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1、上页上页下页下页第第4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分4.1 引言引言4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式4.3 复化求积公式复化求积公式4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.5 高斯求积公式高斯求积公式4.6 数值微分数值微分本章基本内容本章基本内容本章基本内容本章基本内容上页上页下页下页进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇进行计算，但在工程计算和科学研究中，经常会遇到被积函数到被积函数f(x)的下列一些情况：的下列一些情况：的原函数的原函数对定积分对定积分的被积函数的被积函数已知，在高等数学中可用牛顿已知，在高等数学中可用牛顿莱布尼兹公式莱布尼兹公式4.1 引引 言言
2、实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，实际问题当中常常要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系联系.上页上页下页下页（4）f(x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图形给出，列如为实验或测量数据或图形给出，列如为实验或测量数据.（2）f(x)的原函数不能用初等函数形式表示，例如的原函数不能用初等函数形式表示，例如（3）f(x)的原函数虽然可用初等函数形式表示，但的原函数虽然可用初等函数形式表示，但其原函数表示形式相当复杂，例如其原函数表示形式相当复杂，例如（1）f(x)复杂
3、，求原函数困难，列如复杂，求原函数困难，列如上页上页下页下页 以上的以上的 4种情况都不能用牛顿种情况都不能用牛顿莱布尼兹公莱布尼兹公式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需式方便地计算该函数的定积分，满足不了实际需要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；要，因此，有必要研究定积分的数值计算问题；另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也另外，对一些函数的求导问题，其求导、微分也相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算相当复杂，也有必要研究求导、微分的数值计算问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的问题。本章主要介绍数值求积分和数值求微分的方法。方法。上页上页下页下页 由积分中值定理由
4、积分中值定理,对连续函数对连续函数f(x),在区间在区间a,b内至少存在一点内至少存在一点，使，使只要对平均高度只要对平均高度 f()提供一种提供一种近似算法近似算法,便可相应便可相应地获得一种地获得一种数值求积方法数值求积方法.即所谓即所谓矩形公式矩形公式.4.1.1 数值求积的基本思想数值求积的基本思想 几何图形见书几何图形见书p119.上页上页下页下页 例如例如,用区间用区间a,b两端点的函数值两端点的函数值 f(a)与与f(b)的的算术平均值作为算术平均值作为f()的近似值的近似值,可导出可导出求积公式求积公式这便是人们所熟知的这便是人们所熟知的梯形公式梯形公式.如果改用区间如果改用区
5、间a,b的中点的中点 c=(a+b)/2 处的函数值处的函数值f(c)近似代替近似代替f(),则又可导出所谓则又可导出所谓(中中)矩形公式矩形公式上页上页下页下页 一般地一般地,在区间在区间a,b上适当选取点上适当选取点xk(k=0,1,n),然后用然后用 f(xk)的的加权平均值加权平均值作为作为f()的近似值的近似值,可得到可得到更为更为一般的求积公式一般的求积公式 其中：点其中：点xk叫叫求积节点求积节点,系数系数Ak叫叫求积系数求积系数.Ak仅与节仅与节点点xk的选取有关的选取有关,而与被积函数而与被积函数 f(x)无关无关.求积公式的求积公式的截断误差截断误差为为 R(f)又称为又称
6、为求积余项求积余项.这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛-莱公式寻求原函数的困难莱公式寻求原函数的困难.上页上页下页下页4.1.2 代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 如果求积公式如果求积公式(1)对所有次数不超过对所有次数不超过m的多项式都精确成立；的多项式都精确成立；(2)至少对一个至少对一个m+1次多项式不精确成立，次多项式不精确成立，则称则称该公式具有该公式具有m次代数精度次代数精度.数值求积方法的近似方法，为要保证精度，我数值求积方法的近似
