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1、2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示授课老师：张晴1.1.1.1.向量加法与减法有哪几种几何运算法则？向量加法与减法有哪几种几何运算法则？向量加法与减法有哪几种几何运算法则？向量加法与减法有哪几种几何运算法则？复习引入复习引入向量的加法向量的加法(三角形法则三角形法则)a ab ba+ba+ba ab ba+ba+b向量的加法向量的加法(平行四边形法则平行四边形法则)向量的减法向量的减法(三角形法则）三角形法则）a ab ba-ba-b复习引入复习引入2.2.2.2.怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算怎样理解向量的数乘运算 a a？（1 1）|a a|=|=|
2、a a|；（2 2）0 0时，时，a与与a方向相同方向相同0 0时，时，a与与a方向相反；方向相反；=0=0时，时，a=0.=0.3.3.平面向量共线定理平面向量共线定理 非零向量非零向量a a与向量与向量b b共线共线 存在唯一实数存在唯一实数，使，使b ba a.复习引入复习引入设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：，则有：(a)=(a)=()a)a(+)a=)a=a+a+a a(a+b)=(a+b)=a+a+b b特别地特别地:4.4.平面向量数乘的运算律平面向量数乘的运算律 思考思考1 1：给定平面内任意两个向量给定平面内任意两个向量e e1 1，e e
3、2 2，如何求，如何求作向量作向量3 3e e1 12 2e e2 2和和e e1 12 2e e2 2？e1 1e2 22 2e2 2B BC CO O3 3e1 1A Ae1 1D D3 3e1 12 2e2 2e1 1-2-2e2 2新课引入：平面向量基本定理新课引入：平面向量基本定理 思考思考1 1：如图，设如图，设OAOA，OBOB，OCOC为三条共点射线，为三条共点射线，P P为为OCOC上一点，能否在上一点，能否在OAOA、OBOB上分别找一点上分别找一点M M、N N，使四边形使四边形OMPNOMPN为平行四边形？为平行四边形？M MN NO OA AB BC CP P探索研究
4、探索研究O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N 思考思考4 4：在上图中，设在上图中，设 =e e1 1，=e e2 2，=a a，则，则向量向量 分别与分别与e e1 1，e e2 2的关系如何？从而向量的关系如何？从而向量a a与与e e1 1，e e2 2的关系如何？的关系如何？思考思考5 5：若上述向量若上述向量e1 1，e2 2，a a都为定向量，且都为定向量，且e1 1，e e2 2不共线，则实数不共线，则实数1 1，2 2是否存在？是否唯一？是否存在？是否唯一？O OA AB BC CM MN NO OA AB BC CM MN N 思考思考2
5、2：若向量若向量a a与与e e1 1或或e e2 2共线，共线，a a还能用还能用1 1e e1 12 2e e2 2表示吗？表示吗？e1 1aa=1 1e1 1+0+0e2 2e2 2aa=0 0e1 1+2 2e2 2根据上述分析，平面内任一向量根据上述分析，平面内任一向量a a都可以由这个平面都可以由这个平面内两个不共线的向量内两个不共线的向量e e1 1，e e2 2表示出来，叫做平面向量表示出来，叫做平面向量基本定理基本定理.若若e e1 1、e e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线向量不共线向量，则对，则对于这一平面内的任意向量于这一平面内的任意向量a a，有且只有
6、一对有且只有一对实数实数1 1，2 2，使，使a a1 1e e1 12 2e e2 2.我们把我们把不共线的向量不共线的向量e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内所有向量的一组所有向量的一组基底基底。新课讲授：平面向量基本定理新课讲授：平面向量基本定理对定理的理解对定理的理解:1)1)基底基底:不共线不共线的向量的向量e e1 1 e e2 2。同一平面可以有不同基底同一平面可以有不同基底2)2)平面内的平面内的任一向量任一向量都可以沿两个不共线的方向分解都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；成两个向量的和的形式；3)3)分解是分解是唯一唯一的的新课讲授：
7、平面向量基本定理新课讲授：平面向量基本定理那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基那么同一平面内可以作基底的向量有多少组？不同基底对应向量底对应向量a a的表示式是否相同？的表示式是否相同？若若e e1 1、e e2 2是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线向量不共线向量，则对，则对于这一平面内的任意向量于这一平面内的任意向量a a，有且只有一对有且只有一对实数实数1 1，2 2，使，使a a1 1e e1 12 2e e2 2.我们把不共线的向量我们把不共线的向量e e1 1、e e2 2叫叫做表示这一平面内所有向量的一组做表示这一平面内所有向量的一组基底基底。思考：思考：已知两个
