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1、12011-2018 新课标(理科)立体几何分类汇编一、选填题【2012 新课标】 （7）如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗1线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B ）()A69()C()D【解析】选 。该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 ，此3几何体的体积为 16392V【2012 新课标】 （11）已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边长为SABCOABC的正三角形， 为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ A ）1SCO2()A26()B36()()D【解析】 的外接圆的半径 ，点 到面 的距离 ， 为3rB263dRrS球 的直径 点 到面 的距离为 此棱锥的
2、体积为OSAC26d1132634ABCVd另： 排除SR,BD【2013 新课标 1】6 、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A )A、 cm3 B、 cm3 C、 cm3 D、 cm35003 8663 12 13723 20483【解析】设球的半径为 R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为 4，球心到截面圆的距离为 R-2，则 ，解得 R=5，球的体积为 =22()45，故选 A.5003 cm【2013 新课标 1】8 、某几何函数的三视图如图所
3、示，则该几何的体积为( A )A、16+8 B、8+8 C、16+16 D、8+162【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为 2 高为 4，上边放一个长为 4 宽为 2 高为 2 长方体，故其体积为 = ，故选 .214168A【2013 新课标 2】4. 已知 m，n 为异面直线，m 平面 ，n平面 .直线 l 满足lm，l n，l ，l ，则 ( D )A 且 l B 且 lC 与 相交，且交线垂直于 l D 与 相交，且交线平行于 l【解析】因为 m，lm， l ，所以 l.同理可得 l。又因为 m，n 为异面直线，所以 与 相交，且 l 平行于它们的交线故选 D.【20
4、13 新课标 2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( A )【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系 Oxyz 的图像如图：【2014 新课标 1】12. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ B ）A、6 B、6 C、4 D、4【解析】几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到BD 的中点的距离为：4， ，AC= =6，AD=4 ，显然 AC 最
5、长。【2014 新课标 2】6. 如图，网 格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为 3 cm，高为 6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C )A. B. C. D.1727 59 1027 13【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为3222 2434(cm 3)，原毛坯的体积为 32654(cm 3)，切削掉部分的体积为543420(cm 3)，故所求的比值为 。2054 10273【2014 新课标 2】11. 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BCA90 ，M，N 分别是
6、 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( C )A. B. C. D.110 25 3010 22【解析】如图，E 为 BC 的中点由于 M，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，故 MNB1C1 且MN B1C1，故 MN 綊 BE，所以四边形 MNEB 为平行四边形，所以12EN 綊 BM，所以直线 AN，NE 所成的角即为直线 BM，AN 所成的角设 BC1，则 B1M B1A1 ，所以12 22MB NE，ANAE ，在 ANE 中，根据余弦定理得1 12 62 52cos ANE 。3010【2015 新课标 1】6.九章算术是我国
7、古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有（ B ）A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛【2015 新课标 1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20，则 r
8、=（ B ）（A）1 （B）2 （C）4 （D）8【2015 新课标 2】 （6 ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）（A） 81 （B） 7 （C） 1 （D） 5【解析】由三视图得，在正方体 1AB中，截去四面体 1ABD，如图所示， ，设正方体棱长为 a，则CBADD1 1B1A1413126ABDVa，故剩余几何体体积为 33156a，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为 5【2015 新课标 2】 （9 ）已知 A,B 是球 O 的球面上两点， AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为
