《金融工程第六章 期权定价与动态无套利.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《金融工程第六章 期权定价与动态无套利.ppt（61页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六章 期权定价与动态无套利均衡分析经济与金融学院金融系李茂盛04-4-171西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权n第一份标准化的期权合约于1973年上市交易。从此期权市场发展迅速。n期权：期权的多头一方有权利在未来确定的日期买入或卖出一定数量一定品质的标的物。n金融期权的标的物：股票、股票指数、外汇、债务工具、期货合约。04-4-172西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权的分类n看涨期权（call option）n看跌期权（put option）n美式期权（American option)n欧式期权（European options）n期权是一种选择权，由于买方与卖方的不对等地位，买方需
2、支付给卖方期权费。04-4-173西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权的有关术语n空头、多头、标的物、到期日、期权费、执行价格（敲定价格）04-4-174西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权的损益n到期日欧式期权损益状态期权种类到期损益欧式看涨期权多头欧式看涨期权空头欧式看跌期权多头欧式看跌期权空头04-4-175西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权的损益04-4-176西安交通大学经济与金融学院 李茂盛交易者的类型n套期保值者：减少它们所面临的风险；n投机者：希望在市场中持有某个头寸，他们打赌价格会上涨或下降。n套利者：瞬间进入两个或多个市场的交易，以锁定一个无风险的收益。例如：如果发
3、现某项资产的期货价格偏离了现货价格，他们就可以在者两个市场上持有相反的头寸来锁定盈利。04-4-177西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权的三种状态nIn-the-money:如果标的物股票的价格高于执行价，则此时买权处于实值状态；nOut-of-the-money：如果股票标的物的价格低于执行价，则买权处于虚值状态；nAt-the-money:期权的执行价正好等于标的物股票的价格是，成为两平状态。04-4-178西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权的内涵价值n假想期权马上要失效，此时期权的价值成为期权的内涵价值（intrinsic value).处于虚值状态的期权的内涵价值总为0。处于实
4、值状态的期权未到期时，卖权的内涵价值是预定价减去标的物市场价格的差，买权的内涵价值则是标的物标的物市价减去预定价的差。在期权未到期前，期权的市价（期权费）往往大于期权的内涵价值。期权费减去期权的内涵价值的差是期权的时间价值。期权在失效前，即使处于虚值状态，标的物的价格的变化有可能使期权处于实值状态，时间价值存在，所以处于虚值状态的期权费同样可以大于0。04-4-179西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的基本无套利关系n1、买权的价值不高于标的物本身的价值，买权的价值从不高于预定价；n2、欧式卖权的价值不高于预定价用无风险利率折现的现值。n3、期权的价值决不为负。n4、美式期权的价值决不
