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1、双线性变换法双线性变换法主要内容主要内容一、一、双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理二、二、双线性变换法的设计方法双线性变换法的设计方法重点与难点重点与难点重点重点1、双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理2、双线性变换法、双线性变换法的的设计方法设计方法难点难点1、双线性变换法的基本原理双线性变换法的基本原理问题的提出问题的提出如何将模拟滤波器转变为数字滤波器如何将模拟滤波器转变为数字滤波器?1.1.脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法脉冲响应不变法2.2.双线性变换法双线性变换法双线性变换法双线性变换法W Wp,W Ws p,sH(s)H(z)频率频率变换变换设计模拟设
2、计模拟滤波器滤波器AF到到DF的转换的转换问题的提出问题的提出采用脉冲响应不变法采用脉冲响应不变法采用脉冲响应不变法采用脉冲响应不变法DFDF的频谱有混叠的频谱有混叠的频谱有混叠的频谱有混叠 解决方法解决方法解决方法解决方法采用双线性变换法采用双线性变换法采用双线性变换法采用双线性变换法上节例题上节例题上节例题上节例题利用模拟利用模拟BW滤波器及脉冲响应不变法设计一滤波器及脉冲响应不变法设计一数数字滤波器字滤波器，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB。00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-18-16-14-12-10-8-
3、6-4-20Normalized frequencyGain,dBAs=14.2dB1、双线性变换法的基本原理、双线性变换法的基本原理 基本思想：基本思想：基本思想：基本思想：将将将将非带限非带限非带限非带限的模拟滤波器映射为最高频的模拟滤波器映射为最高频的模拟滤波器映射为最高频的模拟滤波器映射为最高频率为率为率为率为/T/T的的的的带限带限带限带限模拟滤波器。模拟滤波器。模拟滤波器。模拟滤波器。模拟频率与数字模拟频率与数字频率的关系为：频率的关系为：再线性变换到数字频率。再线性变换到数字频率。再线性变换到数字频率。再线性变换到数字频率。s s域到域到域到域到z z域的映射关系域的映射关系域的
4、映射关系域的映射关系 1、双线性变换法的基本原理、双线性变换法的基本原理双线性变换双线性变换 1、双线性变换法的基本原理、双线性变换法的基本原理 稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析令令s=+j，则有：，则有：1、双线性变换法的基本原理、双线性变换法的基本原理 稳定性分析稳定性分析稳定性分析稳定性分析1)1)0,0,|z|0,0,|z|1S域域虚轴虚轴映射到映射到z域域单位圆上单位圆上S域域右半平面右半平面映射到映射到z域域单位圆外单位圆外因果因果因果因果、稳定的稳定的稳定的稳定的AFAF系统映射为因果系统映射为因果系统映射为因果系统映射为因果、稳定的稳定的稳定的稳定的DFDF系统系统系统
5、系统1、双线性变换法的基本原理、双线性变换法的基本原理数字频率数字频率数字频率数字频率W W W W 变换到变换到变换到变换到模拟频率模拟频率模拟频率模拟频率 )2/tan(2W=TwWppWsWpwsw1、双线性变换法的基本原理、双线性变换法的基本原理 双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点双线性变换法的优缺点 缺点：缺点：缺点：缺点：幅度响应不是幅度响应不是常数时会产生幅度失真常数时会产生幅度失真 优点优点优点优点：无混叠无混叠)2/tan(2W=TwWp)(WjeH)(wjHpWsWWpwsww2、双线性变换法的设计方法、双线性变换法的设计方法第一步，将数字滤波器的
6、频率指标第一步，将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为模拟滤转换为模拟滤波器的频率指标波器的频率指标 k 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器的H(s)第三步，利用双线性变换法，将第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。双线性变换法的设计步骤：双线性变换法的设计步骤：2、双线性变换法的设计方法、双线性变换法的设计方法W Wp,W Ws p,sH(s)H(z)设计模拟设计模拟滤波器滤波器双线性变换双线性变换例例例例1:1:利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标足指标W Wp=p p/
7、3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，并与的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。解：解：解：解：设双线性变换中的参数为设双线性变换中的参数为T(1)将将DF的频率指标转换为的频率指标转换为AF的频率指标的频率指标(2)设计设计3dB截频为截频为 p的一阶的一阶BW型模拟低通滤波器，即型模拟低通滤波器，即N=1,c=p故故例例例例1:1:利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设
