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1、向量的点积与叉积高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民第二节第二节 数量积、向量积与混合积数量积、向量积与混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积AB定义定义数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”。2022/11/172022/11/172 2高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解：解：例例3 证明三角函数的余弦定理：证明三角函数的余弦定理：证明：证明：如图如图ABCbac例例4 4 在在xoy平面上，求一单位向量，
2、使它与平面上，求一单位向量，使它与垂直。垂直。2022/11/172022/11/176 6高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民二、两向量的向量积二、两向量的向量积力矩力矩方向：向外（拧松）方向：向外（拧松）支点支点OA作用点作用点力力力臂力臂l大小：大小：支点支点OA作用点作用点力力力臂力臂l向内（拧紧）向内（拧紧）方向总是依方向总是依 成右手系，且垂直于成右手系，且垂直于 平面。平面。2022/11/172022/11/177 7高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民定义定义模：模：方向：方向：向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”。几何解释：几何解释：2
3、022/11/172022/11/178 8高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民向量积的性质：向量积的性质：/2022/11/172022/11/179 9高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民向量积满足下列运算规律向量积满足下列运算规律（1）（2）（3）向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式设设2022/11/172022/11/171010高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示记住：欲求同时垂直于记住：欲求同时垂直于 的向量，请用叉积吧！的向量，请用叉积吧！称为称为 的的混合积混合积。2022/11/1720
4、22/11/1711 11高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解：解：2022/11/172022/11/171212高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解：解：2022/11/172022/11/171313高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民例例9 9 设设 则则 共面。共面。证法一：证法一：又又共面。共面。证法二：证法二：的两端点乘的两端点乘2022/11/172022/11/171414高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民hS=|a b|混合混合积的几何意义积的几何意义以为以为 边的平边的平行六面体的体积。行六面体的体积。2022/11/
5、172022/11/171515高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民混合混合积的坐标表示积的坐标表示设设利用行列式的行交换性质可得：利用行列式的行交换性质可得：轮换轮换2022/11/172022/11/171616高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解解:ADCB注意：注意：双重符号双重符号|，第一重表示行列式，第二重表，第一重表示行列式，第二重表示取绝对值。示取绝对值。2022/11/172022/11/171717高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民解：解：2022/11/172022/11/171818高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民
6、作业：习题作业：习题821，3，7，9，10，1217，18，19作业：习题作业：习题812022/11/172022/11/171919高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民思考题思考题2022/11/172022/11/172020高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民思考题解答思考题解答2022/11/172022/11/172121高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民练练 习习 题题2022/11/172022/11/172222高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022/11/172022/11/172323高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民练习题答案练习题答案2022/11/172022/11/172424高等数学（下）主讲杨益民高等数学（下）主讲杨益民2022/11/172022/11/172525