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1、优质文本二次根式知识点一： 二次根式的概念 例1以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、x0、-、x0，y0 分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“；第二，被开方数是正数或0知识点二：取值范围 例2当x是多少时，在实数范围内有意义？例3 当x是多少时，+在实数范围内有意义？知识点三：二次根式的非负性例4(1)y=+5，求的值(2)假设+=0，求a2004+b2004的值知识点四：二次根式的性质 例1 计算 12 232 32 42例2在实数范围内分解以下因式: 1x2-3 2x4-4 (3) 2x2-3知识点五：二次根式的性质 例1 化简（1） 2 3 4例2 填空：当a0时，
2、=_；当aa，那么a是什么数？例3当x2，化简-知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差异的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.知识点七：二次根式的乘除1、 乘法a0，b0 反过来：=a0，b02、除法=a0，b0 反过来，=a0，b0 思考：b的取值与a相同吗？为什么？不相同，因为b在分母，所以不能为0 例1计算 14 2 3 4 例2 化简1 2 3 4 例3判断以下各式是否正确，不正确的请予以改
3、正： 1 2=4=4=4=8 例4计算：1 2 3 4 例5化简： 1 2 3 4例6，且x为偶数，求1+x的值3、最简二次根式应满足的条件：1被开方数不含分母或分母中不含二次根式；2被开方数中不含开得尽方的因数或因式熟记20以内数的平方；因数或因式间是乘积的关系，当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式，然后再观察各个因式的指数是否是2或2的倍数，假设是那么说明含有能开方的因式，那么不满足条件，就不是最简二次根式例1把以下二次根式化为最简二次根式(1) ; (2) ; (3) 4、化简最简二次根式的方法：(1) 把被开方数(或根号下的代数式)化成积的形式，即分解因式；(2) 化去根号内的分
4、母或分母中的根号，即分母有理化；(3) 将根号内能开得尽方的因数(或因式)开出来此步需要特别注意的是：开到根号外的时候要带绝对值，注意符号问题5.有理化因式：一般常见的互为有理化因式有如下几类： 与； 与；与； 与 说明：利用有理化因式的特点可以将分母有理化13、同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式。 判断是否是同类二次根式时务必将各个根式都化为最简二次根式。如与知识点八：二次根式的加减1、二次根式的加减法：先把各个二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式即同类二次根式进行合并。合并方法为：将系数相加减，二次根式局部不变，不能合并的直接抄下来。 例1计算1+ 2+
5、 分析：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并 解：1+=2+3=2+3=5 2+=4+8=4+8=12 例2计算 13-9+32+-例34x2+y2-4x-6y+10=0，求+y2-x2-5x的值2、二次根式的混合运算：先计算括号内，再乘方开方，再乘除，再加减3、二次根式的比较：1假设，那么有；2假设，那么有 3将两个根式都平方，比较平方后的大小，对应平方前的大小例4比较3与4的大小勾股定理考点一：利用勾股定理求面积1、如下列图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，那么它们之间的关系是 A. S1- S2= S
6、3 B. S1+ S2= S3 C. S2+S3 S1 D. S2- S3=S12、(难在直线上依次摆放着七个正方形如图4所示。斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是、=_。考点二：在直角三角形中，两边求第三边1、RtABC中，C=90，假设a+b=14cm，c=10cm，那么RtABC的面积是 A、24B、36 C、48D、602.x、y为正数，且x2-4+y2-32=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为 A、5B、25 C、7D、153.在ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，
7、求ABC的周长。提示：两种情况 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高例、如图1所示，等腰中，是底边上的高，假设，求 AD的长；ABC的面积考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题1、下面的三角形中：ABC中，C=AB；ABC中，A：B：C=1：2：3；ABC中，a：b：c=3：4：5；ABC中，三边长分别为8，15，17其中是直角三角形的个数有 A1个 B2个 C3个 D4个2、a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，那么它的形状为A.直角三角形B.等腰三角形 3、假设ABC的三边长a,b,c满足试判断ABC的形状。考点五:
8、应用勾股定理解决楼梯上铺地毯问题某楼梯的侧面视图如图3所示，其中米，因某种活动要求铺设红色地毯，那么在AB段楼梯所铺地毯的长度应为 考点六、利用列方程求线段的长方程思想ABC、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来吗？ 2、一架长的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底如图，如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端将向左滑动 米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离 1米，填“大于，“等于，或“小于 4、在一棵树10
9、m高的B处，有两只猴子，一只爬下树走到离树20m处的池塘A处；另外一只爬到树顶D处后直接跃到A外，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？7、如图18-15所示，某人到一个荒岛上去探宝，在A处登陆后，往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再折向北方走到5km处往东一拐，仅1km就找到了宝藏，问：登陆点A处到宝藏埋藏点B处的直线距离是多少？ 图18-15考点七：折叠问题较难的一类2、如下列图，ABC中，C=90，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于N，假设AC=4，MB=2MC，求AB的长3、折叠矩形ABCD的一边AD,点D落在BC边上的点F处,AB=8
10、CM,BC=10CM,求CF 和EC。ABCEFD6、如图，在长方形ABCD中，将ABC沿AC对折至AEC位置，CE与AD交于点F。1试说明：AF=FC；2如果AB=3，BC=4，求AF的长7、如图2所示，将长方形ABCD沿直线AE折叠，顶点D正好落在BC边上F点处，CE=3cm，AB=8cm，那么图中阴影局部面积为_8、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，AB=3，BC=7，重合局部EBD的面积为_9、难如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：
11、EM=3：4：5。 10、如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，假设将该矩形折叠，使C点与A点重合，那么折叠后痕迹EF的长为 2-511、稍难如图1-3-11，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上不与A、D重合，在AD上适当移动三角板顶点P：能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？假设能，请你求出这时 AP 的长；假设不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH 始终通过点B，另一直角边PF与DC的延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2cm？假设能，请你求出这时
12、AP的长；假设不能，请你说明理由.提示：根据勾股定理，列出一元二次方程，超初二范围12、难如下列图，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，假设BE=12，CF=5求线段EF的长。 提示：连接AD，证AEDCFD, 可得AE=CF=5，AF=BE=12，即可求 13、好如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时
13、间为多少秒？ 考点八：应用勾股定理解决勾股树问题1、 如下列图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为5，那么正方形A，B，C，D的面积的和为 2、好，稍难ABC是边长为1的等腰直角三角形，以RtABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰RtACD，再以RtACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边长是 n 考点九、图形问题1、如图1，求该四边形的面积 3、好，稍难某公司的大门如下列图,其中四边形是长方形,上部是以为直径的半圆,其中=2.3，=2,现有一辆装满货物的卡车,高为,宽为,问这辆卡车能否通过公司的大门?并说
14、明你的理由. 4、将一根长24的筷子置于地面直径为5，高为12的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长为h，那么h的取值范围 。5、如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA垂直AB于A，CB垂直AB于B，AD=15km，BC=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，那么E站建在距A站多少千米处？考点十：其他图形与直角三角形如图是一块地，AD=8m，CD=6m，D=90，AB=26m，BC=24m，求这块地的面积。考点十一：与展开图有关的计算1、如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD的外表上，求从顶点A到顶点C的最短距离2、如图一个圆柱
15、，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，那么最少要爬行 cm考点十二、航海问题。 3、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向260km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，城市A到BC的距离AD=100km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？考点十三、网格问题1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，那么网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是 A0 B1 C2 D32、如图，正方形网格中的ABC，假设小方格边长为1，那么ABC是 3、如图，小方格都是边长为1的正方形,那么四边形ABCD的面积是 ( ) 图1 图2 图3