5、低于欧式期权。n5、距失效日时间长的美式期权的价值决不低于距失效日时间短的美式期权的价值。n6、美式期权的价值决不低于现在马上就执行该期权所实现的期权的价值。04-4-1710西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的基本无套利关系n其中t是目前的时间，S（T）是目前的股票的价格，X是预定价，C（t）和P（t）分别是目前美式买权和卖权的市场均衡价。假设股票的价格为100元，X为90元，6个月到期的美式美式股票买权的期权费为9元，就会出现套利机会，这时上述公式不成立。04-4-1711西安交通大学经济与金融学院 李茂盛影响期权价格的因素n有6中因素影响股票期权的价格：n1、股票的现价n2、执行
6、价格n3、到期期限n4、股票价格的波动率n5、无风险利率n6、期权有效期内预计发放的红利。04-4-1712西安交通大学经济与金融学院 李茂盛影响期权价格的因素n一个变量增加而其他变量保持不变时，对股票期权价格的影响变量欧式买权欧式卖权美式买权美式卖权股票价格+-+-执行价格-+-+到期期限？+波动率+无风险利率+-+-红利-+-+04-4-1713西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权价格的上限n股票价格是买权的上限，即：n预定价是欧式期权的的上限：04-4-1714西安交通大学经济与金融学院 李茂盛欧式期权的上限n对于欧式卖权来说，我们知道在T时刻，期权的价值都不会超过X，因此现在期权的价
7、值不会超过X的现值：n如果不存在这一关系，则套利者可以出售期权并将所得收益以无风险利率进行投资，获得无风险收益。04-4-1715西安交通大学经济与金融学院 李茂盛不付红利的欧式买权的下限n对于不付红利的欧式买权来说：n证明：因为期权的价值不会为负，只需要证明：n反证法：假设 在t时刻卖空一股股票，购买一份欧式买权，同时购买价值为 的无风险证券。即时现金流和到期的现金流为下表：04-4-1716西安交通大学经济与金融学院 李茂盛证明交易即时现金流（时刻t）到期时现金流（时刻T）卖空一股股票S（t）-S（T）购买一份欧式买权-c（t）购买无风险证券X净现金流 04-4-1717西安交通大学经济与
8、金融学院 李茂盛证明n由于到期时净现金流不小于0，即时现金流大于0，出现无风险套利机会。由此得以证明。从而有：n可以看出，当 时，c（t）=S（t），即到期日很远的不分红的欧式买权的价值与标的物股票的价值一样。这只是一个数学现象而已。04-4-1718西安交通大学经济与金融学院 李茂盛不分红股票的美式买权的下限n由于美式买权的价值不小于欧式买权，因此：n如果美式买权提前执行，实现的价值为：n这显然小于期权应有的价值。于是：不分红股票的美式买权不可能提前执行。如果有人提前执行美式买权，就可以构筑无风险套利头寸。大家可以试试。04-4-1719西安交通大学经济与金融学院 李茂盛美式买权与欧式买权n
9、既然美式买权不会提前执行，美式和欧式买权便无区别。应有：C（t）=c（t）04-4-1720西安交通大学经济与金融学院 李茂盛不付红利的欧式看跌期权的下限n为了给出证明我们考虑下面两个组合：n组合A：一个欧式卖权加上一股股票；n组合B：金额为 的现金。n如果S（T）X，在T时刻欧式期权的价值为0，该组合的价值为S（T），因此组合A在T时刻的价值为：04-4-1721西安交通大学经济与金融学院 李茂盛不付红利的欧式看跌期权的下限n假定现金按无风险利率进行投资，则在T时刻组合B的价值为X。因此在T时刻，组合A的价值不低于组合B的价值，并且组合A的价值会高于组合B的价值。再不存在套利机会时，组合A的
10、现在价值一定高于组合B的现在价值。因此：n即：04-4-1722西安交通大学经济与金融学院 李茂盛不付红利的欧式看跌期权的下限n由于对于欧式卖权来说，最坏的情况是期权到期价值为0，所以期权的价值为正，这意味着：n一个例子：有一个不付红利股票的欧式卖权，股票价格为38美元，执行价格为40美元，距到期日还有3个月，无风险利率为10%，根据上面的式子期权的价格的下限为：n即：04-4-1723西安交通大学经济与金融学院 李茂盛美式卖权的下限n如果提前执行美式卖权的时，在t时刻执行期权实现的价值为：如果卖权处于实值状态，且总有p（t）小于或等于X，和P（t）小于或等于X，此时如果S（t）很低时，就有可