8、非零向量已知两个非零向量a a和和b b如图，如图，则则AOB=AOB=（0 1800 180）叫做叫做向量的夹角向量的夹角当当=0=0时，时，a a与与b b同向同向当当=180=180时，时，a a与与b b反向反向a a与与b b的夹角是的夹角是90 90，则则a a与与b b垂直，记作垂直，记作abab共起点共起点思考思考:正正ABCABC中中,向量向量ABAB与与BCBC的夹角为几度的夹角为几度?A AB BC CD Do oB BA Aa ab b新课讲授：向量的夹角新课讲授：向量的夹角G GF F1 1F F2 2 1.1.如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为如图，光滑斜面上一个
9、木块受到的重力为G G，下滑，下滑力为力为F F1 1，木块对斜面的压力为，木块对斜面的压力为F F2 2，这三个力的方向分别如，这三个力的方向分别如何？何？三者有何相互关系？三者有何相互关系？2.2.在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的在物理中，力是一个向量，力的合成就是向量的加法运算加法运算.力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都力也可以分解，任何一个大小不为零的力，都可以分解成两个不同方向的分力之和可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓将这种力的分解拓展到向量中来，就会形成一个新的数学理论展到向量中来，就会形成一个新的数学理论.新课引入：平面向量的正交分级及坐标表示新
10、课引入：平面向量的正交分级及坐标表示G=FG=F1 1+F+F2 2叫做重力的分解叫做重力的分解 类似的，由平面向量的基本定理，对于平面上的类似的，由平面向量的基本定理，对于平面上的任意向量任意向量a a，均可以分解成不共线的两个向量，均可以分解成不共线的两个向量实数实数1 1e e1 1，2 2e e2 2，使，使a a1 1e e1 12 2e e2 2。在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，在不共线的两个向量中，垂直是一种重要是情形，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解正交分解。我们知道，在平面直角坐标系，每一个点我们
11、知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？在平面上，如果选取互相垂直的向量作为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究问题带来方便。基底时，会为我们研究问题带来方便。思考：思考：ayjiO图 1xx iy j则：则：i=（1，0）；）；j=（0，1）；）；0=（0，0）a=x i+y j 我们把（我们把（x,y)x,y)叫做向量叫做向量a a 的（直角）的（直角）坐标，记作坐标，记作 a=(xa=(x，y),y),其中其中x x叫做叫
12、做a a 在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做 a a 在在y y轴上的坐标，（轴上的坐标，（x,yx,y）叫做）叫做向量的向量的坐标坐标新课讲授：平面向量的坐标表示新课讲授：平面向量的坐标表示ayjiO图 1x x iyjyxOyxjA（x,y）a如图，在直角坐标平面内，以原如图，在直角坐标平面内，以原点点O为起点作为起点作OA=a，则点，则点A的位的位置由置由a唯一确定。唯一确定。设设OA=xi+yj，则向量，则向量OA的坐标的坐标（x,y)就是点就是点A的坐标；反过来，的坐标；反过来，点点A的坐标（的坐标（x,y)也就是向量也就是向量OA的坐标。因此，在平面直角坐标的坐标。因
13、此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用系内，每一个平面向量都可以用一对实数一对实数唯一唯一表示。表示。i 例例1 如图，用基底如图，用基底i，j分别表示向量分别表示向量a、b、c、d,并求出它们的坐标。并求出它们的坐标。jyxOiaA1AA2bcd解：由图解：由图3可知可知a=AA1+AA2=2i+3j,a=(2,3)同理，b=-2i+3j=(-2,3)c=-2i-3j=(-2,-3)d=2i-3j=(2,-3)1.1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果如果e e1 1，e e2 2是同一平面内的两个不共线的向量是同一平面内的两个不共线的向量,那那么对于这一平面内的任一向量么对
14、于这一平面内的任一向量a,a,有且只有一对实数有且只有一对实数、使使a=a=e e1 1+e e2 22.2.向量的夹角：向量的夹角：共起点共起点的两个向量形成的角的两个向量形成的角3.3.基本定理的应用基本定理的应用 e e1 1+e e2 2=xe=xe1 1+y ye e2 2小结小结4.4.向量的坐标表示向量的坐标表示 把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向量量正交分解正交分解。5.5.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 分别与分别与x x 轴、轴、y y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i i、j j 作为基底，任一向量作为基底，任一向量a a，用这组基底可表示，用这组基底可表示为为a a=xi xi+yjyj，（x x，y y）叫做向量）叫做向量a a的坐标的坐标