7、方法，为要保证精度，我们自然希望求积公式能对们自然希望求积公式能对“尽可能多尽可能多”的函数准确的函数准确地成立，这就提出了所谓代数精度的概念地成立，这就提出了所谓代数精度的概念.上页上页下页下页 一般来说，代数精度越高，求积公式越好。一般来说，代数精度越高，求积公式越好。定理定理1 一个求积公式具有一个求积公式具有m次代数精度的次代数精度的充要充要条件条件是该求积公式是该求积公式:(1)对对xk(k=0,1,m)精确成立；精确成立；(2)对对xm+1不精确成立不精确成立.故一般地，要验证一个求积公式具有故一般地，要验证一个求积公式具有m次代数次代数精度，只要令对于精度，只要令对于 f(x)=
8、1,x,xm求积公式精确成立求积公式精确成立等式就行等式就行.上页上页下页下页 解解 当当 f(x)=1时时,此时公式精确成立。此时公式精确成立。例例1 验证梯形公式验证梯形公式具有一次代数精度。具有一次代数精度。当当 f(x)=x时，时，公式也精确成立。公式也精确成立。当当 f(x)=x2 时，时，公式对公式对x2不精确成立不精确成立.故由定理故由定理1知知,梯形公式的代数精度为梯形公式的代数精度为1次次.上页上页下页下页 对于求积公式对于求积公式 给定给定n+1个互异的求积节点个互异的求积节点 x0,x1,xn-1,xn,令求积公式对令求积公式对 f(x)=1,x,xn 精确成立精确成立,
9、即得即得求解该方程组即可确定求积系数求解该方程组即可确定求积系数Ak,所得到的求积公所得到的求积公式式至少具有至少具有n 次代数精度次代数精度.上页上页下页下页 例例2 确定求积公式中的待定系数，使其代数精确定求积公式中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度.解解 令令 f(x)=1,x,x2 代入公式两端并令其相等，得代入公式两端并令其相等，得 解得解得上页上页下页下页得得求积公式求积公式为为令令 f(x)=x3，得，得令令 f(x)=x4，得，得故故求积公式求积公式具有具有3 3次次代数精度代数精度.上页上页下页下页 如果我们
10、事先选定求积节点如果我们事先选定求积节点xk，譬如，以区间，譬如，以区间a,b的等距分点作为节点，这时取的等距分点作为节点，这时取m=n求解方程组求解方程组即可确定求积系数即可确定求积系数Ak，而使求积公式至少具有，而使求积公式至少具有 n次次代数精度代数精度.本章第本章第2节介绍这样一类求积公式，梯形节介绍这样一类求积公式，梯形公式是其中的一个特例公式是其中的一个特例.如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个如为了构造出上面的求积公式，原则上是一个确定参数确定参数xk和和Ak的代数问题的代数问题.上页上页下页下页4.1.3 插值型求积公式插值型求积公式设给定一组节点设给定一组节点且已知且已知
11、f(x)在这些节点上的函数值在这些节点上的函数值 f(xk),则可求得则可求得f(x)的拉格朗日插值多项式的拉格朗日插值多项式(因为因为Ln(x)的原函数易求的原函数易求)其中其中lk(x)为插值基函数为插值基函数,取取由上式确定系数的公式称为由上式确定系数的公式称为插值型求积公式插值型求积公式。即即则则 f(x)Ln(x)上页上页下页下页由插值余项定理由插值余项定理,其求积余项为其求积余项为其中其中=(x)如果求积公式是插值型的，按照插值余项式如果求积公式是插值型的，按照插值余项式子，对于次数不超过子，对于次数不超过n的多项式的多项式f(x)，其余项，其余项 R(f)等于零，因而等于零，因而
12、这时求积公式至少具有这时求积公式至少具有n次代数精度次代数精度.上页上页下页下页 反之，如果求积公式至少具有反之，如果求积公式至少具有n次代数精度，次代数精度，则它必定是插值型的则它必定是插值型的.事实上，这时求积公式对于事实上，这时求积公式对于插值基函数插值基函数 lk(x)应准确成立，即有应准确成立，即有注意到注意到lk(xj)=kj，上式右端实际上即等于，上式右端实际上即等于Ak，因而，因而下面式子成立下面式子成立.上页上页下页下页 结论结论1 具有具有n+1个节点的数值求积公式个节点的数值求积公式是插值型求积公式的是插值型求积公式的充要条件充要条件为为:该公式至少具有该公式至少具有n次