8、计的DF比较。比较。解：解：解：解：(3)用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器用双线性变换法将模拟滤波器转换为数字滤波器 结论：结论：结论：结论：参数参数T的取值和最终的设计结果无关。的取值和最终的设计结果无关。为简单起见，一般取为简单起见，一般取T=2 例例例例1:1:利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。解：解：解：解：双线性变换法设计的双线性变换法设计的DF的系统函数为：的系统函数为：
9、脉冲响应不变法设计的脉冲响应不变法设计的DF的系统函数为：的系统函数为：令令z=ejW W，可分别获得两者的幅度响应。，可分别获得两者的幅度响应。例例例例1:1:利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法 脉冲响应不变法脉冲响应不变法存在频谱混叠，所设计的存在频谱混叠，所设计的DF不满足给定指标。不满足给定指标。双线性变换法双线性变换法不存在频不存在
10、频谱混叠，所设计的谱混叠，所设计的DF满足满足给定指标。给定指标。3dB3dB例例例例1:1:利用利用BW型模拟低通滤波器和双线性变换法设计型模拟低通滤波器和双线性变换法设计满足指标满足指标W Wp=p p/3，Ap=3dB，N=1的数字低通滤波器，的数字低通滤波器，并与脉冲响应不变法设计的并与脉冲响应不变法设计的DF比较。比较。H双双(z)和和H脉脉(z)幅度响应比较的幅度响应比较的MATLAB实现实现Wp=pi/3;b=1-exp(-Wp);b1=tan(Wp/2)*1 1;a=1-exp(-Wp);a1=1+tan(Wp/2)tan(Wp/2)-1;w=linspace(0,pi,512
11、);h=freqz(b,a,w);h1=freqz(b1,a1,w);plot(w/pi,(abs(h),w/pi,(abs(h1);xlabel(Normalized frequency);ylabel(Amplitude);set(gca,ytick,0 0.7 1);set(gca,xtick,0 Wp/pi 1);grid;例例例例2 2：利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB 解：解：解：解：(1)将数字低通指标转换成模拟低通指标，取将数字低通指标转换
12、成模拟低通指标，取T=2 Ap2db,As15db(2)设计模拟低通滤波器设计模拟低通滤波器（BW型）型）=2=0.585 1 例例例例2 2：利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB 解：解：解：解：(3)用用双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器双线性变换法将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器 例例例例2 2：利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p
13、,Ap 2dB,As 15dB%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance%DF BW LP specficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Sampling frequency(Hz)%Analog Butterworth specficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determine the order of AF filter and the 3-dB cutoff frequency N,wc=buttord(w
14、p,ws,Ap,As,s)%determine the AF-BW filternuma,dena=butter(N,wc,s)例例例例2 2：利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB%determine the DF filternumd,dend=bilinear(numa,dena,Fs)%plot the frequency responsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*lo
15、g10(abs(h);axis(0 1-50 0);grid;xlabel(Normalized frequency);ylabel(Gain,dB);%computer Ap As of the designed filterw=Wp Ws;h=freqz(numd,dend,w);fprintf(Ap=%.4fn,-20*log10(abs(h(1);fprintf(As=%.4fn,-20*log10(abs(h(2);例例例例2 2：利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2d