11、能出现p（t）X-S（t）和P（t）X-S（t）的情况。但美式卖权可以立即提前执行，所以理性的投资者不会让P（t）X-S（t）的情况出现。所以美式卖权不会低于其内涵价值，欧式期权则 不然，实际上欧式卖权这时具有负的时间价值。04-4-1724西安交通大学经济与金融学院 李茂盛买权和卖权之间的平价关系n根据上面的分析，我们有：n下面推导p和c之间的重要关系。n组合A：一个欧式买权加上金额为 的现金。n组合C：一个欧式卖权加上一股股票。n在期权到期时，两个组合的价值都为：max(S(T),X),由于是欧式期权，到期日前不能提前执行。因此现在组合必须具有相等的价值，就是说：04-4-1725西安交通
12、大学经济与金融学院 李茂盛美式卖权的下限n如果提前执行美式卖权的时，在t时刻执行期权实现的价值为：如果卖权处于实值状态，且总有p（t）小于或等于X，和P（t）小于或等于X，此时如果S（t）很低时，就有可能出现p（t）X-S（t）和P（t）X-S（t）的情况。但美式卖权可以立即提前执行，所以理性的投资者不会让P（t）p，因此根据上面的关系有：n Pc+Xe-r（T-t）-Sn同时，c=C，有：PC+Xe-r（T-t）-Sn或者 C-PP+S。由于c=C，n C+XP+S 或 C-PS-X 我们得到nS-XC-PS-Xe-r（T-t）04-4-1734西安交通大学经济与金融学院 李茂盛例题n考虑不
13、付红利的美式买权，执行价格为20元，到期期限为5个月，期权价格为1.5元。则同一股票相同执行价格和到期期限的欧式买权的价格也是如此。假定股票的现价位20元，到期期限为5个月的欧式卖权的价格为：n1.50+20e-0.1*0.4167-19=1.68 根据上面的不等式，有：19-20C-PP-C0.1804-4-1735西安交通大学经济与金融学院 李茂盛例子n这表明P-C在1元和0.18元之间。由于C为1.50元，P必须在1.68元和2.50元之间。换句话说，与美式买权执行价格和到期期限相同的美式卖权价格的上限和下限分别位2.50和1.68元04-4-1736西安交通大学经济与金融学院 李茂盛红
14、利的影响n现在讨论红利的影响。通常股票期权的到期期限小于8个月。在期权有效期内可以合理有效的预期应付红利。用D表示期权有效期内红利的现值。为此我们假定在除息日发放红利。04-4-1737西安交通大学经济与金融学院 李茂盛买权和卖权的下限n组合A：欧式买权加上金额为D+Xe-r（T-）的现金。n组合B：一股股票。n可以得出：n CS-D-Xe-r（T-t）n同时定义：n组合C：欧式卖权加上一股股票。n组合D：金额为D+Xe-r（T-）的现金。经过上面的类似推导得出：pD+Xe-r（T-t）-S04-4-1738西安交通大学经济与金融学院 李茂盛提前执行n当预期红利发放时，我们不再肯定买权不应提前
15、执行。有时在除息日前，立即执行美式买权是明智的。这是因为发放红利将使股票价格的跳跃性下降，使期权的吸引力下降。而在其他的任何情况下提前执行美式买权都是不明智的。04-4-1739西安交通大学经济与金融学院 李茂盛动态无套利均衡分析n期权的价格应当依赖于标的物股票的价格，关于股票的价格运动规律我们放在以后来讲。这里考虑多时期的动态无套利均衡分析方法。n假定债券A的价格运动规律如图5.2，无风险利率为2%。04-4-1740西安交通大学经济与金融学院 李茂盛动态无套利均衡分析图 5.204-4-1741西安交通大学经济与金融学院 李茂盛动态无套利均衡分析n用u份的债券A和市值为Lu的无风险债券来复
16、制债券B的证券组合。得：n（u，Lu）=（0.488，50.78）Pbu=107 u+Lu=103n同样的方法处理右下方的二叉树，得：n（d，Ld）=（0.509，48.62）Pbd=98 d+Ld=98.504-4-1742西安交通大学经济与金融学院 李茂盛动态无套利均衡分析n最后来看最左方的二叉树，用份的证券A和价值为L的无风险证券组合来复制 债券B，解出=0.5，L=48.53，并由此算出债券B 的市场价值PB=98.52941。n自融资策略：n这表明在多阶段的复制过程中，我们用债券A和无风险证券来复制证券B时，从第一阶段到第二阶段的复制中，复制组合进行了调整：（，L）=（0.5，48.