13、代数精度。次代数精度。综上所述，我们有结论为综上所述，我们有结论为 这时令这时令f(x)=1代入又有结论为代入又有结论为 结论结论2 对插值型求积公式的系数必有对插值型求积公式的系数必有上页上页下页下页其中其中h=max(xi-xi-1)，则称求积公式，则称求积公式Akf(xk)是是收敛的收敛的.4.1.4 求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，若中，若 在求积公式在求积公式Akf(xk)中，由于计算中，由于计算f(xk)可能产可能产生误差生误差k，实际得到，实际得到 ，即，即 .记记如果对任给小正数如果对任给小正数0，只要误差，只
14、要误差|k|充分小就有充分小就有它表明求积公式它表明求积公式Akf(xk)计算是计算是稳定的稳定的，由此给出，由此给出上页上页下页下页 定义定义3 对任给小正数对任给小正数0，若存在，若存在0，只要，只要 就有就有成立，则称求积公式成立，则称求积公式Akf(xk)是是稳定的稳定的，上页上页下页下页 证明证明 对任给对任给0，若取，若取=/(b-a),对所有对所有k都有都有故求积公式是稳定的故求积公式是稳定的.定理定理2 若求积公式若求积公式Akf(xk)中所有系数中所有系数Ak0，则此求积公式是稳定的则此求积公式是稳定的.则有则有上页上页下页下页 4.2 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式 为便于上
15、机计算，通常在内插求积公式中我们为便于上机计算，通常在内插求积公式中我们通常取等距节点，即将积分区间通常取等距节点，即将积分区间a,b划分划分n等分，等分，即令步长即令步长h=(b-a)/n，且记，且记x0=a,xn=b，则节点记为，则节点记为xk=x0+kh(k=0,1,n)，然后作变换，然后作变换:t=(x-x0)/h,代入代入求积系数公式，将会简化计算求积系数公式，将会简化计算.上页上页下页下页4.2.1 牛顿牛顿柯特斯公式柯特斯公式设将积分区间设将积分区间a,b划分成划分成 n等分等分,步长步长h=求积节点取为求积节点取为xk=a+kh(k=0,1,n),由此构造插值型由此构造插值型求
16、积公式求积公式,则其求积系数为则其求积系数为引入变换引入变换 x=a+th,则有则有(k=0,1,n)(k=0,1,n)上页上页下页下页记记(k=0,1,n)则则于是得求积公式于是得求积公式称为称为n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)公式公式,称称为为柯特斯系数柯特斯系数。显然显然,柯特斯系数与被积函数柯特斯系数与被积函数 f(x)和积分区间和积分区间a,b无关无关,且为容易计算的多项式积分且为容易计算的多项式积分.上页上页下页下页n11/21/221/64/61/631/83/83/81/847/9032/90 12/90 32/907/90519/28875/2885
17、0/28850/28875/28819/288641/840216/84027/840272/84027/840216/84041/840常用的柯特斯系数表常用的柯特斯系数表上页上页下页下页 当当n=1时，时，柯特斯系数柯特斯系数为为这时的这时的牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式为一阶求积公式，就是我们为一阶求积公式，就是我们所熟悉的所熟悉的梯形公式梯形公式，即，即上页上页下页下页 当当n=2时，时，柯特斯系数柯特斯系数为为相应的相应的牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式为二阶求积公式，就是为二阶求积公式，就是辛普辛普森森(simpson)公式公式(又称为又称为抛物形求积公式抛物形求积公式)，即，即上页
18、上页下页下页式中式中(k=0,1,2,3,4),h=(b-a)/4.n=4 时的时的牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式就特别称为就特别称为柯特斯公柯特斯公式式.其形式是其形式是 在在柯特斯系数表柯特斯系数表中中(见书见书p124)看到看到n 7时，时，柯特柯特斯系数斯系数出现负值，于是有出现负值，于是有上页上页下页下页特别地，假定特别地，假定则有则有这表明在这表明在b-a1时，初始误差将会引起计算结果误差时，初始误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故增大，即计算不稳定，故n 7的的牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式是是不用的不用的.上页上页下页下页因为牛顿因为牛顿-柯特斯公式对柯特斯公式对 f