9、 36，则球 O 的表面积为（ C ）A36 B.64 C.144 D.256【解析】如图所示，当点 C 位于垂直于面 AB的直径端点时，三棱锥OB的体积最大，设球 的半径为 R，此时231163ACOVR，故 ，则球 的表面积为 24S，故选 C【2016 新课标 1】 （6 ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 ，则它的表面积是（ A ）283F(28)（A） （B） （C ） （D）780【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的 （如右图所示） ，1故解得 ， 。34728r2r2274378Sr【2016 新课标 1】(11)平面
10、 a 过正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A，a/平面 CB1D1， 平面aABCD=m， 平面 ABA1B1=n，则 m、n 所成角的正弦值为（ A ）a(A) (B) (C) (D)323【详细解答】令平面 a 与平面 CB1D1 重合，则 m = B1 D1， n= CD1 故直线 m、n 所成角为 ，正弦值为60o32【2016 新课标 2】6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( C )（A）20 （B）24 （C ）28 （D）32【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为 r，周长为 c，圆锥母线长为 l，圆柱高为 h由图得
11、2r， 4c，BOAC5由勾股定理得： 2234l21Srchl 4682【2016 新课标 2】14. ， 是两个平面，m，n 是两条线，有下列四个命题：如果 ， ， ，那么 。 如果 ， ，那么 mnmnmn如果 , ,那么 。 如果 , ,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角an 相等其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号)【2016 新课标 3】9. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B ）(A)1836 (B)54185 5(C)90 (D)81【2016 新课标 3】10. 在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C
12、1 内有一个体积为 V 的球，若 ABBC，AB 6，BC8，AA 13，则 V 的最大值是（ B ）(A)4 (B) (C)6 (D)92 323【2017 新课标 1】7 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ B ）A10 B12 C14 D16【2017 新课标 1】16如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC， ECA，FAB 分别是以BC，CA，AB 为底边的等
13、腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB 为折痕折起DBC， ECA， FAB，使得 D、E 、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_ _。415【2017 新课标 2】4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ B ）A 90 B 63 C 42 D 36【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6 的圆柱的一半。 2211063V总 上6【2017 新课标 2】10.已知直三棱柱 中， ， ，1CAC120A，则异面直线 与 所成角的余弦
14、值为（ C ）1C1A B C D35053【解析】 ， ， 分别为 ， ， 中点，则 ， 夹角为 和 夹角或其补MNPA1B11ABCMNP角（异面线所成角为 ）02，可知 ， ，作 中点 ，则可知 为直角三角形152AB12CQ， ， 中，PQ 2cosABCABC， ，则 ，则 中， ， 412127 7MP 21MQP则 中，PMN 22cosNPPH 2225105又异面线所成角为 ，则余弦值为 。02， 105【2017新课标3】8 已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ B ）A B C D34 4【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆
15、柱体上下底面圆半径 213r，则圆柱体体积 ，故选B.234Vrh【2017新课标3】16 ， 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 的直角边ab ABC所在直线与AC， 都垂直，斜边 以直线 为旋转轴旋转，有下列结论：abABC当直线 与 成 角时， 与 成 角；6030当直线 与 成 角时， 与 成 角；ab6直线 与 所成角的最小值为 ；45直线 与 所成角的最大值为 其中正确的是_ _（填写所有正确结论的编号）【解析】由题意知， 三条直线两两相互垂直，画出图形如图abAC、 、不妨设图中所示正方体边长为1，故 ， ，斜边 以直线 为旋转轴旋转，|12ABABC则 点保持不变， 点
16、的运动轨迹是以 为圆心，1为半径的圆。以 为坐标原点，以 为AB轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间直角坐标系xyz7则 ， ，直线 的方向单位向量 ， ， 点起始坐标为 ，(1,0)D(,1)Aa B(0,1)直线 的方向单位向量 ， ，设 点在运动过程中的坐标 ，b B(cos,in其中 为 与 的夹角， 。BC 0,2)那么 在运动过程中的向量 ， 设 与 所成夹角为 ，则 0,2故 ，所以正确， 错误设 与 所成夹角为 ，,42 0,2.当 与 夹角为 时，即 ， 60312sin2coss3 ， ， 22cosin12|cos|1c| ， ，此时 与 夹角为 ，正确，错0