17、53）（0.488，50.78）04-4-1743西安交通大学经济与金融学院 李茂盛动态无套利均衡分析n但组合的市场价值未变。实际上就是卖掉了一部分的债券A，将所得增加到无风险证券中去。这就是自融资策略。n通过上例中的分析介绍，动态的复制另一个特点体现为倒向的特点，即是由未来的最终值倒推出现在的值。在连续的情况下，即是金融数学上的倒向的微分方程理论。04-4-1744西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的二叉树方法n上例中，债券B实际上就是A和无风险证券的衍生产品，是与债券A不相独立的一种证券。但这里的前提是市场只有两种可能的状态。无套利均衡分析就需要两种互相独立的两种证券可以复制出其他
18、的证券。实际上的市场状态需要更多的具有互相独立的证券存在，才可能动态的复制其他的证券，这就是市场的动态完全性的问题。04-4-1745西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的二叉树方法n期权本身是衍生证券。期权的价值可以由标的物的价格、预定价、期限、市场利率决定。因此标的物股票和无风险证券可以完全复制期权。n事实上，二叉树定价中，只要无限细分二叉树的时间间隔，在一定的 条件下，确实能完全描述标的物股票的价格的变化规律。04-4-1746西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的二叉树方法n由于期权与其标的物具有高度的相关性，二叉树定价便具有相当的实际意义。下面我们用二叉树来讨论期权的定价
19、问题。假定标的物股票不分红，先考虑欧式买权。设无风险利率为2%，股价为60元，1年后，股票价格或者为90元，或者为30元，如果买权的预定价为60元，期末的价值为30元或0。04-4-1747西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的二叉树方法n二叉树图示：n现在取份的股票和价值为L的无风险证券来复制买权，可得=0.5，L=-14.7104-4-1748西安交通大学经济与金融学院 李茂盛期权定价的二叉树方法n问题：期权的定价是否与状态出现的概率有关？n二叉树定价的一般模型。设定：nu=1+股票价格上涨状态的收益率nd=1+股票价格下降状态的收益率n =1+rfn这时d 0，即在复制买权的证券组
20、合里，无风险证券一定是卖空的（以无风险利率借款）。于是买权的复制头寸是：04-4-1751西安交通大学经济与金融学院 李茂盛风险中性假设(risk-neutrality)n定义：n则：04-4-1752西安交通大学经济与金融学院 李茂盛风险中性假设n从上面的表达式可以看出，如果把p和1-p作为概率的话，买权的均衡价值相当于期末买权价值的预期值用无风险利率折现的现值。对卖权来说也成立。但p并不是真实的概率。他们被称为风险中性概率。另外期权是风险工具，折现率不应是无风险利率。04-4-1753西安交通大学经济与金融学院 李茂盛风险中性假设n现代金融学认为理性的市场参与者都是风险厌恶型的，但个人对风
21、险的厌恶程度不同，同时要求不同的风险补偿，激进者要求比较小的风险补偿。n公平赌博：赌博结果的预期应和入局前所持有的资金量相等。即从概率意义上来说应该是不输不赢。如果有人愿意参加公平赌博，则这样的人被认为是风险中性的。风险中性者对风险采取无所谓的态度。04-4-1754西安交通大学经济与金融学院 李茂盛风险中性假设n如果我们把投资活动看作赌博的话，风险中性投资者所有资产要求的收益率都是一样的，而不管其风险如何，并不要求 风险补偿。因此对所有资产要求的预期收益率都是无风险利率。n风险中性世界：所有的 风险参与者都是风险中性的，于是所有的资产不管其风险的大小如何，预期收益率都相同，都等于无风险利率。
22、而且所有的资产的均衡价格都应该等于其未来收益的预期值用无风险利率折现的现值，这样我们把p和1-p因此称作风险中性概率。04-4-1755西安交通大学经济与金融学院 李茂盛风险中性假设n无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风险偏好无关。n如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，则可以将问题放到一个假设的风险中性世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也是成立的。n风险中性的分析方法，其核心环节是构造风险中性概率。04-4-1756西安交通大学经济与金融学院 李茂盛利用风险中性假设的二叉树定价 SuS u2 d2 期初 第一期期末 dSSudSS第二期期末 04-4-1757西安交通大学经济与金融学院 李茂盛利用风险中性假设的二叉树定价n利用倒推的方法来进行风险中性定价，有n从第一期末倒推到期初：04-4-1758西安交通大学经济与金融学院 李茂盛利用风险中性假设的二叉树定价nN期的一般定价公式：04-4-1759西安交通大学经济与金融学院 李茂盛利用风险中性假设的二叉树定价n这一结果与采用自融资动态无套利均衡分析的结果是一样的，但计算要容易的多。04-4-1760西安交通大学经济与金融学院 李茂盛动态二叉树图 n图例04-4-1761西安交通大学经济与金融学院 李茂盛