19、(x)=1精确成立精确成立,即即由此可得由此可得 设设 f(xk)有误差有误差 k,则计算误差为则计算误差为另一种写法：另一种写法：上页上页下页下页只要只要f(xk)取得足够精确取得足够精确,初始数据的误差对计算结初始数据的误差对计算结果影响不大果影响不大,方法是稳定的。方法是稳定的。当当 全为正时全为正时,从而从而上页上页下页下页当当 有正有负时有正有负时,因为因为而而 可能会很大可能会很大,f(xk)可以取得足够精确可以取得足够精确,但但初始数据的误差对计算结果影响会很大初始数据的误差对计算结果影响会很大,方法可能方法可能是不稳定的。是不稳定的。上页上页下页下页4.2.2 偶数求积公式的代
20、数精度偶数求积公式的代数精度 作为插值型求积公式，作为插值型求积公式，n阶阶牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式至至少具有少具有n次代数精度次代数精度(推论推论1).实际的代数精度能否进实际的代数精度能否进一步提高呢？一步提高呢？先看先看辛普森公式辛普森公式，它是二阶，它是二阶牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度因此至少具有二次代数精度.进一步用进一步用f(x)=x3进行检进行检验，按验，按辛普森公式辛普森公式计算得计算得上页上页下页下页另一方面，直接求积得另一方面，直接求积得这时有这时有S=I，即，即辛普森公式辛普森公式对不超过三次的多项式均对不超过三次的多项式均能精确成立，又
21、容易验证它对能精确成立，又容易验证它对f(x)=x4通常是不精确通常是不精确的的(如取如取a=0,b=1进行验证有，进行验证有，S=3/8I=1/5)，因此，因此，辛普森公式辛普森公式实际上实际上具有三次代数精度具有三次代数精度.一般地，我们可以证明下述论断：一般地，我们可以证明下述论断：上页上页下页下页 定理定理3 n 阶牛顿阶牛顿-柯特斯公式的代数精度至少为柯特斯公式的代数精度至少为 证明证明 由推论由推论1已知，无论已知，无论n为奇数或偶数，插值为奇数或偶数，插值型求积公式都至少具有型求积公式都至少具有n次代数精度次代数精度.因此我们证明因此我们证明n为偶数的情形，即对为偶数的情形，即对
22、n+1次多项式余项为零次多项式余项为零.令令n=2k，设设为任一为任一n+1次多项式，其最高次系数为次多项式，其最高次系数为an+1，则它的，则它的n+1阶导数为阶导数为上页上页下页下页由余项公式由余项公式有有这里变换为这里变换为x=a+th，注意，注意xj=a+jh.下面我们证明下面我们证明上页上页下页下页作变换作变换u=t-k，则，则容易验证容易验证(u)为奇函数，即为奇函数，即(-u)=-(u)，而奇函数，而奇函数在对称区间上的积分为零，所以在对称区间上的积分为零，所以上页上页下页下页 定理定理3说明，当说明，当n为偶数时，牛顿为偶数时，牛顿-柯特斯公式柯特斯公式对不超过对不超过n+1次
23、的多项式均能精确成立，因此，其次的多项式均能精确成立，因此，其代数精度可达到代数精度可达到n+1.正是基于这种考虑，当正是基于这种考虑，当n=2k与与n=2k+1时具有相同的代数精度，因而在实用中常采时具有相同的代数精度，因而在实用中常采用用n为偶数的牛顿为偶数的牛顿-柯特斯公式，如抛物形公式柯特斯公式，如抛物形公式(n=2)等等.上页上页下页下页4.2.3 几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 首先考察梯形公式，设首先考察梯形公式，设 f(x)C2a,b，按余项，按余项公式有公式有这里函数这里函数(x-a)(x-b)在区间在区间a,b上保号上保号(非正非正)，应用积，应用积分中值定理
24、，在分中值定理，在a,b内至少存在一点内至少存在一点，得，得梯形公式梯形公式余项余项为为上页上页下页下页 再研究公式辛普森公式的余项再研究公式辛普森公式的余项R=I-S，为此构造，为此构造次数不超过次数不超过3的多项式的多项式H(x)，使满足，使满足这里这里c=(a+b)/2.由于辛普森公式具有三次代数精度由于辛普森公式具有三次代数精度,它对于这样构造出的三次多项式是精确成立的，即它对于这样构造出的三次多项式是精确成立的，即而利用插值条件知，上式右端实际上等于按辛普森而利用插值条件知，上式右端实际上等于按辛普森公式求得的积分值公式求得的积分值S，因此积分余项为，因此积分余项为上页上页下页下页这
25、里这里(x-a)(x-c)2(x-b)在区间在区间a,b上保号上保号(非正非正)，应用，应用积分中值定理，得积分中值定理，得辛普森公式余项辛普森公式余项为为 对于插值多项式对于插值多项式H(x)，设，设 f(x)C4a,b，由插，由插值余项表达式得值余项表达式得就有就有上页上页下页下页 关于柯特斯公式的积分余项，这里不再具体推关于柯特斯公式的积分余项，这里不再具体推导，仅给出结果如下导，仅给出结果如下 若若 f(x)C6a,b，则，则柯特斯公式余项柯特斯公式余项为为上页上页下页下页 解解：由梯形公式得由梯形公式得由辛普森公式得由辛普森公式得 例题例题 分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公分别用
