y,z是三个有理数，假设且，那么 0.4.四个各不相等的整数a,b,c,d,它们的积，那么的值为 A.0 B.8 C.-8 D. 【课堂(ktng)训练题】1.计算：1 (2) 3 4 5 6 2.以下说法中正确的选项是 同号两数相乘，积必为正 1乘以任何有理数都等于这个数本身 0乘以任何数的积均为0 -1乘以任何有理数都等于这个数的相反数A. B. C. D. 3.平方等
16、于本身的有理数是 ，立方等于本身的有理数是 .4.一个正数a的立方( ) A.一定比a大 B.一定比a小 C.一定等于a D.以上都有可能5.假设，求的值. 【稳固练习】1.计算(j sun)：(1). (2). (3). (4). (5). (6). 732+-11-21 8(9).=_。 (10). (11) 2.两个有理数、b，如果，且，那么 A. B. C.、b异号，且正数的绝对值较大D.、b异号，且负数的绝对值较大 3.假设，那么的取值范围 A. B. C. D.4.以下说法正确的选项是 A .a是有理数，那么a的倒数是有理数 B.的倒数与它的相反数的积是1 C.假设两数的商为零，那
17、么两数中至少有一个为零 D.假设，那么a=05.的所有可能的值有_个 6.，求的值。 7.，是的倒数(do sh)，求的值 三、有理数的实际应用及规律探索 知识梳理1.确定基准值,利用有理数表示一些有实际意义的数量,解决实际问题;2.巧用数轴模型,解决与距离有关的实际问题;3.探索有理数的运算规律,提高解决复杂运算的能力. 课堂精讲例题【例1】训练重点: 理解有理数的意义,利用有理数解决实际问题1.下表列出了国外几个城市与北京的时差(带正号的数表示同一时刻比北京时间早的时间),请答复(1)如果现在是北京时间上午8:00，那么东京时间是多少?城市纽约巴黎东京与北京的时差-13-7+1(2)如果小
18、芳给远在纽约的叔叔打 ,她在北京时间下午15:00打 ,你认为适宜吗?请说明理由 2一跳蚤在一直线上从O点开始,第1次向右跳1个单位,紧接着第2次向左跳2个单位,第3次向右跳3个单位,第4次向左跳4个单位,依此规律跳下去,当它跳第100次落下时,落点处离O点的距离是_个单位. 【课堂(ktng)训练题】1.个体儿童服装店老板以32元的价格购进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，假设以47元为标准，将超过的钱数记为正，缺乏的钱数记为负，记录结果如下表所示：售出件数763545售价元+3+2+10-1-2请问该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？ 2.三峡大坝从6月1
19、日下闸蓄水，下表是工作人员连续五天的水位记录如果规定蓄水位为135米情况，记录如下。单位：米6月1日6月2日6月3日6月4日6月5日-5+2-1+3+2问：(1)这5天中每天的水位各是多少米？(2)总的来说，水位是高了还是低了？假设高，高了多少？假设低，低了多少？3.某种细菌在培养过程中，每半小时分裂一次由一个分裂为两个，且原细菌死亡。假设这种细菌由1个分裂为16个，那么这个过程中要经过 A.1小时 B.2小时 C.3小时 D.4小时 【例2】训练重点: 探索数及数的运算规律,进行(jnxng)较复杂的运算1.观察以下算式：用你所发现的规律写出的末尾数字 。 2.，从以上的计算中，我们可以发现
20、：(1)底数的小数点向右或向左移动一位，其平方数的小数点怎样移动？(2) 底数的小数点向右或向左移动两位，其平方数的小数点怎样移动？3.如果规定符号的意义是ab=，求2-34的值 【课堂训练题】1.现有四个有理数:-2,5，-10,18将这四个数(每个数只能用一次)进行加,减,乘,除四那么运算.等于24的算式为_. 2.计算的值. 3.你能比拟和的大小吗?为了解决这个问题,我们从比拟简单的情形入手,经过归纳,从中发现,得出结论比拟以下各数(填或=) 从(1)题解答(jid)归纳猜测出与的结论根据上面归纳的结论可得出(填,或=) 4.用*规定一种运算,对于任意有理数a,b有a*b=-,例如7*4
21、=，试计算(-5)*3的值 【例3】训练重点:巧用数轴解决问题1如图,数轴上有三点 ABC,AB=AC,点C对应的数是200.(1)假设BC=300,求点A对应的数;(2)在(1)的条件下,动点P、Q分别从 AC两点同时出发向左运动,同时动点R从A点出发向右运动,点P、Q、R的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒,点M为线段PR的中点,点N为线段RQ的中点,多少秒时恰好满足MR=4RN(不考虑点R与点Q相遇之后的情形);(3)在(1)的条件下,假设点E、D对应的数分别为-800、0,动点P、Q分别从E、D两点同时出发向左运动,点P、Q的速度分别为10单位长度每秒、5单位长
