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1、弹性力学课件弹性力学课件0505第五章第五章变分原理及其应用变分原理及其应用 真实的位移除了满足位移边界条件外，根据它们求得的应力还应满足应力边界条件和平衡微分方程。求解微分方程的边值问题，只有在简单的情况下，才能得到解析解。多数情况下，只能采用数值计算的方法。基于能量原理的变分法为数值计算提供了理论基础。其中基于最小势能原理的里滋方法等可用于数值计算。现在假设位移发生了位移边界条件所容许的微小位移（虚位移）u，v，w，这时外力在虚位移上作虚功,虚功应和变形能泛函的增加相等：其中，Fbx,Fby,Fbz为体力分量，Px,Py,Pz.为面力分量，三重积分包括弹性体的全部体积，二重积分包括弹性体的
2、全部面积（但实际仅在未给定位移，给定面力的边界不为零）。真实的位移使得总势能取最小值最小势能原理是变分表达的平衡条件数学形式等价于平衡微分方程和面力边界条件 位移变分 该式的意义是：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的各组位移中，实际存在的一组位移应使总势能为最小。如果考虑二阶变分，进一步的分析证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。因此，该式又称为最小势能原理。3、最小势能原理基本思想构造一个位移试函数几何可能最小势能原理的应用4、RayleighRitz(瑞利里兹)法5、(伽辽金)法 通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线通过能量变分，偏微分方程边值问题转化为线性代数方程组。性代数
3、方程组。满足位移边界 条件满足位移与面力边 界条件 先设定满足位移边界条件的位移分量的表达式，其中包含若干个待定的系数，再根据最小势能原理，决定这些系数。设位移分量的表达式其中u0,v0,w0 为设定的函数，在边界上的值等于边界上的已知位移；um,vm,wm为边界值等于零的设定函数，Am，Bm，Cm为待定的系数，位移的变分由它们的变分来实现。4、瑞利里兹法应变能的变分为外力势能的变分为代入中，得到上面是个数为3m的线性代数方程组，求解后，代回位移分量的表达式，得到位移分量的近似解。里滋方法的步骤 上述方法称为里滋法，其要点是要找到满足全部边界条件的位移函数，而这种函数一般仍然难以找到，尤其在边
4、界不规整的情况下。所以里滋方法的应用在这一点上受到极大的限制。五十年代以来，在这基础上发展起来的有限元方法，采用了单元离散，分片插值的方法，这就避免了这一困难，虽然带来了计算工作量大的问题，但由于电子计算机的产生和发展，计算工作量大的问题得到解决，有限元方法得到迅速的发展。我们学习变分方法的意义，主要因为它是学习有限元等数值方法的基础 里滋方法要求位移函数满足位移边界条件，如果进一步要求根据位移函数求得的应力还满足应力边界条件，公式还可以简化，这种方法称为伽辽金方法。由前面我们得到的最小势能原理5、伽辽金方法 如果我们所取的位移不仅满足位移边界条件，而且根据它们求得的应力还满足应力边界条件(不
5、要求满足平衡方程），则上式简化为总势能为取位移为则上式为由各待定常数变分的独立性，各系数为零以位移表示在平面应变问题中，方程为在平面应力问题中，方程为 这样就得到位移函数待定常数的线性方程组，解之，再代回，就得到位移的近似解，根据应力的位移表示式，就可求得应力。通常位移在所取项不多时，就可得到较精确的解，但应力解需要较多的项，这也是通常位移法所遇到的问题。伽辽金方法的计算工作量较小，但对位移函数的要求较高，要求应力应满足应力边界条件。在特殊情况，如仅有位移边界，而无应力边界，这也表示着应力边界条件得到满足，这时用伽辽金方法十分方便。变形能的一般位移表达式为在平面应力状态的表达式为在不考虑剪切效
6、应时,直杆弯曲的应变能为例1、已知图示悬臂梁,抗弯刚度为EI,求最大挠度值.解:设满足固定端的边界条件.举例由最小势能原理下面用最小势能原理来确定参数.解得这里得到的是精确解。例2、如图所示的薄板，不计体力，求薄板的位移解、设位移它们是满足位移边界（左边和下边）的边界条件的。在平面应力状态的表达式为可得即可得由即解得解：首先用瑞利里茨法位移试函数 例例3：两端简支的等截面梁，受均匀分布载荷q作用如图所示。试求解梁的挠度w（x）。满足梁的位移边界条件在x=0，l处，w=0 总势能 根据则 所以回代 挠曲线表达式是无穷级数精确解这个级数收敛很快，只要取少数几项就可以得到足够的精度。如果取一项 这一
7、结果与精确值十分接近 解：应用法位移试函数 同时满足位移和面力边界条件根据法分析可得 解：位移试函数 例例4：矩形薄板，四边固定，受有平行于板面的体力作用。设坐标轴如图所示，试用RayleighRitz法求解。m和n为正整数在边界x=0，a，和y=0，b上，u=v=0，所以试函数满足位移边界条件。平面应力问题 因此 将位移试函数代入求导数后再积分 因此 如果体力已知，积分可求待定系数Amn和Bmn根据弹性体的稳定平衡状态与经过虚位移而到达的邻近状态的比较，得到了真实位移使得总势能取最小值的结论最小势能原理。假如问题分析的基本未知量不是位移，而是应力分量。能量泛函中的应力变分 四、四、虚应力方程
8、虚应力方程 应力变分法应力变分法虚应力方程dsij在位移边界引起的面力称为虚面力虚面力dFsi 应变余能概念虚应力 总余能变分形式最小余能原理真实应力使得总余能取驻值可以证明，对于稳定的平衡状态，真实应力使总余能取最小值。五、五、最小余能原理最小余能原理 应力变分法应力变分法最小余能原理可以叙述为：在所有静力可能的应力中，真实应力使得总余能取最小值。应力变分方程或者最小余能原理等价于以应力分量表示的变形协调方程和位移边界条件。应力变分的实质就是应力解法用于能量原理对于多连域问题，还有位移单值连续条件需要考虑，这将导致问题十分复杂。最小余能原理的应用应力变分比位移变分方程更困难一、应力试函数必须
9、同时满足平衡微分方程和面力位移边界条件；二、多连域的位移单值连续条件。应力函数平面问题与柱体扭转。最小余能原理的意义应力应力应力变协调位移边界余余余余弹性体在外力的作用下，发生位移，产生变形和应力。应力可以是各种各样的，但必须满足应力的平衡条件和边界条件。满足应力平衡方程和边界条件的应力称为容许应力，容许应力也有无穷多组，其中只有一组是真实的，真实应力，根据它们求得的应变还应满足协调条件和位移边界条件。广义变分原理胡海昌鹫津久一郎方程 基本方程偏微分方程的边值问题变分原理偏微分方程的边值问题转换为代数方程有限元原理数值分析方法工程应用广泛，理论基础变分原理。为什么变分原理在工程上的应用有限，而
10、有限元原理却应用广泛。六、六、有限元概念有限元概念有限元原理与经典变分原理的差别位移试函数位移边界Su位移试函数构造困难有限元不是整体选取试函数而是在弹性体内分区（单元）完成的试函数形式简单统一近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元方法为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。大型通用有限元程序的广泛应用，使得有限元成为结构分析工具。以此为基础，CAD,CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！46