26、梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算积分式计算积分上页上页下页下页由柯特斯公式得由柯特斯公式得积分的精确值积分的精确值上页上页下页下页4.3 复化求积公式复化求积公式 从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数从求积公式的余项的讨论中我们看到，被积函数所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也所用的插值多项式次数越高，对函数光滑性的要求也越高越高.另一方面，插值节点的增多另一方面，插值节点的增多(n的增大的增大)，在使用，在使用牛顿牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当当n8时时,牛顿牛顿-柯特斯求积系数会出现负数柯特斯求积系数会出现负数)，即牛顿，
27、即牛顿-柯特斯柯特斯公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高公式是不稳定的，不可能通过提高阶的方法来提高求求积精度积精度.上页上页下页下页 为了提高精度，通常在实际应用中往往采用为了提高精度，通常在实际应用中往往采用将积将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式的求积公式(梯形公式或抛物形公式梯形公式或抛物形公式)，然后再利用积，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想求积公式，这就是复化求积公式的基本思想.为叙述为叙述方便，
28、我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公方便，我们仅讨论各小区间均采用同一低次的求积公式的复化求积公式式的复化求积公式对各小区间也可分别采用不同对各小区间也可分别采用不同的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际的求积公式，也可推出新的求积公式，读者可按实际问题的具体情况讨论问题的具体情况讨论.上页上页下页下页 将积分区间将积分区间a,bn等分等分,步长步长 xk=a+kh(k=0,1,n),则由定积分性质知则由定积分性质知,分点为分点为每个子区间每个子区间上的积分上的积分用用低阶求积公式低阶求积公式,然后把所有区间的然后把所有区间的计算结果求和计算结果求和,就就得到整个区间上积分得到整个
29、区间上积分I的近似值。的近似值。所用方法所用方法:上页上页下页下页4.3.1 复化梯形公式复化梯形公式每个子区间每个子区间xk,xk+1上的积分用上的积分用梯形公式梯形公式,得得将积分区间将积分区间a,b划分为划分为n等分等分,则则上页上页下页下页 若若 f(x)C2a,b,其其求积余项求积余项Rn(f)为为(p128)称为称为复化梯形公式复化梯形公式.记记上页上页下页下页当当n时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函时，上式右端括号内的两个和式均收敛到函数的积分，所以复化梯形公式收敛数的积分，所以复化梯形公式收敛.此外，此外，Tn的求积的求积系数均为正，由定理系数均为正，由定理2知复化梯形公式
30、是稳定的知复化梯形公式是稳定的.可以看出误差是可以看出误差是h2阶，且由误差公式得到，当阶，且由误差公式得到，当f(x)C2a,b 时，则有时，则有即复化梯形公式是收敛的即复化梯形公式是收敛的.事实上只要事实上只要f(x)Ca,b,则可得到收敛些，因为只要把则可得到收敛些，因为只要把Tn改写为改写为上页上页下页下页4.3.2 复化辛普森公式复化辛普森公式每个子区间每个子区间x2k,x2k+2上的积分用上的积分用辛普森公式辛普森公式,得得 将积分区间将积分区间a,b 划分为划分为2n等分等分,则则上页上页下页下页称为称为复化辛普森公式复化辛普森公式.记记若若 f(x)C 4a,b,其其求积余项求
31、积余项为为上页上页下页下页 例例1 对于函数对于函数f(x)=sinx/x，给出，给出n=8的函数表，的函数表，试用复化梯形公式和复化辛普森公式试用复化梯形公式和复化辛普森公式 计算积分计算积分xf(x)01/81/43/81/25/83/47/8110.99739780.98961580.97672670.95885100.93615560.90885160.87719250.8414709 解解 将积分区间将积分区间0,1划分为划分为8等等分，用复化梯形公式求得分，用复化梯形公式求得而将积分区间而将积分区间0,1划分为划分为24等分，等分，用复化辛普森公式求得用复化辛普森公式求得上页上页下