17、,=3ABb60误【2018 新课标 1】7某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点 在正视图上的对应点为 ，圆柱表MA面上的点 在左视图上的对应点为 ，则在此圆柱侧面上，从 到N M的路径中，最短路径的长度为（ ）A B C D2217253【答案】B【2018 新课标 1】12已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A B C D342332432【答案】A【2018 新课标 2】9 在长方体 中， ，1ADB1ABC，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）131A B C 5565D2【答案】C【
18、2018 新课标 2】16已知圆锥的顶点为 ，母线 ， 所成角的余弦值为 ， 与圆锥SASB78SA底面所成角为 45，若 的面积为 ，则该圆锥的侧面积为_SAB 518【答案】 402【2018 新课标 3】3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）【答案】A【2018 新课标 3】10设 是同一个半径为 4 的球的球面上四点， 为等边三ABCD， ， ， ABC角形且其面积为 ，则三棱锥 体积的最大值为（ ）9A B C D 1218
19、323543【答案】B二、解答题【2011 新课标】 如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为平行四边形，DAB=60,AB=2AD,PD底面 ABCD.()证明：PABD；()若 PD=AD，求二面角 A-PB-C 的余弦值。【答案】（）因为 , 由余弦定理得60,2DABAD，从而 BD2+AD2= AB2，故 BD AD 又 PD 底面 ABCD，可得 BD PD 所以3BBD 平面 PAD. 故 PA BD（）如图，以 D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线 DA 为 轴的正半轴建立空间直角坐x标系 D- ，则xyz, , , 。10A30， 130C,1P设平面 PAB 的法
20、向量为 n=（x,y,z ） ，则 即 因此可取 n=30xyz(3,1)设平面 PBC 的法向量为 m，则 可取0PBCm=（0， -1， ） 故二面角 A-PB-C 的余弦值为 3427cos,n 279【2012 新课标】19. 如图，直三棱柱 中，1ABC， 是棱 的中点，12ACBD1D（1）证明： （2）求二面角 的大小。11【答案】 （1）在 中， 得：RtAC45AC同理： 14590得： 面11,DBD1BD（2） 面取 的中点 ，过点 作 于点 ，连接1ABOH1,OH，面 面 面11CA1C1A1AB得：点 与点 重合 且 是二面角 的平面角HC11CD设 ，则 ，a12
21、a111230DaD既二面角 的大小为B30【2013 新课标 1】18、 （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，CA=CB，AB=A A 1， BAA 1=60.（）证明 ABA 1C;（）若平面 ABC平面 AA1B1B，AB=CB=2 ，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值。【答案】 （）取AB中点E，连结CE， ， ，AB= ， = ， 是1AE1A1B061BA正三角形， AB， CA=CB ， CEAB， =E，AB面 ， 1 CECEAB ； （）由（）知 ECAB， AB ，1E又面 ABC面 ，面 ABC面 =AB，EC面 ，1AB1
22、AB1ABEC ，EA，EC， 两两相互垂直，以 E 为坐标原点， 的方向为 轴正方向，|1E1 x|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系 ，由题设知 A(1,0,0), (0, ,0),C(0,0,Oxyz13),B(1,0,0),则 =（1,0， ）, = =(1,0, ), =(0, , ), 设 =333n是平面 的法向量，(,)xyz1CB则 ，即 ，0xzy可取 =（ ，1，-1 ），n3 = ，10510直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 . 105【2013 新课标 2】18如图，直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，D，E 分别是AB，BB 1 的中点，AA
23、 1ACCB .2(1)证明：BC 1平面 A1CD；(2)求二面角 DA 1CE 的正弦值【答案】(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F，则 F 为 AC1 中点又 D 是 AB 中点，连结 DF，则 BC1DF .因为 DF平面 A1CD，BC 1 平面 A1CD， 所以 BC1 平面 A1CD.(2)由 ACCB 得，ACBC.2B以 C 为坐标原点， 的方向为 x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 Cxyz .设 CA2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A 1(2,0,2)， (1,1,0)，(0,2,1)， (2,0,2)设 n( x1，y 1，z 1)是平面 A1C
24、D 的法向量，则 即 可取 n(1，1，1)10,2.xyz同理，设 m 是平面 A1CE 的法向量，则 可取 m(2,1，2) 从而 cosn， m ，故 sinn，m .即二面角 DA 1CE 的正弦值为3| 63.63【2014 新课标 1】19如图，三棱柱 ABCA1B1C1 中，侧面 BB1C1C 为菱形，ABB 1C（ ）证明：AC=AB 1；（ ）若 ACAB 1，CBB 1=60，AB=BC，求二面角 AA1B1C1 的余弦值【答案】（1）连结 BC1，交 B1C 于点 O，连结 AO，侧面 BB1C1C 为菱形， BC 1B 1C，且 O 为BC1 和 B1C 的中点，又 ABB 1C，B 1C平面 ABO，