16、B,As 15dB Ap=0.3945dBAs=15.0000dB例例例例2 2：利用利用BW模拟滤波器及模拟滤波器及双线性变换法双线性变换法设计一低通设计一低通DF，满足，满足W Wp=0.2p p,W Ws=0.6p p,Ap 2dB,As 15dB 将将双线性变换法与脉冲响应不变法所双线性变换法与脉冲响应不变法所设计设计DF的结果比较。的结果比较。双线性变换法双线性变换法Ap=0.3945dBAs=15.0000dB脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法脉冲响应不变法脉冲响应不变法Ap=1.1187dBAs=12.3628dB3 3、非低通、非低通IIRIIR数字滤波器的设
17、计数字滤波器的设计W Wp,W Ws p,sH(z)w=W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法H(s)模拟频模拟频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器复复频频率率变变换换 注意：注意：注意：注意：脉冲响应不脉冲响应不变法不能设计变法不能设计高高高高通通通通和和带阻带阻带阻带阻数字滤数字滤波器波器 方法一方法一方法一方法一3 3、非低通、非低通IIRIIR数字滤波器的设计数字滤波器的设计 方法二方法二方法二方法二W Wp,W WsH(z)w=W/T脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法数字频数字频率变换率变换设计原型设计原型低通滤波器低通滤波器z域域
18、变换变换例例例例4 4：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字型数字带阻带阻滤波器滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB。解解解解:脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，脉冲响应不变法不适合设计数字带阻滤波器，因此采用双线性变换法设计。因此采用双线性变换法设计。(1)将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标将数字带阻滤波器指标转换成模拟带阻滤波器指标 取取T=2，利用，利用得模拟带阻指标为：得模拟带阻指标为：p1=6rad,p2=13
19、rad,s1=9rad,s2=1rad1,Ap 1dB,As 10dB 例例4：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB。解解解解:(2)将模拟带阻滤波器指标转换成模拟将模拟带阻滤波器指标转换成模拟低通低通滤波器指标滤波器指标 Ap 1dB,As 10dB p1=6rad,p2=13rad,s1=9rad,s2=1rad1,Ap 1dB,As 10dB 模拟带阻指标模拟带阻指标例例4：
20、试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB。解解解解:(3)设计原型设计原型BW型模拟低通滤波器型模拟低通滤波器 Ap 1dB,As 10dB 原型模拟低通指标原型模拟低通指标原型模拟低通滤波器的系统函数为原型模拟低通滤波器的系统函数为 例例4：试设计满足下列指标的试设计满足下列指标的BW型数字带阻滤波器型数字带阻滤波器 W Wp1=2.8113rad/s,W Wp2=2.9880rad
21、/s,Ap 1dB ,W Ws1=2.9203rad/s,W Ws2=2.9603rad/s,As 10dB。解解解解:(4)由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器由复频率变换将原型模拟低通转换为模拟带阻滤波器 (5)由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器由双线性变换模拟带阻滤波器转换成数字带阻滤波器 课堂小结课堂小结11、双线性变换法的基本思想、双线性变换法的基本思想第一步，将第一步，将第一步，将第一步，将非带限非带限非带限非带限的模拟滤波器指标（的模拟滤波器指标（的模拟滤波器指标（的模拟滤波器指标（）映射为最高频率）映射为最高频率）映射为最高频率）映射为最高频率为为为为/T
22、/T的的的的带限带限带限带限模拟滤波器指标（模拟滤波器指标（模拟滤波器指标（模拟滤波器指标（）：）：）：）：第二步，再将模拟滤波器指标（第二步，再将模拟滤波器指标（第二步，再将模拟滤波器指标（第二步，再将模拟滤波器指标（）转换为数字滤波器指标）转换为数字滤波器指标）转换为数字滤波器指标）转换为数字滤波器指标（）：）：）：）：2 2、双线性变换法的优缺点、双线性变换法的优缺点缺点：缺点：缺点：缺点：幅度响应不是常数时会产生幅度失真幅度响应不是常数时会产生幅度失真优点：优点：优点：优点：无混叠无混叠课堂小结课堂小结2第一步，将数字滤波器的频率指标第一步，将数字滤波器的频率指标 W Wk 转换为模拟滤波器的频转换为模拟滤波器的频率指标率指标 k 第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器第二步，由模拟滤波器的指标设计模拟滤波器H(s)第三步，利用双线性变换法，将第三步，利用双线性变换法，将H(s)转换转换H(z)。3 3、双线性变换法的设计步骤：、双线性变换法的设计步骤：结束结束