32、页下页 比较上面两个计算结果比较上面两个计算结果T8与与S4，它们都需要提供，它们都需要提供9个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准个点上的函数值，然而精度却差别很大，同积分准确值确值I=0.9460831比较，应用复化梯形公式计算的结比较，应用复化梯形公式计算的结果果T8=0.9456909只有只有2位有效数字，而应用复化辛普位有效数字，而应用复化辛普森公式计算的结果森公式计算的结果S4=0.9460832却有却有6位有效数字位有效数字.为了利用余项公式估计误差，要求为了利用余项公式估计误差，要求f(x)=sinx/x的的高阶导数，由于高阶导数，由于所以有所以有上页上页下页下页于是于是
33、复化梯形公式误差复化梯形公式误差为为复化辛普森公式误差复化辛普森公式误差为为上页上页下页下页 例例2 利用复利用复化梯形公式化梯形公式计算计算 使其误差使其误差限为限为10-4，应将区间，应将区间0,1几等分几等分?解解 利用例利用例1的结果的结果取取n=17可满足要求可满足要求.由由复化梯形公式的余项得复化梯形公式的余项得上页上页下页下页 例例3 利用利用复化辛普森公式复化辛普森公式计算计算 使其误使其误差限为差限为10-4，应将区间，应将区间0,1几等分几等分?由由复化辛普森公式的余项得复化辛普森公式的余项得因此只需将区间因此只需将区间0,1二等分，即取二等分，即取m=1(n=2).解解
34、利用例利用例1的结果的结果上页上页下页下页 前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度前面用复化梯形公式计算此题，满足相同的精度需要将区间需要将区间0,1划分划分17等分，可见复化辛普森公式的等分，可见复化辛普森公式的精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用精度的确比复化梯形公式精度高同样也可用|S4m-S2m|来控制计算的精度来控制计算的精度.这就是下面要介绍的这就是下面要介绍的龙贝格求积龙贝格求积公式公式.上页上页下页下页4.4 龙贝格求积公式龙贝格求积公式4.4.1 梯形法的递推化梯形法的递推化 上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实际上节介绍的复化求积方法可提高求积精度，实际计算时若精
35、度不够可将步长逐次分半计算时若精度不够可将步长逐次分半.设将区间设将区间 a,b分为分为n等分，共有等分，共有n+1个分点，如果将求积区间再个分点，如果将求积区间再分一次，则分点增至分一次，则分点增至2n+1个，我们将二分前后两个个，我们将二分前后两个积分值联系起来加以考虑积分值联系起来加以考虑.并注意到每个子区间并注意到每个子区间xk,xk+1经过二分只增加了一个分点经过二分只增加了一个分点上页上页下页下页 设设hn=(b-a)/n,xk=a+khn (k=0,1,n),在在xk,xk+1上用梯形公式得上用梯形公式得在在xk,xk+1上用复化梯形公式得上用复化梯形公式得所以所以上页上页下页下
36、页从从0到到n-1对对k累加求和得累加求和得 这就是这就是递推的复化梯形公式递推的复化梯形公式.从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化从这一公式可以看出，将区间对分后，原复化梯形公式的值梯形公式的值Tn作为一个整体保留作为一个整体保留.只需计算出新只需计算出新分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重分点的函数值，便可得出对分后的积分值，不需重复计算原节点的函数值，从而减少了计算量复计算原节点的函数值，从而减少了计算量.参见书参见书p132-例例2题题.上页上页下页下页4.4.2 龙贝格算法龙贝格算法 梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度梯形法计算简单但收敛慢，如何提高收敛速度以节省计
37、算量是本节要讨论的中心问题以节省计算量是本节要讨论的中心问题.根据复化根据复化梯形公式的余项式表达式可知梯形公式的余项式表达式可知设设f(x)在在a,b上变化不太大上变化不太大f (1)f (2),则得则得 上页上页下页下页 由此可见，只有二分前后的两个积分值由此可见，只有二分前后的两个积分值Tn与与T2n相当接近，就可以保证计算结果相当接近，就可以保证计算结果T2n的误差很小的误差很小.这样这样直接用计算结果来估计误差的方法通常称作直接用计算结果来估计误差的方法通常称作误差的事误差的事后估计法后估计法，上面就是复化梯形法的，上面就是复化梯形法的事后误差估计式事后误差估计式.由由 可知积分近似