22、度每秒,点M为线段PQ的中点,点Q在从是点D运动到点A的过程中,QCAM的值是否发生变化?假设不变,求其值;假设不变,请说明理由. 2.有理数a、b、c在数轴(shzhu)上的位置如下图，那么_ 【课堂训练题】.如图，数轴上A,B,C,D分别表示四个有理数所对应的点求 【稳固练习】1计算 2某市播送电视局欲招聘播音员一名,对两名候选人进行了两项素质测试,两人的两项测试成绩如下表所示.根据实际需要,播送电视局将面试、综合知识测试的得分按的比例计算两人的总成绩,那么_(填或)将被录用.测试工程测试成绩面试9095综合知识测试8580 3如图, A BCDE为某未标出原点的数轴上的五个点,且AB=B
23、C=CD=DE,那么(n me)点D所表示的数是() A10B9C6D0 4.，求的值 5按以下图中的程序运算:当输入的数据为4时,那么输出的数据是_ 6.一个骰子的六个面的展开图的数如图,任意掷3次,记上面的数为正,下面的为负,假设刚好三次上面的数为不同的奇数,那么三次上下面上所得的六个数字的和是_. 7.观察规律(gul),试猜测 的个位数是_. 8.有假设干数，记作，规定，假设给出 ，(1) 试求出，(2) 并推出的值 9.当a取什么什么有理数时，代数式有最大值？最大值为多少？ n 能力提升能力提升1：有理数的运算 有理数范围内可以进行加、减、乘、除除数不为0四那么运算，对于相同的有理数
24、相乘，我们规定了简捷算法有理数的乘方运算，除了要熟悉四那么运算的法那么之外，还应该注意到： 1、有理数对加、减、乘、除除数不为0四那么运算的结果是封闭的仍是有理数。 2、在有理数范围内、加法交换律、结合律、乘法交换律、结合律都成立，乘法对加法分配律也成立。 3、由于有了正、负数，加法与减法的界限消失，加、减可以互相转换，统一为代数和。如-3-7= -3+-7。在有理数范围内，除法可以转化为乘法，比方-57=-5。 能力(nngl)提升2：有理数的巧算 有理数运算是中学数学中一切运算的根底它要求同学们在理解有理数的有关概念、法那么的根底上，能根据法那么、公式等正确、迅速地进行运算不仅如此，还要善
25、于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，开展思维的敏捷性与灵活性 一括号的使用 在代数运算中，可以根据运算法那么和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单1 计算：2 2. 计算下式的值： 211555+445789+555789+211445 3. 计算：S=1-2+3-4+(-1)n+1n4. 在数1，2，3，1998前添符号(fho)“+和“-，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？二用字母表示数我们先来计算(100+2)(100-2)的值： (100+2)(100-2)=100100-2100+210
26、0-4=1002-22这是一个对具体数的运算，假设用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为 (a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2于是我们得到了一个重要的计算公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算5 计算 30012999的值6 计算 1039710 009的值7 计算：8 计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)9 计算： 10. 计算(j sun)：三观察算式找规律11. 某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平
27、均分87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，8812. 计算1+3+5+7+1997+1999的值 13.算 1+5+52+53+599+5100的值14.计算：能力提升3：绝对值 绝对值是初中代数中的一个根本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题 下面我们先复习一下有关绝对值的根本知识，然后进行例题分析一个正实数(shsh)的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零即绝对值的几何意义可
28、以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数反之，相反数的绝对值相等也成立由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数1.a，b为实数，以下各式对吗？假设不对，应附加什么条件？(1)a+b=a+b；(2)ab=ab；(3)a-b=b-a；(4)假设a=b，那么a=b；(5)假设ab，那么ab；(6)假设ab，那么ab2. 设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简b-a+a+c+c-b 3. x-3，化简：3+2-1+x4.假设，那么的所有可能值是什么？5. 假设(jish)x=3，y=2，且x-y=y-x，求