38、值可知积分近似值T2n的误差大致的误差大致等于等于 ，因此如果用这个误差值作为，因此如果用这个误差值作为T2n的一种的一种补偿，可以期望，所得到的补偿，可以期望，所得到的可能有更好的结果可能有更好的结果.上页上页下页下页 由书例由书例2，所求得的两个梯形值，所求得的两个梯形值T4=0.9445135和和T8=0.9456909的精度都很差的精度都很差(与准确值与准确值I=0.9460831比比较，只有两、三位有效数字较，只有两、三位有效数字)，但如果将它们按上式，但如果将它们按上式做线性组合，则新的近似值做线性组合，则新的近似值却有却有6位有效数字位有效数字.可以直接验证可以直接验证就是就是复
39、化辛普森积分公式复化辛普森积分公式.Sn的精度为的精度为O(h4).上页上页下页下页 这就是说，用复化梯形法二分前后的两个积分值这就是说，用复化梯形法二分前后的两个积分值Tn与与T2n，按上式做线性组合，结果得到了，按上式做线性组合，结果得到了复化辛普复化辛普森积分公式森积分公式.则则 同理由辛普森法，用二分前后的两个积分值同理由辛普森法，用二分前后的两个积分值Sn与与S2n，由误差公式即有，由误差公式即有 不难直接验证就是不难直接验证就是复化柯特斯积分公式复化柯特斯积分公式.Cn的精的精度为度为O(h6).上页上页下页下页则则 同理由同理由柯特斯柯特斯法，用二分前后的两个积分值法，用二分前后
40、的两个积分值Cn与与C2n，由误差公式即有，由误差公式即有这就是这就是复化龙贝格积分公式复化龙贝格积分公式.Rn的精度为的精度为O(h8).上页上页下页下页 一般我们将这种一般我们将这种龙贝格算法龙贝格算法做成表格做成表格 我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能将我们在变步长的过程中运用了三个公式，就能将粗糙的梯形值粗糙的梯形值Tn 逐步加工成逐步加工成精度较高的辛普森值精度较高的辛普森值Sn、柯特斯值柯特斯值Cn和和龙贝格值龙贝格值Rn.T1T2S1T4S2C1T8S4C2R1T16S8C4R2 见书见书p135例题例题3.上页上页下页下页例例4 利用龙贝格方法计算利用龙贝格方法计算i2i
41、T序列序列S序列序列C序列序列R序列序列013.00000123.10000 3.13333243.13118 3.14157 3.14212383.13899 3.14159 3.14159 3.141594163.14094 3.14159 3.14159 3.14159这一结果与这一结果与I=相比较已有较好的精度相比较已有较好的精度.解解 计算结果列如下表计算结果列如下表:上页上页下页下页4.4.3 理查森外推加速法理查森外推加速法 上面讨论说明由上面讨论说明由梯形公式梯形公式出发，将区间出发，将区间a,b逐逐次二分可提高求积公式的精度，上述加速过程还可继次二分可提高求积公式的精度，上述
42、加速过程还可继续下去，其理论依据是续下去，其理论依据是梯形公式的余项梯形公式的余项展开，设展开，设若记若记Tn=T(h)，当区间，当区间a,b划分为划分为2n等分时，则有等分时，则有并且有并且有可以证明梯形公式余项可展开成级数形式，即可以证明梯形公式余项可展开成级数形式，即上页上页下页下页 定理定理4 设设f(x)Ca,b，则有，则有式中式中I为积分值，系数为积分值，系数 k与与h 无关无关.误差量级为误差量级为O(h2).此定理可利用此定理可利用f(x)的泰勒展开推导得到，的泰勒展开推导得到，证略证略.定理定理4表明表明T(h)I是是O(h2)阶，若阶，若h/2用代替用代替h,有有用用4乘此
43、式，减去上式再除乘此式，减去上式再除3记为记为T1(h)，则得，则得上页上页下页下页改记为改记为这里系数这里系数k与与h无关，这样构造的无关，这样构造的T1(h)与积分值与积分值I近近似的阶为似的阶为O(h4).比较比较T1(h)与与Sn可知可知,这样构造的序列这样构造的序列T1(h),T1(h/2),.就是辛普森公式序列就是辛普森公式序列Sn,S2n,.根据根据令令则又可进一步从余项展开式中消去则又可进一步从余项展开式中消去h4项项,从而有从而有上页上页下页下页这样构造出的这样构造出的T2(h)，其实就是柯特斯公式序列，其实就是柯特斯公式序列，它与积分值它与积分值I的逼近阶为的逼近阶为O(h
44、6).如此推下去，每加速如此推下去，每加速一次，误差的量级便提高一次，误差的量级便提高2阶，速度较快，一般地，阶，速度较快，一般地，若记若记T0(h)=T(h)，则有，则有误差量级为误差量级为O(h6)误差量级为误差量级为O(h4)上页上页下页下页如此继续下去，可得如此继续下去，可得用用m(h)作为作为I 的近似值的近似值,误差量级为误差量级为O(h2(m+1).经过经过m(m=1,2,)次加速后，余项便取下列形式用：次加速后，余项便取下列形式用：这种处理方法通常称为这种处理方法通常称为理查森理查森(Richardson)外推外推加速方法加速方法.上页上页下页下页即即又称为又称为逐次分半外推加
45、速求积法逐次分半外推加速求积法，简称，简称外推加速法外推加速法.也称为也称为龙贝格求积算法龙贝格求积算法.以以0(k)表示二分表示二分k次后求得的梯形值次后求得的梯形值,以以m(k)表示序列表示序列0(k)的的m次加速值次加速值，上页上页下页下页 龙贝格求积算法龙贝格求积算法的的计算过程计算过程如下：如下：(1)取取k=0,h=b-a，求，求令令1k(k记区间记区间 a,b的二分次数的二分次数).(2)求值求值 ，按梯形递推公式计算，按梯形递推公式计算0(k).(3)求计算值，按加速公式逐个求出求计算值，按加速公式逐个求出数表数表的第的第k行其余各元素行其余各元素j(k-j)(j=1,2,k)
46、.(4)若若|k(0)-k-1(0)|(预先给定的精度预先给定的精度)，则终，则终止计算，并取止计算，并取k(0)I;否则令否则令k+1k转转(2)继续计算继续计算.上页上页下页下页数表数表kT0(k)T1(k-1)T2(k-2)T3(k-3)T4(k-4)0T0(0)1T0(1)T1(0)2T0(2)T1(1)T2(0)3T0(3)T1(2)T2(1)T3(0)4T0(4)T1(3)T2(2)T3(1)T4(0)注意计算顺序，第注意计算顺序，第k步子区间长度为步子区间长度为h=(b-a)/2k.上页上页下页下页 可以证明，如果可以证明，如果f(x)充分光滑，那么充分光滑，那么T数表数表每一每
47、一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值I，即，即 对于对于f(x)不充分光滑的函数也可以用不充分光滑的函数也可以用龙贝格算法龙贝格算法计算计算，只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化，只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算，辛普森公式计算，见书见书p138-例例4.上页上页下页下页4.5 高斯求积公式高斯求积公式 由前面的讨论已经知道，以由前面的讨论已经知道，以a=x0 x1xn=b为为节点的节点的N-C求积公式的代数精度一般为求积公式的代数精度一般为n或或n+1，这时，这时节点简单地按照闭区间等距的方式确定。节点简单地按照闭区间等距的
48、方式确定。对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置，在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高，最多能达到多少能达到多少?这里高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的这里高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式求积公式.上页上页下页下页4.5.1 一般理论一般理论 前面给出的机械求积公式前面给出的机械求积公式含有含有2n+2个待定参数个待定参数xk,Ak(k=0,1,n).当当xk为等距节为等距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少为点时得到的插值求积公式其代数精度至少为n次，如次，如果适当选取果适当选取
49、xk(k=0,1,n)，有可能使求积公式具有，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度，这类求积公式称为次代数精度，这类求积公式称为高斯高斯(Gauss)求求积公式积公式.为使问题更具一般性，我们研究为使问题更具一般性，我们研究带权积分带权积分上页上页下页下页这里为这里为(x)权函数，类似的求积公式为权函数，类似的求积公式为在这个求积公式里在这个求积公式里Ak(k=0,1,n)为不依赖于为不依赖于f(x)的求的求积系数，积系数，xk(k=0,1,n)为求积节点，可适当选取为求积节点，可适当选取xk及及Ak(k=0,1,n)使使(5.1)式具有式具有2n+1次代数精度次代数精度.定义定义4 如果求
50、积公式如果求积公式(5.1)具有具有2n+1次代数精度，次代数精度，则称其节点则称其节点xk(k=0,1,n)称为称为高斯点高斯点，相应公式，相应公式(5.1)称为称为高斯高斯(Gauss)求积公式求积公式.上页上页下页下页 根据定义要使根据定义要使(5.1)具有具有2n+1次代数精度，只要次代数精度，只要取取f(x)=xm，对，对m=0,1,2n+1，精确成立，则得，精确成立，则得当给定权函数当给定权函数(x)，求出右端积分，则可由，求出右端积分，则可由(5.2)式解式解得得xk及及Ak(k=0,1,n).见书见书p140-例例5.从此例看到求解非线性方程组从此例看到求解非线性方程组(5.2